Sócioepistemologia: Nota sobre a Construção Social do Conhecimento Matemático Avançado

1. Sócioepistemologia:Nota sobre a Construção Social do Conhecimento Matemático Avançado Dr. Ricardo Cantoral – Uriza Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav IPN Centro de Investigación en Matemática Educativa – Cimate UAG Miembro regular de la Academia Mexicana de Ciencias Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II

2. La sensibilité à la contradiction...Recherches en Didactiques des Mathématiques • SOCIOÉPISTÉMOLOGIE: Approche théorique systémique qui permet de traiter les phénomènes de production et de diffusion de la connaissance à partir d’une perspective multiple, en incorporant l’étude des interactions entre l’épistémologie de la connaissance, sa dimension socioculturelle, les procédés cognitifs associés et les mécanismes d’institutionnalisation via l’enseignement. (Cantoral, Farfán, 2003).

3. The Teaching and Learning of Mathematics at University Level Kluwer Acadmic Publishers, 2001 • The history ... has also been looked at from a socioepistemological perspective by research group ... at Cinvestav in Mexico... starts with the assumption that the present structure of theoretical mathematical discourse in analysis obscures the essential emprirical sources of the development of the field... Thus, looking at historical development provides alternative ways to introduce and develop knowledge in the field.

4. KluwerAcadmic Publishers, 2001 • Thisis especially necessary if one has in mind not the training of future mathematicians but the training of scentific students and engineers. Such a perspective has been used by Cinvestav in order to study the learning and teaching of variation, from high school to studies in advanced analysis of the way variation is dealt with in different professional and social contexts, the cognitive analysis of learning processes, and didactic engineering designs (see Cantoral, Farfán, 1998)” In Robert, p. 285.

5. Albert Einstein, 1940 • Todos os impérios do futuro virão a ser impérios do conhecimento, e somente terão êxito os povos que entendam como gerar conhecimento e como protegê-los, como buscar os jovens que tenham a capacidade para fazê-lo e assegurar que estes fiquem no país.

6. Albert Einstein, 1940 • Os outros países litorâneos bonitos com igrejas, minas, com uma história fantástica; pois provavelmente não ficarão com as mesmas bandeiras, nem com as mesma fronteiras, nem tão pouco êxito econômico.

7. En el siglo XXI • Nos encontramos en una sociedad que depende cada vez más de sus avances científicos y tecnológicos. • Lo nuevo de la evolución reciente de la modernidad es que, cada vez más, la ciencia y particularmente la tecnología afectan la vida cotidiana.

8. En el siglo XXI • Esta influencia es observable en la creciente demanda de conocimiento científico y tecnológico para tomar decisiones comunes, ya sean individuales, como dietas alimenticias que afectan la presión arterial, la diabetes, o sociales, como la de optar por fuentes de energía más limpias que las tradicionales basadas en combustión de petróleo.

9. En el siglo XXI • La ciencia y la tecnología han dejado de ser parte del discurso de unos pocos académicos para formar parte de la “canasta básica” del ciudadano de a pie, de hecho, para interpretar las noticias diarias se requiere de un conocimiento mínimo en matemáticas ciencia y tecnología.

10. Sociedades del conocimiento • La del futuro será una sociedad del conocimiento. Éste será el recurso clave en el desarrollo de las personas, y los trabajadores del conocimiento serán fuerza dominante. Aunque la escuela ha dejado de ser el canal único mediante el cual se entra en contacto con el conocimiento

11. Se estima que... • la educación en general, pero la educación básica y media en particular, dejarán de estructurarse en torno de materias tradicionales para hacerlo en función de temas, asuntos, problemáticas o competencias • Se busca que el alumno sea capaz de aprender a aprender, a hacer, a ser, a participar...

12. concepção biológica universal dos seres humanos concepção de singularidade psicológica e genética (ADN) Que motivo tais mudanças? Naturezasocial do estudante Se passou da ... para ...

13. Del coeficiente intelectual (IQ), que caracteriza al nivel de inteligencia A la inteligencia que progresa en varias dimensiones, que además se modifica y se expande Naturezasocial do estudante

14. Currículo estandarizado Secuencia óptima de aprendizaje Atención a la heterogeneidad Los ritmos y las secuencias de aprendizaje varían Acumulación delprogreso

15. En el año 2010, se liberalizan las profesiones básicas • Un ingeniero formado en los EUA o en Canadá, puede trabajar en México • Un ingeniero formado en México puede trabajar en EUA o en Canadá • ¿Cuál será la dirección del flujo preferencial y mayoritario y hacia qué clase de empleos?

16. Un concepto teórico del interés exclusivo de los académicos El valor agregado en la producción Una promesa de mecanismo ideal para la promoción social Un asunto de competencia comercial pero sobre todo, se vuelve hoy día Un asunto de Seguridad Nacional La educación, pasa de ser ... a

17. Actuarios Agrónomos Contadores Enfermeiras Farmacéuticos Advogados Ingenheiros Arquitetos Odontólogos Psicólogos Médicos Veterinarios Profesiones contenidas, TLC

18. Número de alumnos por nivel educativo en 1986 y en 1996 • Educación Básica:21,685,100 en 1986 22,480,700 en 1996 24,599,000 en 2006 • Educación Media:1,941,900 en 1986 2,438,700 en 1996 3,600,000 en 2006 • Educación Superior:1,157,600 en 1986 1,522,000 en 1996 2,600,000 en 2006

19. Matrícula por nível

20. Frações Álgebra Cálculo Desertação ou expulsão? ¿Cuánto es la mitad de ½? ¿Cuánto es 20? ¿Cuánto vale el lím (1+1/n)n? n

21. S S S S P P P P A A A A Sistemas y Subsistemas Sistema didáctico Sistema de enseñanza

22. Sistema educativo

23. Questões ausentes na aprendizagem • Como aprendem as pessoas? … da onde? • Como podíamos aprender a analisar seus processos de aprendizagem? … a onde? • Como atender á diversidade social e cultural dos estudantes e os sistemas educativos?

24. Teórico – CMT Escolar – CME Funcional – CMF Conhecimento matemático CMT TD CMF CME PT

25. CMT – Somas com decimais • 22,5  37  41,5  101 pues • (2 101  2  100  5  101)  (3 101  7  100  0  101)  (4 101  1  100  5  101)  (2 3 4)  101  (2  7  1)  100  (5  0  5)  101  (9  101)  (10  100)  (10  101)  (9  101)  (1  101)  (1  100)  (9  1 )  101  (1  100)  10  101  1  100  100 + 1  101

26. CME – Somas com decimais Pedro vai á papelaria a comprar três cadernos, um de desenho e outro de matemática e música, cujo os preços são: $ 22,50; $ 37,00 e $ 41,50

27. CME – Somas com decimais Quanto deve pagar por sua compra? 11 11 22,50 + 37,00 41,50 101.00 101.00 101.00 101.00 101,00

28. CMF – Sumas con decimales Se comercian productos cuyos precios 22 pesos con 50 centavos, 37 pesos y 41 pesos con 50 centavos, ¿Cuánto debo pagar por los tres? … 22 + 37 es casi 22 + 38; 60 (es 60 – 1) … 60 menos 1 + 40 más 1 es 60 + 40; 100 … 50 + 50 centavos es 1 peso … la suma es entonces 101 pesos

29. Construa o gráfico dey=x2 Procedimiento usual: Tabular + Puntear + Trazar • ( 2) 2 4 • ( 1) 2 1 • 0 2 0 • 1 2 1 • 2 2 4

30. Puntear

31. A los mismos estudiantes Se les propuso bosquejar la gráfica, pero partiendo de otra tabla de valores

32. Producen este dibujo

33. Presentação escolar da equação de uma reta (y – 3) (x – 2) (x, y) = (3 – 1) (2 – 0) (2, 3) 2y – 6 = 2x – 4 2y – 2x = 2 y = x + 1 (0, 1)

34. CA AB DE EB Pendência e o teorema de Thales C D = < > D B E E A

35. Un ejemplo de enseñanza:P a r a d i g m a sdel cálculo diferencial Enfoque algorítmico Enfoque formal Enfoque axiomático

36. Relaciones entre variables • Este enfoque se caracteriza por su centración en las variables y sus relaciones; sus representantes principales son los libros de texto de principios del siglo XX. Como el libro de W. A. Granville, … • Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, … se estructuran sobre la idea paramatemática de variable…

37. Relaciones entre funciones • Este enfoque se caracteriza por su centración en las funciones y sus relaciones; sus representantes principales son los libros como el de M. Spivak • Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, … se estructuran sobre la idea matemática de función real de variable real …

38. Relaciones entre estructuras • Este enfoque se caracteriza por su centración en las estructuras numéricas; sus representantes principales son los textos como el de K. Kuratowsky • Los conceptos: función, límite, continuidad, derivada, integral, se estructuran sobre la idea de estructura metamatemática de número real

39. Derivada de uma função Resposta de um docente y = f (x) y = f ´ (x)

40. Um exemplo de gestão de classe • Problema: Seja V = ax2+ay2-2az2 o potencial elétrico com a constante. Encontra o campo elétrico e o valor de a para que o Trabalho W de levar uma carga q=2C do ponto (0,0,2) ao ponto (0,0,0) seja de –5105J. • Professor: Qual é o Trabalho? • Estudante: W=FD • P: Pois, ... não é um produto vetorial... • E: Então W= F  D

41. Um exemplo de gestão de classe • P: Pois o D... é grande?, recordar que é uma integral • E: ¡Ah, sim!, W = F d • P: Pois se necessita o diferencial de longitude, não? • E: ¡Sim claro!, W=F d dl • P: Tiralo... uma d e usa vectores • E: W = F  dl R. Pulido

42. Onde ela é positiva (x)?

43. Onde ela é positiva (x)?

44. + + + Onde ela é positiva (x)?

45. Onde ela é positiva (x)? ?

46. Posição Velocidade Aceleração …? Ordenada Pendência Concavidade …? Linguaje e discurso escolar • f (x) • f(x) • f (x) • f (x) Quente – frio … morno / Grande - pequeno, ... médio Bom - mau, ... regular / Longe – perto, ... “mais ou menos”

47. R e l m e20Reunión Latinoamericana de Matemática EducativaCamaguey, Cuba

48. Newton, 1676

49. Em onde ha mais polvos?, encima ou embaixo

50. Qual o caminho mais curto?