Lógica

1. Lógica • Proposición • Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. • Ejemplos • 1 + 4 = 5 (Verdad) • La Pampa es una nación. (Falso) • 8 + 23 (no es proposición) • María (ídem anterior)

2. Proposición Atómica • Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa. • Ejemplos: • La casa es grande. (es atómica) • La casa no es grande. ( no es atómica) • Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

3. Proposición Molecular • Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

4. Conectivos Lógicos

5. Proposiciones Moleculares • Ejemplos • Vamos en bicicleta o vamos a pie. • No es cierto que Juan llegó temprano • Juan no llegó temprano • Luis es arquitecto y Martín es médico. • La medalla no es de plata y el diploma parece falso. • Matías aprobó pero Lucas no.

6. Simbolización • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. • Ejemplo: • El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr.Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p.

7. Simbolización • Para simbolizar un proposición • Identificar las proposiciones atómicas • Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. • Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

8. Simbolización • Ejemplos • Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q • No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : p

9. Simbolización • Ejemplo • La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q

10. Simbolización • Ejemplo • Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^ s

11. Tabla de Verdad • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

12. Negación • Indique el valor de verdad de: • El número 9 no es divisible por 3. • No es cierto que los perros vuelan.

13. Conjunción • Indique el valor de verdad de : • 6 es un número par y divisible por 3. • ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

14. Disyunción • Indique el valor de verdad de : • 2 es primo o es impar. • (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

15. Construcción de tablas de verdad • ¿Cuántas filas tiene la tabla? • 1 proposición  2 valores (V o F) • 2 proposiciones  4 valores de verdad • 3 proposiciones  8 valores de verdad • ......... • n proposiciones  2n valores de verdad.

16. Ejemplos • Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)

17. Ejercicio • Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

18. Ejercicio • Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

19. Ejercicio • Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

20. Proposiciones moleculares • Según su valor de verdad pueden ser • Tautología • Contradicción • Contingencia

21. Tautología • Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p v p

22. Contradicción • Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p ^ p

23. Contingencia • Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos. • Ejemplo: p ^ q

24. Ejemplos • Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia ( p ^ q ) v ( p v q ) ( q ^ p ) ^ (q ^ p)

25. Equivalencia Lógica • Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) • Ejemplo:

26. Ejemplo:

27. Leyes de De Morgan • La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p v q)  ( p ^ q ) • La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p ^ q)  ( p v q)

28. Proposición condicional • Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p  q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

29. Proposición condicional • Ejemplo: Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección p = "resolvemos la tarea" q = "aprenderemos la lección" Simbolizando: p  q

30. Proposición condicional • Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p  q

31. Tabla de verdad del condicional La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

32. Proposición Condicional • Existen distintas formas de leer un condicional: • “Sip entoncesq”. • “q es una condición necesaria parap” • “p es una condición suficiente para q”.

33. Distintas formas de indicar una proposición condicional • Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par • Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par • Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par • Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

34. Proposición condicional • La contrapositiva de la proposición condicional p  q es la proposición q  p • Muestre la equivalencia lógica: p  q  q  p

35. Proposición condicional • La recíproca de la proposición condicional p  q es la proposición q  p • ¿Son lógicamente equivalentes? p  q  q  p ?

36. Proposición bicondicional • Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

37. p q  (p  q) ^ (q  p)

38. Razonamiento • A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión.

39. Ejemplo de razonamiento • Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar. p = “llueve” q = “iremos a caminar” ( (p q) ^ p )  q Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología

40. Tabla de verdad de ( (p q) ^ p )  q La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas

41. Forma general de razonamiento • El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología

42. Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto • “Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen.” • Simbolización: p = “estudio todos los temas” q = “estoy inspirado” r = “aprobaré el examen” [( (p ^ r )  q) ^ r ]  q ¿ Es una falacia ?

43. Resumen • Un razonamiento es una fórmula condicional p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c • Las proposiciones p1,p2,..pk son las premisas del razonamiento • La proposición c es la conclusión del razonamiento • El razonamiento es una forma válida si p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c es una tautología. • El razonamiento es una forma inválida o falacia si p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c no es una tautología.

44. Notación • El razonamiento p1 ^ p2 ^ … ^ pk  c también puede escribirse como p1 p2 … pk c

45. Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no • Si Rumas evitó la maldición entonces, o bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo. • Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo • Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas.