Szeregi czasowe

1. Szeregi czasowe Ewolucja stanu układu dynamicznego opisywana jest przez funkcję czasu f(t) lub przez szereg czasowy jego zmiennych dynamicznych. Szeregiem czasowym jest zbiór dyskretnych wartości liczbowych dowolnej wielkości zmiennej w czasie. Ze zmiennej ciągłej szereg dyskretny można otrzymać poprzez próbkowanie lub całkowanie w określonych interwałach czasu t (zazwyczaj w stałych przyrostach czasu). Zbiory danych, niekoniecznie związanych z czasem, mogą być reprezentowane poprzez szeregi „czasowe”. Np. zmiana parametrów ośrodka z głębokością otworu wiertniczego. Szeregi czasowe mogą być scharakteryzowane przez nieciągłości, składową trendu, składowe okresowe i stochastyczne. Trend jest długookresowym wzrostem lub maleniem szeregu. Wiele fizycznych procesów w Naukach o Ziemi wykazuje długookresową korelację - zjawisko Hursta i silną wrażliwość na warunki początkowe wywołane nieliniową dynamiką procesów.

2. Zjawisko Hursta Wprowadźmy szereg Xi, i=1,...,N średnią i średnią ruchomą (running) definiuje się Zakres definiuje się jako • zakres przeskalowany (rescaled range) • wykładnik Hursta otrzymuje się ze związku • Gdy H= 0.5 szereg jest nieskorelowanym białym szumem, kolejne kroki są niezależne i najlepszą predykcją jest ostatnia wartość mierzona. • Gdy H 0.5 proces jest skorelowany z charakterystycznym zachowaniem potęgowym:D = d-H • H>0.5 lokalny trend w przedziale kontynuuje się i najlepsza predykcja bazuje na ekstrapolacji lokalnego trendu. • H<0.5 lokalny trend odwraca się i najlepsza predykcja bazuje na uśrednieniu w przedziale.A widmo mocy: • Dla H = 1 • Proces losowy ma widmo typu 1/f i jest nazywany 1/f szumem. W przeciwieństwie do białego szumu f0 czy szumu Browna f-2

3. Analiza spektralna Analiza widmowa funkcji f(t) jest przedstawieniem jej jako superpozycję składowych okresowych - jest procedurą określania udziałów poszczególnych składowych. Funkcja okresowa przedstawiana jest szeregiem Fouriera - sumą składowych o częstościach będących całkowitymi wielokrotnościami częstości podstawowej - jest rozłożeniem jej na szereg sinusów (lub cosinusów), których częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej 1/T. Składowe o wyższych częstotliwościach n/T (n=1,2...) nazwane są harmonicznymi. Okresowa funkcja może być przedstawiona w dziedzinie czasu – wyrażając zależność jej amplitudy od czasu i w dziedzinie częstotliwości – wyrażając amplitudę i fazę składających się na nią funkcji sinus w funkcji częstotliwości.

4. Funkcja nieokresowa ma okres nieskończenie długi. Przez analogię z funkcją okresową może być rozpatrywana jako mająca nieskończenie małą częstotliwość podstawową. Konsekwentnie harmoniki pojawiają się w nieskończenie małych odstępach dając ciągłe widma amplitudowe i fazowe. Aby uzyskać formę analityczną trzeba zcyfrować sygnał. Widmo ciągłe ma nieskończoną liczbę składowych funkcji sinus i aby go opracowywać dzieli się go na pewną liczbę "warstewek" przedziałów częstotliwościowych przypisując każdej warstewce jej średnią częstotliwość oraz amplitudę i fazę proporcjonalną do obszaru paska odpowiedniego widma. To cyfrowe wyrażenie ciągłego widma przez skończoną liczbę dyskretnych składowych częstotliwościowych daje przybliżoną reprezentację w dziedzinie częstotliwościowej funkcji nieokresowej w dziedzinie czasu.   Transformata Fouriera jest reprezentacją funkcji nieokresowej i widmo zawiera kontinuum częstotliwości. Kwadrat modułu transformaty nosi nazwę widma mocy funkcji f(t).