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Les Signaux

Les Signaux. F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de l’Information Module 2112 – Représentation de l’information. Plan. Définitions Les signaux sinusoïdaux Analyse de Fourier Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal. Définitions.

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  1. Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de l’Information Module 2112 – Représentation de l’information Les signaux

  2. Plan • Définitions • Les signaux sinusoïdaux • Analyse de Fourier • Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal Les signaux

  3. Définitions Télécommunications Information Signal Fonction Information et Transmission Analogique • Information et Transmission Numérique • Signal déterministe / Signal aléatoire • Signal Périodique Les signaux

  4. Télécommunications / Information • Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant l’acheminement aussi fidèle que possible d’informations entre deux points. • L’information est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné. • Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)… bruit Emetteur canal Récepteur Signal émis Signal reçu Message émis Message reçu Source d’information Destinataire Les signaux

  5. Exemple Emetteur Récepteur Courant électrique Courant électrique Combiné téléphonique Ligne téléphonique Combiné téléphonique Mots dits Pression acoustique Message reçu Pression acoustique bruit Cordes vocales Oreille Mots compris = message Mots pensés = message Personne Personne Les signaux

  6. Fonction • La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ». • Intensité du courant électrique : i(t) • Tension électrique : v(t) • Pression : p(t) • … v(t) t Les signaux

  7. Information analogique / Information discrète • Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre n’importe quelle valeurs entre -  et +. • Une information numérique est une information discrète (c’est-à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes. • Ex: la suite de bits 101100001010101101 cadencée par une horloge de durée T0. s(t) t t1 t2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Information binaire Les signaux T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 … horloge

  8. Transmission analogique / Transmission numérique • Transmission analogique  l’information à transmettre est analogique • Transmission numérique  l’information à transmettre est numérique • Le signal physique utilisé lors d’une transmission est toujours analogique, mais l’interprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type d’information. Signal analogique Récepteur- Interprétation Information analogique Information Numérique Les signaux

  9. La transmission numérique : exemple tension tension temps Signal - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Interprétation : Information Numérique 00110110010100110100111 Modem Interprétation : Information Numérique Les signaux

  10. La transmission analogique : exemple Signal sonore Signal électrique Commentateur radio Câbles Micro Signal électrique Signal électromagnétique Câbles Antenne Antenne Signal électrique Signal électrique Interprétation: Information Analogique Auditeur Haut-parleur Les signaux Signal sonore

  11. Signaux déterministes / Signaux aléatoires • Lancé de dé = message aléatoire • Partition de piano = message déterministe • Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites. • Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2Ft) • Signal aléatoire : dont l’évolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques. • Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission • Dans la nature aucun signal n’est déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission d’informations. Les signaux

  12. Signal périodique s s t t T T • Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps. • Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s) • Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz) Signal carré Signal sinusoïdal Les signaux

  13. Les signaux sinusoïdaux Les signaux

  14. Rappels de trigonométrie • Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique. • Le point A part de I à l’instant t = 0. • Il fait un tour en T secondes. • On note (xA,yA) ses coordonnées dans le repère orthonormal (O, I, J). • On note à l’instant t. On définit le cosinus de l’angle  par On définit le sinus de l’angle  par NB : Si besoin, revoir le cours d’harmonisation mathématiques… Les signaux

  15. Les fonctions sinus et cosinus 1 0 t -T T période T période T -1 -2 2  2 -2  T -T 1 0 t -1 • Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians. •   et t sont liés par la relation • Représentation temporelle de cos et sin Les signaux

  16. Représentation temporelle du cosinus A 0 t T 0 -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

  17. Représentation temporelle du cosinus B+A A B 0 A t T 0 B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

  18. Représentation temporelle du sinus A 0 0 t T -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

  19. Représentation temporelle du sinus B+A A B 0 0 A t T B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

  20. Phase initiale • On nomme 2Ft la phase instantanée et  la phase initiale du signal. Elles s’expriment en radian. • Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon l’axe des abscisses • vers la gauche si >0 • Vers la droite sinon B+A B   2 0 0 t T 0 B-A Les signaux

  21. Analyse de Fourier Les signaux

  22. Représentation temporelle d’un signal • C’est la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps. • Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas. Pression acoustique temps Les signaux

  23. Un peu d’histoire : Joseph Fourier Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « d’analyse spectrale » ou « d’analyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble. Les signaux

  24. Le théorème de Fourier • Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul. • Ce théorème s’applique donc à des signaux analogiques. Les signaux

  25. Comment la somme est-elle construite ? • s(t) est périodique, de fréquence F s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … a  cos b  sin pas de b0 Indice n  nF Les signaux

  26. Définitions • s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2  Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … • Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls • Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2Ft) • Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t)  • a0 est la valeur moyenne de s(t) • Ex. : s(t) = A.sin(2Ft) + B • F est la fréquence fondamentale de s(t), c’est aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t) • nF sont les fréquences harmoniques de s(t) Les signaux

  27. Fabriquer s(t) • On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques. • Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … Signaux connus Pour « fabriquer » avec un logiciel Les signaux

  28. Calculer les coefficients • On peut calculer les coefficients de Fourier d’un signal s(t) (connu) : s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur. Signal périodique connu par l’intermédiaire de sa représentation temporelle Les signaux

  29. Calculer les coefficients • Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. … s(t) T t Les signaux

  30. Décomposition en série de Fourier • La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier. Les signaux

  31. Spectre • Définition: c’est la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme. • Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients an et celui qui donne la représentation des coefficients bn • Représentations en fonction de la variable fréquence • Intérêt pratique par rapport à l’écriture complète de la somme de Fourier. Les signaux

  32. Deux spectres : an(f) et bn(f) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Fréquence F a0 =a01 = a0 cos(0)= a0cos(20Ft) Les signaux

  33. Deux spectres : an(f) et bn(f) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … • Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée  : a0 est associé à la fréquence nulle a1 est associé à la fréquence fondamentale F a2 est associé à la fréquence harmonique 2.F a3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc… b1 est associé à la fréquence fondamentale F b2 est associé à la fréquence harmonique 2.F b3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc…

  34. Représentations d’un signal • On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal. • Ainsi un signal peut être connu grâce • à sa représentation en fonction de la variable "temps" = représentation temporelle, ou • à ses 2 représentations en fonction de la variable "fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres • Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes. Les signaux

  35. Exemple important : le signal carré s(t) 1 0 T t an bn 0.5 0.5 0.1 0.1 0 0 f f 0 F 3F 5F 7F 9F 0 F 3F 5F 7F 9F Les signaux

  36. Spectres amplitude et argument • On montre par le calcul que l’on peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme • On passe de l’expression à cette nouvelle écriture en posant • S0 = a0 Les signaux

  37. Spectres amplitude et argument Sn n 0 0 F 3F 5F 0 f F f • Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres an et bn. • Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée • Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée • Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré Les signaux

  38. Exemple : note de piano Pression acoustique t Les signaux

  39. Quel est l’intérêt des spectres? • Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux? • On connaîtra la réponse grâce • aux propriétés du système • spectres du signal • Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont l’explication passe par l’observation du spectre du signal modulé. Les signaux

  40. Effet d’un déphasage sur les spectres s(t) 1 0 T t sd(t) 1 0 T t • Considérons le signal carré précédent déphasé de t. On note sd le nouveau signal obtenu. t Les signaux

  41. Effet d’un déphasage sur les spectres bn 0,5 0 0 0 f F 0 f F 3F 5F an bn 0,5 0,5 0 0 0 F 3F 5F f 0 F 3F 5F • Signal carré s(t) an 0,5 • Signal carré déphasé sd(t) f Les signaux

  42. Effet d’un déphasage sur les spectres Sn Sn n n 0 f F 0 0 0 0 F F 3F 3F 5F 5F 0 f F f f • Signal carré s(t) • Signal carré déphasé sd(t) Les signaux

  43. Effet d’un déphasage sur les spectres • On constate que : • Les spectres an et bn de deux signaux de même nature mais déphasés sont différents. • Les spectres Sn de deux signaux de même nature mais déphasés sont identiques. •  Le spectre amplitude permet de connaître la nature d’un signal. Le spectre argument porte l’information de phase. Les signaux

  44. Et pour un signal non périodique ? • Approche intuitive • On peut considérer qu’un signal non périodique est un signal périodique dont la période T tend vers +. • Observons le spectre amplitude d’un signal rectangulaire dont la fréquence croît. Période T t 0 Les signaux

  45. Spectre d’un signal non périodique Sn 0 F1 f Sn 0 f Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1 Fréquence F1 Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8 Fréquence F2 = F1/8 Les signaux

  46. Spectre d’un signal non périodique • Si T tend vers l’infini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment. • Le spectre d’un signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t). • L’équivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. C’est une fonction continue. • L’équivalent du spectre argument pour un signal non périodique est l’argument de S(f). C’est une fonction continue. • A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule : Les signaux

  47. Comparaison Sn(f) S(f) f f f1 f2 0 fmax 0 F 2F 3F 4F BFP BFP Signal périodique Signal non périodique F F0 Spectre discret Spectre continu Intervalle continu de fréquence [0;fmax] 0 F 2F 3F….nF Transformée de Fourier S(f) = fonction mathématique continue Coefficients Sn(f) Somme continue de signaux sinusoïdaux Somme discrète de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale Bande de fréquences principale

  48. Valeur moyenne et Puissance moyenne d’un signal Les signaux

  49. Pourquoi s’intéresser à la puissance ? • Un signal est transmis par le biais d’une représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas d’un son), etc. … • Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal. • Exemple simple : Dans le cas d’une tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture l’électricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant l’unité de la puissance du signal électrique. Les signaux

  50. Pourquoi s’intéresser à la puissance ? • De plus, la puissance d’un signal électrique influence l’environnement électromagnétique. • Exemple : La réception d’un message téléphonique sur un téléphone portable perturbe l’affichage sur un écran de TV ou d’ordinateur ; l’utilisation d’un mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision… • Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis. • Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante. •  Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à l’intérieur des bâtiments). • Il est donc essentiel de quantifier la puissance d’un signal. Les signaux

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