Az aranymetszés

1. Az aranymetszés Jánosi Júlia és Komorowicz Dávid Bethlen Gábor Általános Iskola és Újreál Gimnázium Felkészítő tanár: Nagy-Tóth Mariann

2. Mi a közös ezekben a képekben?

3. A fogalom Aranymetszésről akkor beszélünk, ha egy mennyiséget, vagy szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez.

4. Megszerkesztése

5. Alkalmazása a matematikában • Szabályos tízszög és szabályos ötszög megszerkesztése Bizonyítható, hogy adott sugarú körbe írható szabályos tízszög oldala megegyezik a sugár hosszabbik aranymetszetével. Ez alapján meg tudjuk szerkeszteni a szabályos tízszöget és abból már könnyedén a szabályos ötszöget is.

6. Érdekességek • A szabályos ötszög átlóit megszerkesztve azt tapasztalhatjuk, hogy az átlók aranyarányban osztják egymást, valamint az átlók pentagrammát alkotnak. A pentagrammáról közismert, hogy számos korban fontos szimbólum volt, gyakran misztikus tulajdonságot társítottak hozzá: • Babilóniában az öt irányt (elől, hátul, balra, jobbra, felül) jelölte. • A pitagoreusoka tökéletesség jelképének tekintették. • Az ókori Rómában az igazság jelképe volt. • A középkorban az öt őselemet jelölték vele. • A számmisztikában a házasság, a boldogság és a beteljesülés jele.

7. Fibonacci-számsorozat • Érdekesség továbbá az is, hogy a Fibonacci-számsorozat egy olyan egész számokból álló számsorozat, ami közelítőleg tartalmazza az aranyarányt. Ha a Fibonacci-sorozat tagjaiból képezzük a szomszédos tagok hányadosából álló sorozatot, akkor azt tapasztalhatjuk, hogy a hányadosok egyre inkább megközelítik a φ értékét. 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13…

8. Fibonacci-számsorozat

9. Az aranyaránymúltja és jelene

10. Felismerése • Az arány fogalma fokozatosan alakult ki az emberiség fejlődésével, így hosszú időnek kellett eltelnie, mire felismerték ezt a különleges viszonyt. • Az aranyarány jelen van az élő természetben, hordozzuk magunkon, szépnek látjuk, ezért tudatosan vagy tudat alatt, de gyakran alkalmazzuk. • A napraforgó magjai, a fenyőtoboz pikkelyei, a karfiol rózsái például Fibonacci-spirálba rendeződnek. (Megj.: „A Fibonacci-spirál egy olyan  logaritmikus spirál, ami egy negyedfordulat alatt nő a φ-szeresére. … Jól közelíthető az aranytéglalap segítségével .” Forrás: Wikipedia) • A nautilusok (csigáspolipok) csigaházát is régóta csodálják: házának keresztmetszetét vizsgálva észrevehető, hogy bárhol is húzunk vonalat a középponton keresztül, a keletkező metszés-arányok aranyarányt adnak.

11. Az emberi test felépítése is ezt a törvényszerűséget követi.

12. Mérés csoporttársakon Iskolánkban a 7. évfolyam egyik csoportjában elvégeztünk egy mérést az „Arány, arányosság” témakörhöz kapcsolódva. Ehhez mérési feladatlapot készítettünk. Az emberi arcon szerettük volna megvizsgálni a képen megjelölt két-két szakasz arányát, igazolni a aranyarányhoz való közelségüket. A mellékelt Excel fájlban megtalálhatóak a szükséges számítások, melyekből arra következtethetünk, hogy a csoport tagjainak arcán megjelölt távolság-párok közel aranyarányban állnak egymással .

13. Tudatos alkalmazása … … az építészetben • Az aranyarányt már az ókorban is ismerték, tudatos alkalmazása az ókori építészetben is fellelhető. (Kheopsz-piramis, aranytéglalap alapú templomok) • A középkorban épült templomok is tartalmazzák ezt az arányt, de esetükben már nem csak az alapméretek hanem az épület egyéb részeinek viszonya is ilyen. • E különleges arány alkalmazását a késői középkort követően a reneszánsz építészei is átvették. (Szent Péter-bazilika) • Érdekes, hogy Gustav Eiffelnek a párizsi világkiállításra készült híres tornya is befoglalható olyan téglalapba, melynek hossza a szélesség kétszerese, azaz közel aranyarányban áll a két adat egymással. • A mai modern építészet is tartogat meglepetéseket: Témaválasztásában ide kapcsolódó érdekesség, hogy a köztudottan aranyarányt hordozó nautilus csigaház szépsége adott ihletett egy mexikói építésznek, Javier Senosiainnak ahhoz, hogy egy 2 gyermekes meseszerető házaspár megrendelésének eleget tegyen. Alkotásával - a 2006-ban Mexikóvárosban megépült házzal - minden idők egyik legérdekesebb otthonát alkotta meg, amellyel felhívta a figyelmét a barcelonai World ArchitectureFestivalzsűríjének , akik „kiemelten említésre méltó” megjegyzéssel válogatták be a az otthont a családi ház kategóriába.

14. Tudatos alkalmazása … … a képzőművészetben Számos alkotáson felfedezhetőek a jól átgondolt kompozíciós törvények: • Leonardo da Vinci: Mona Lisa, Az utolsó vacsora • Renoir: Nő a Békástanyán • Michelangelo is az aranymetszés szabályai szerint komponálta alkotásait. • Magyar vonatkozásban érdemes megemlíteni Csontváry Kosztka Tivadart. Ismert róla, hogy képeinek táblája, belső szerkezete szigorúan tervezett volt, alkalmazta az aranyarányt mint rendezőelvet. … a tipográfiában A kellemes oldalkép kialakításához ügyelnek a megfelelő arányok betartására, építenek az aranymetszés szabályaira. Címek, alcímek és a szövegtörzs betűméretének viszonya általában ilyen. … a költészetben Számos korszakban meghatározta a költemény szerkezetét: • Dante: Isteni színjáték (korai reneszánsz) • Balassi Bálint: Adj már csendességet (reneszánsz) • romantika • Dsida Jenő (XX. század)

15. Tudatos alkalmazása … Fibonacci ihlette költészet … a zenében A klasszikus zenében a dallamok általában szimmetrikusan tagolódnak, az aszimmetrikus formaalkotás a modern zenére jellemző. Ezen belül tipikusnak tekinthető az aranymetszésnek megfelelő aszimmetrikus szerkesztési mód, mely egyes zeneszerzők, sajátossága, például Bartók Béla műveire ez tipikusan jellemző. Bartóknál az aranymetszés tudatos alkalmazása zenedarabjainak megkomponálásánál nemcsak a harmóniában, az akkordok felépítésében, hanem a zenemű egyes részeinek arányában, formai tagolódásában is megmutatkozik.

16. Tudatos alkalmazása … … faesztergálásnál Faeszetrgálásnál is igen fontosak az esztétikai szempontok. … hangszerkészítésnél Hangszerek készítői is ügyelnek az esztétikus felépítésre: számos hangszernél aranyarány szerinti felosztást láthatunk.

17. A fotózásban … a fotózásban Ha alkalmazzuk az aranymetszés szabályát, harmonikusnak fogjuk látni a kompozíciót. Számos kiemelt kép erre a rendezési elvre épül, illetve ennek egyszerűsített változatára, a harmadolásra.

18. Összegzés Az aranyarány egy olyan különleges arány, ami elbűvölő a matematikusok, a tudósok számára éppen úgy, mint a hétköznapi ember számára. Egy felosztás, ami annak ellenére, hogy nem szimmetriát hanem aszimmetriát hoz létre, harmóniát sugall. Egy törvényszerűség, melyet alkalmazva mindig valami különlegesen széphez, majdnem tökéleteshez jutunk. Érdemes felismerni, megismerni és alkalmazni.

19. Köszönjük a figyelmet! Jánosi Júlia és Komorowicz Dávid

20. Forrásjegyzék Források: Hámori Miklós: Arányok és talányok (http://mek.hu) Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, Budapest, 1974) http://wikipedia.hu http://faesztergalas.info/aranymetszes.html http://materd.uw.hu http://www.sulinet.hu/tart/fcikk/Kcf/0/24198/1 http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Aranymetszes.htm http://www.scribd.com/doc/56072995/97/Pentatonia-es-aranymetszes Képek forrása: http://www.jakegarn.com/wp-content/uploads/2009/04/carly-fruit-212.jpg http://www.elle.com/var/ezflow_site/storage/images/elle/beauty/beauty-spotlight/golden-ratio-perfect-face/2706169-1-eng-US/TECH-SUPPORT_articleimage.jpg http://static.musiciansfriend.com/derivates/19/001/242/902/DV020_Jpg_Jumbo_466970.912_inline_G.jpg http://alrons.com/ebay/violinsmart/violin/j/black/set_1024x768.jpg http://www.nmd.ro/uploads/hirek/16632Bela-Bartok.jpg http://maquilladas.com/wp-content/2011/04/Manos-j%C3%B3venes-y-perfectas.jpg http://phanmiles.com/imgsmall/parthenon_01.jpg http://www.free-photos.biz/images/nature/natural_patterns/spiral_aloe.jpg http://www.lygeros.org/Images/3548_Da_Vinci_Vitruve.jpg http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Image-Golden_ratio_line.png http://www.cynhannah.com/wp-content/uploads/2012/01/694780262_9ce5d4fe6c_o.jpg http://s1.hubimg.com/u/4934732_f520.jpg http://wiki.qsm.ac.il/images/8/89/Ubjhv.png http://4.bp.blogspot.com/_yGdptOyPBI4/TLYjmmHMbVI/AAAAAAAAAHw/MPrFFV_Cgi0/s1600/800px-fractal_broccoli.jpg http://cmk.typepad.com/.a/6a00e54ffbdd948833011168943269970c-800wi http://3.bp.blogspot.com/-3NlD1raVqfY/TYHiLIr7qnI/AAAAAAAAAJE/lwRt4fQ-GrQ/s1600/Picture8.jpg http://www.nat-n-bio.santotomas.edu.bo/wp-content/uploads/2011/08/Nautilo-22.jpg http://www.o-ws.hu/img/picture/501/shellbig.jpg http://faesztergalas.info/images/aranymetszes1.JPG http://imagestore1.blogger.hu/25_19468_234651_0fa79c6e649e5da96061846286599f8d_3d51c5_301.jpg http://www.scrapbook.hu/wp-content/uploads/image/icka/arany02.jpg http://wikitravel.org/upload/en/3/32/Paris-eiffel-tower.jpg http://www.shearyadi.com/myworld/wp-content/uploads/2008/07/27072008_javier-10.jpg http://antigoegipto.alojamentogratuito.com/Kheops.jpg http://2.bp.blogspot.com/jbRdqw9JWrM/Tedllg5TAjI/AAAAAAAAAB8/zJhiB7hdvA8/s1600/3.jpg http://materd.uw.hu/08_08_02.jpg