Geometria I

1. Geometria I 2. Prednáška PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD. FMFI UK, 2012

2. Obsah 2. prednášky • Afinný priestor An 2.2 Afinná súradnicová sústava v An 2.3 Bodovo vektorový kalkulus 2.4 Maticový zápis súradníc 2.5 Afinné súradnicové sústavy v A1,A2,A3

3. 2.1 Afinný priestor Definícia 2.1.: n-rozmenýmafiným priestorom An nad poľom Pnazývame každú usporiadanú trojicu An=(B,Vn,-), kde: • B – je ľubovoľná neprázdna množina, jej prvky sú body a označujú sa A,B,C,... • Vn -n-rozmerný /konečnorozmerný/ vektorový priestor nad P, jeho prvky sú vektory a označujú sa a, b, c, ... • ― je zobrazenie B x B →Vn; (A,B)→B ―A, ktoré nazývame rozdiel bodov afinného priestoru, s vlastnosťami

4. 2.1 Afinný priestor • Množinu B nazývame bodová zložka afinného priestoru /nošič/, vektorový priestor Vn nazývame vektorová zložka afinného priestoru /zameranie/. Usporiadaná dvojica bodov (A, B) je umiestnením vektoraBA, alebo tiež jeho umiestnením do bodu A. • Dimenzia (rozmer) afinného priestoruAn je dimenzia jeho vektorovej zložky Vn, teda: dimAn =dimVn. • Jednorozmernýafinný priestor A1 - afinná priamka • Dvojrozmernýafinný priestor A2 - afinná rovina • Nularozmernýpriestor je extrémne jednoduchý, lebo má jediný bod a jediný vektor (a to nulový vektor). Preto budeme spravidla uvažovať len priestory s kladnou dimenziou.

5. 2.1 Afinný priestor Príklad 2.1: Daná je trojica , kde • Zistite, či Rn je n-rozmernýafinný priestor nad poľom  Priestor Rnjen-rozmernýafinný priestor nad poľom  a nazýva sa aj aritmetický afinný priestor [3] alebo priestor rozšírených súradníc[1], alebon-rozmerný súradnicový priestor nad poľom [2].

6. 2.1 Afinný priestor Definícia 2.2.: Bod B z požiadavky (v1) sa zapisuje v tvare A + u. teda: B = A + u u=B- A Z definície bezprostredne vyplýva, že pre všetky body A,B a pre všetky vektory uafinného priestoru Anplatí: • A + (B – A) = B (2.1) • (A + u) – A = u (2.2) Veta 2.1: Nech A,B,C,D sú ľubovoľné body a u, v sú vektory afinného priestoru An. Potom platí: • , • , • , • ,

7. 2.2 Afinná súradnicová sústava Na riešenie geometrických úloh analytickou metódou zavedieme afinnú súradnicovú sústavu. Na to je potrebné v priestore An=(B,Vn,-), zvoliť určitý bod O (OB(An)) a bázu [e1,e2,...,en] jeho vektorovej zložky Vn(An). Definícia 2.3.: Usporiadanú (n+1)-ticu [O,e1,e2,...,en] zloženú z bodu OB(An) a bázy [e1,e2,...,en] Vn() (lineárne nezávislých vektorov {e1,e2,...,en}Vn(An)) nazývame afinným súradnicovým repérom v An.

8. 2.2 Afinná súradnicová sústava Podľa (v1) platí, že ku každému bodu XB(An) existuje práve jeden vektor xVn(An) taký, že: x=O – X a z lineárnej algebry je známe, že ku každému vektoru xVn(An) existuje práve jedna usporiadaná n-tica [x1,x2,...,xn]Pn taká, že: x= x1e1+x2e2+...+xnen. Z týchto dvoch faktov vyplýva: Veta 2.2:

9. 2.2 Afinná súradnicová sústava • Definícia 2.4.:Afinná sústava súradnícO,e1,e2,...,en  v afinnom priestore An prislúchajúca k repéru [O,e1,e2,...,en] je bijektívne zobrazenie z množiny do B(An) do Pn, ktoré každému bodu XB(An) priradí usporiadanú n-ticu [x1,x2,...,xn]Pntakú, že X=O+x1e1+x2e2+...+xnen. • Bod O nazývame začia­tok sústavy súradníca vektorye1, ..., en nazývame súradnicovými vektormi. • Vzhľadom na to, že pre začiatok O afinnej súradnicovej sústavy O,e1,e2,...,en  platí rovnosť: O – O =0=x1e1+x2e2+...+xnen je zrejmé, že x1=x2=...=xn=0 a teda O = [0,...,0]. Z tohto dôvodu voláme niekedy bod O aj nulový bod. Taktiež vektory e1,e2,...,en nazývame jednotkovými vektormi, lebo ich súradnice sú jednotkové n-tice: e1=[1,0,...,0],e2=[0,1,...,0]...,en=[0,0,...,1] • Body E1 = O+e1,E2=O+e2, ... nazývame jednotkovými bodmi, orientované priamky x1=OE1 , x2=OE2 ,... súradnicovými osami, roviny ij=O+[ei,ej]- súradnicovými rovinami, ... nadrovinyj=O+[e1,..., ei-1,ei+1...,en] i=1,2,...n- súradnicovými nadrovinami.

10. 2.2 Afinná súradnicová sústava Definícia 2.5.: Vektor XO nazývame po­lo­hový vektorbodu XAn vzhľadom na danú sústavu súradníc O,e1,e2,...,en , presnejšie vzhľa­dom na začiatok sústavy súradníc O. (Niekedy sa možno stretnúť s nesprávnym výrazom rádiusvektor). Definícia 2.6.: Súradnice bodu X afinného priestoru An vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc O,e1,e2,...,en  sú súradnice jeho polohového vektora vzhľadom na bázu súradnicových vektorov [e1,e2,...,en].

11. 2.2 Afinná súradnicová sústava Skutočnosť, že bod X má súradnice (x1, ..., xn) resp. že vektor u má súradnice (u1, ..., un) zapisujeme: X (x1, ..., xn) resp. u  (u1, ..., un). Poznámka: V tejto situácii symbol „“ nevyjadruje rovnosť dvoch objektov, ale reprezentáciu bodu resp. vektora jeho súradnicami. Čítame ho teda: „ bod/vektor má súradnice“. Pre súradnice vektora u a bodu X zrejme platí Z bijektívnosti zobrazenia O,e1,e2,...,en  vyplýva, že body A=[a1,...,an], B=[b1,...,bn], splývajú práve vtedy keď majú rovnaké všetky zodpovedajúce si súradnice, t.j. platí:

12. 2.2 Afinná súradnicová sústava Operácie s bodmi a vektormi sa prirodzeným spôsobom odrážajú v operáciách so súradnicami. Hovorí o tom tzv. základná veta o súradniciach. Veta 2.3: Nech A (a1,...), B (b1,...), c (c1,...), d (d1,...). Potom • Bod Ac má súradnice (a1c1,...). • Vektor BA má súradnice (b1a1,...). • Vektor cd má súradnice (c1d1,...). • Vektor tc má súradnice (tc1,...). Dôsledok: Ak A (a1,...), B (b1,...), C (c1,...) tak C + t(B - A)=(c1+t(b1- a1),...)

13. 2.3 Bodovo vektorový kalkulus Príklad 2.2: Dokážte, že pre všetky body Aa vektory u, v platí (Au) v A (uv). Princíp počítania s bodmi a vektormi. Výrok o bodoch, vektoroch a číslach a o operáciách rozdiel bodov, súčet bodu s vektorom, súčet vektorov a skalárny násobok vektora je pravdivý, • ak je korektne zapísaný a • ak je pravdivý výrok, ktorý z daného výroku vznikne nahradením všetkých bodov a vektorov reálnymi číslami. Príklad 2.3: (Au) v A (uv) = Auv. Príklad 2.4:

14. 2.4 Maticový zápis súradníc • Pre lepšiu prehľadnosť súradnice bodov a vektorov vyjadrujeme prostredníctvom matíc. • nezáleží, či súradnice zapíšeme do riadkovej alebo stĺpcovej matice. • stĺpcové matice budeme písať ako transponované k riadkovým. • Maticu súradníc • bodu A: A = (a1, ..., an)T pre bod A so súradnicami (a1, ..., an), • vektora u: U = (u1, ..., un)T pre vektor u so súradnicami (u1, ..., un). Veta 2.3 teda hovorí, že pri maticovej reprezentácii súradníc sa operácie s bodmi a vektormi prirodzeným spôsobom realizujú ako odpovedajúce operácie s maticami: • matica A + U je maticou súradníc bodu A + u, • matica B - A je maticou súradníc vektora B - A.

15. 2.4 Maticový zápis súradníc Niekedy pridávame ako ďalšiu zložku • k súradniciam bodu číslo 1 • k súradniciam vektora číslo 0. Takto vzniknú rozšírené afinné súradnice bodu resp. vektora. Maticu rozšírených súradníc označujeme: • Pre bod A=(a1,...,an) → A~= (a1...an1)T • Pre vektor u=(u1, ..., un).→ U~= (u1 ... un0)T Operácie s bodmi a vektormi sa opäť realizujú ako odpovedajúce operácie s maticami rozšírených súradníc bodu. • A~ + U ~ je maticou súradníc bodu A + u.

16. 16/17 x = x1e1 e1 X=(x1) (os) x1 O (os) x2 X=(x1, x2) x2e2 x e2 e1 O (os) x1 x1e1 2.5 Afinné súradnicové sústavy • Afinnásústava na afinnej priamke A1 • je určená repéromO, e1, • je to bijektívne zobrazenie množinyBdo R1, ktoré každému bodu XBpriradí práve jeden prvok (x1) R1taký, že X = O + x1e1. • Afinnásústava v afinnej rovine A1 • je určená repéromO, e1, e2, • je to bijektívne zobrazenie množinyBdo R2, ktoré každému bodu XBpriradí práve jednu usporiadanúdvojicu (x1, x2) R2 takú, že X=O+ x1e1 + x2e2.

17. (os) x3 x x3e3 X=(x1, x2, x3) e3 x1e1 x2e2 e1 e2 O (os) x1 (os) x2 2.5 Afinné súradnicové sústavy • Afinná sústava v afinnej rovine A3 • jeurčená repéromO, e1, e2, e3, • je to bijektívne zobrazenie množinyBdo R3, ktoré každému bodu XBpriradí práve jednu usporiadanútrojicu (x1, x2 , x3) R3takú, že X=O + x1e1 + x2e2 + x3e3.

18. Ďakujem za pozornosť Nasleduje cvičenie...