Szeregi czasowe

1. Szeregi czasowe dr Małgorzata Radziukiewicz

2. Motto: …Zdobywanie wiedzy polega na przyzwyczajaniu się do pewnych pojęć oraz faktów….

3. Szeregi czasowe

4. Szeregi czasowe

5. Szeregi czasowe

6. Zmienna czasowa t Czas wprowadza w zbiorze zdarzeń relację porządku Szeregi czasowe

7. Szeregi czasowe • Przyjmujemy, że n-elementowy szereg czasowy zapisujemy jako zbiór {(t,yt), gdzie: t= 1, 2, …, n}, czyli uporządkowany zbiór n par wartości zmiennych t i Y, który można przedstawić graficznie jako zbiór n punktów w układzie współrzędnych. • Do tego zbioru punktów można dopasować linię o ogólnej postaci: opisującej tendencję rozwojową zjawiska w czasie.

8. Szeregi czasowe • Funkcję: nazywa się modelem trendu. ■ Przy jej wyznaczaniu postępuje się identycznie jak przy budowie modelu regresji z jedną zmienną niezależną. ■ Postać dopasowywanej funkcji trendu wybiera się najczęściej na podstawie wykresu szeregu czasowego.

9. Szeregi czasowe • Zakładamy, iż w szeregu stanowiącym podstawę analizy nie ma wahań sezonowych (wahań takich nie ma nigdy w danych rocznych). • Model tendencji rozwojowej z liniową funkcją trendu przyjmuje postać: • gdzie : yt – poziom zjawiska w okresie t, • liniowa funkcja trendu, • εt – składnik losowy dla okresu t

10. Szeregi czasowe • Przyjmując odnośnie do rozkładu εt takie same założenia jak w klasycznym modelu regresji, uzyskujemy podstawę do szacowania parametrów funkcji trendu za pomocą MNK. • Są to następujące założenia:

11. Szeregi czasowe • Estymatory parametrów α0 i α1 liniowej funkcji trendu są następujące:

12. Liniowy model trendu – szacowanie parametrów • Przykład 1. • Na podstawie poniższych danych o nakładach książek i broszur (w mln. egzemplarzy) wydanych w Polsce w latach 1990-1997: a) zinterpretuj parametry modelu i wypowiedz się na jego temat; b) wyjaśnij, jak przebiegały kolejne etapy obliczeń; c) podaj prognozę wraz z błędem standardowym nakładu książek i broszur w 1999 roku

13. obliczenia pomocnicze Liniowy model trendu – wyznaczanie parametrów

14. Estymatory parametrów modelu trendu liniowego

15. Postać funkcji trendu i interpretacja oszacowanych parametrów • Wyznaczona liniowa funkcja trendu ma postać: • interpretacja: • ocena parametru 0 ustalona na poziomie a0 = 159,893 informuje o wielkości nakładów książek i broszur w Polsce w roku 1989. • ocena parametru 1 ustalona na poziomie a1 = -9,976 informuje, wielkość nakładów książek i broszur w Polsce w latach 1990-1997 malała średniorocznie o 9,976 mln. egzemplarzy (nazywany współczynnikiem trendu liniowego).

16. interpretacja c.d. • współczynnik trendu liniowego a1 możemy interpretować jako przeciętny przyrost zmiennej Y na jednostkę czasu; • dlatego z funkcji liniowej korzysta się, gdy można przyjąć, iż przyrosty absolutne zjawiska w kolejnych okresach są w przybliżeniu stałe.

17. wyznaczony z otrzymanej funkcji trendu „teoretyczny” nakład książek i broszur: obliczenia pomocnicze: weryfikacja modelu

18. Rys.1. Szereg czasowy nakładu książek i broszur i dopasowana do niego prosta Rysunek 1

19. ocena składnika losowego modelu

20. ocena składnika losowego modelu • interpretacja błędu estymacji S(e): • odchylenie reszt, będące miarą przypadkowych odchyleń nakładu książek i broszur od liniowego trendu wynosi 17,559 mln egzemplarzy

21. współczynnik zmienności • interpretacja współczynnika zmienności V: • odchylenia losowe (odchylenia obserwacji teoretycznych od rzeczywistych) nakładu książek i broszur stanowią 15,27% średniego nakładu książek i broszur

22. współczynnik zbieżności interpretacja φ2 : liniowy model trendu nie wyjaśnia około 30,7% całkowitej zmienności nakładu książek i broszur w rozpatrywanym okresie

23. współczynnik determinacji interpretacja R2 : liniowy trend wyjaśnia 69,7% całkowitego zróżnicowania nakładu książek i broszur w rozpatrywanym okresie

24. Weryfikacja modelu c.d. • czy czas istotnie objaśnia nakład książek i broszur? • czy reszty są losowe? • czy występuje autokorelacja reszt? • test t-Studenta • test serii • test Durbina-Watsona

25. Prognoza punktowa • Model tendencji z dobrze dobraną funkcją trendu można wykorzystać do prognozowania zjawiska na przyszłe okresy. • Prognoza ma charakter ekstrapolacji tzn. przeniesienia zaobserwowanej tendencji rozwojowej na przyszłe okresy. • Oznaczając przez T okres, którego dotyczy prognoza, jej wartość obliczymy z otrzymanej funkcji trendu: • Wyznaczony model wykorzystamy do określenia progozy nakładu książek i broszur w 1999 roku. • W przyjętym systemie numeracji rok ten ma numer T=10. • Prognoza wielkości nakładu książek i broszur w 1999 roku wyniesie: • mln egzemplarzy

26. Standardowy błąd prognozy • obliczanie standardowego błędu prognozy VT:

27. Standardowy błąd prognozy • Interpretacja standardowego błędu prognozy VT: • Przeciętnie biorąc, prawdziwe wartości zmiennej Y będą się odchylać od wyznaczonej prognozy średnio o wartość ± VT. • Przykład: • Przeciętnie biorąc, nakład książek i broszur w 1999 roku będzie się odchylał od prognozy nakładu książek i broszur (60,133 mln egzemplarzy) średnio o ± 26,83 mln egzemplarzy.

28. Względny standardowy błąd prognozy • Względny błąd prognozy ex ante: Obliczenia: • Interpretacja: • W 1999 roku przeciętne oczekiwane odchylenie nakładu książek i broszur od prognozowanej wielkości nakładu książek i broszur stanowić będzie około 40% wartości prognozy. • Procentowy rząd odchyleń prognozy od rzeczywistej wielkości nakładu książek i broszur jest bardzo duży i wynosi około 40%.

29. Prognoza przedziałowa • Z tablicy t-Studenta dla n-(k+1) stopni swobody (8-(1+1)=6 ) oraz poziomu ufności 1- (0,95) odczytujemy t = 2,447 . • Wyznaczamy granice przedziału prognozy: • dolna granica 60,133 - 2,447· 23,85=1,772 • górna granica 60,133 + 2,447· 23,85=118,49 • Przedział prognozy jest więc następujący: • [1,772 ; 118,49] • Z prawdopodobieństwem równym 0,95 można przypuszczać, że w 1999 roku nakład książek i broszur będzie się zawierać w tym przedziale