Geometria I

1. Geometria I 4. Prednáška PaedDr. Miroslav Tisoň, PhD. FMFI UK, 2010

2. Obsah 4. prednášky • Vzájomné polohy podpriestorov 4.1 Vzájomné polohy špeciálnych typov podpriestorov 4.1.1 Vzájomná poloha dvoch nadrovín 4.1.2 Vzájomná poloha priamky a nadroviny 4.1.3 Vzájomná poloha dvoch priamok

3. Vzájomné polohy podpriestorov Definícia 4.1:Lineárne podpriestory, ktorých prienik je prázdna množina, nazývame disjunktné. Hovoríme aj, že takého podpriestory sa nepretínajú. Ak nie sú dva podpriestory disjunktné, potom sú nedisjunktné (pretínajú sa, majú neprázdny prienik). Veta 4.1: Nech , β sú lineárne podpriestory priestoru An a V() a V(β) sú ich smerové podpriestory. Potom platia nasledovné tvrdenia: • Neprázdny prienik podpriestorov  a β je podpriestor, ktorého smer je prienikom smerov V() a V(β). • Ak je prienik podpriestorov neprázdny  β ≠  a platí, že V() V(β) , tak podpriestor  β. Veta 4.2: Podpriestory ,  sa pretínajú, práve vtedy ak, pre ľubovoľné body A a B platí, že vektor B–AV() + V(β).

4. Vzájomné polohy podpriestorov Definícia 4.2:Lineárnym súčtom (spojením) dvoch podpriestorov U, W vektorového priestoru V nazývame množinu UWuwuU a wW. Táto množina je najmenší podpriestor vektorového priestoru V, ktorý obsahuje podpriestory U a W. Ozn. U  W Veta 4.3: Pre vektorový podpriestor lineárneho súčtu podpriestorov   β platí: V(β)=(B-A)+(V()+V(β)), kde A a B sú ľubovoľné body. Dôsledok 4.1: Dva lineárne podpriestory sú nedisjunktné, práve vtedy a len vtedy ak vektorový podpriestor lineárneho súčtu sa rovná súčtu vektorových podpriestorov lineárnych podpriestorov. Teda:  β ≠  V(β)=(V()+V(β)), a pre dimenziu lineárneho súčtu podpriestorov platí: dim(β)=dim(V()+V(β)), Ak sú dva lineárne podpriestory nedisjunktné, potom pre ich lineárny súčet platí: β=M+(V()+V(β));Mβ a pre dimenziu lineárneho súčtu platí: dim(β)=dim+dimβ-dim(β) Dôsledok 4.2:Dva lineárne podpriestory sú disjunktné práve vtedy a len vtedy, ak pre dimenziu lineárneho súčtu platí: dim(β)=1+dim(V()+V(β)) Veta 4.4: Pre každé dva lineárne podpriestory , β priestoru An platí: =β(β  β) dim=dimβ

5. Vzájomné polohy podpriestorov Definícia 4.3:Lineárne podpriestory , β priestoru An sa nazývajú: • Rovnobežné, ak všetky smerové vektory jedného podpriestoru sú smerovými vektormi druhého • Rôznobežné, ak majú spoločný aspoň jeden bod a žiadny z podpriestorov nie je podmnožinou druhého • Mimobežné, ak sú disjunktné a prienik smerových podpriestorov obsahuje len nulový vektor • Čiastočne rovnobežné alebo čiastočne mimobežné, ak sú disjunktné a nie sú rovnobežné ani mimobežné.

6. Vzájomné polohy podpriestorov Veta 4.5: Pre dva rovnobežné lineárne podpriestory platí: • Ak dim=dimβ potom alebo splývajú, alebo nemajú spoločný ani jeden bod. • Ak dim≠dimβ potom alebo nemajú ani jeden spoločný bod, alebo jedna je vlastnou podmnožinou druhej. Veta 4.6: Pre všetky podpriestory  a  platí: •  a  sú rovnobežné  dimV()V()  min(dimV(), dimV()). •  a  sú rôznobežné  a dim min(dim, dim). •  a  sú mimobežné  a 0  dimV()V()  min(dimV(), dimV()). Poznámky: • Vzťahy sú symetrické – hovoríme o vzájomnej rovnobežnosti,rôznobežnosti, ... • navzájom sa vylučujú • Ak je jeden z podpriestorov časťou druhého, tak je s ním rovnobežný. Špeciálne, splývajúce podpriestory sú navzájom rovnobežné. • Triviálny podpriestor je rovnobežný s každým podpriestorom. Nularozmerný a jednorozmerný priestor má iba triviálne podpriestory

7. Vzájomné polohy podpriestorov Príklad 4.1: Zistite, aká je vzájomná poloha priamok a) p, q b) p, r c) r, s, kde p: x  3 t, y  1 t, z  2 t, q: x  4 t, y t, z  2 t, r: xyz 5 = xy 2z 8 = 0, s: x  5 t, y t, z  2 t. Príklad 4.2: V štvorrozmernom priestore určite vzájomnú polohu podpriestorov • : x1-x2+3x4-4=0,2x2-x3-3x4+5=0, • β: x1=1+2u+v, x2=1-u, x3=1+u+v, x4=1-u

8. Vzájomná poloha dvoch nadrovín Veta 4.7: Vo vzájomnej polohe nadrovín môžu nastať tieto a len tieto prípady: • = β • ||β   β =  • , β sú rôznobežné a  dim β =n-2 Veta 4.8: Pre nadroviny , β dané všeobecným vyjadrením v tvare: : a1x1+...+anxn+a0=0; β: b1x1+...+bnxn+b0=0 platí: A) B) C) , β sú rôznobežné

9. Vzájomná poloha dvoch nadrovín Dôsledok 4.3: ||βh(A)=1 Dôsledok 4.4: Dve nadroviny n-rozmerného priestoru sú rovnobežné alebo rôznobežné, pričom v druhom prípade ich prienik má dimenziun 2. Dôsledok 4.5: Dve priamky v rovine sú rovnobežné alebo rôznobežné. Ak sú rôznobežné, majú spoločný práve jeden bod (nazývame ho priesečník). Dôsledok 4.6: Dve rôzne priamky v rovine sú rovnobežné práve vtedy, ak sa nepretínajú. Dôsledok 4.7: Dve roviny v trojrozmernom priestore sú rovnobežné alebo rôznobežné. Ak sú rôznobežné, ich prienikom je priamka (nazývame ju priesečnica). Dôsledok 4.8: Dve roviny v trojrozmernom priestore sú rovnobežné práve vtedy, ak sa nepretínajú, alebo ak sú totožné.

10. Vzájomná poloha priamky a nadroviny Veta 4.9: Vo vzájomnej polohe priamky p a nadroviny  môžu nastať tieto a len tieto prípady: • p • p||   β =  • p, sú rôznobežné a majú spoločný jediný bod. Dôsledok 4.9: Priamka je s nadrovinou rovnobežná alebo rôznobežná, pričom v druhom prípade majú spoločný práve jeden bod (nazývame ho priesečník). Dôsledok 4.10: Priamka je rovnobežná s nadrovinou práve vtedy, keď ju nepretína, alebo keď v nej leží. Dôsledok 4.11: V trojrozmernom priestore je priamka s rovinou rovnobežná alebo rôznobežná, pričom v druhom prípade majú spoločný práve jeden bod. Dôsledok 4.12: V trojrozmernom priestore je priamka rovnobežná s rovinou práve vtedy, keď ju nepretína, alebo keď v nej leží. Veta 4.10: Pre vzájomnú polohu priamky p danej parametricky a nadroviny  danej všeobecnou rovnicou platí: • p, sú rôznobežné p={P}  b1a1+...+bnan≠0 • p  b1a1+...+bnan=0  b1x10+...+bnxn0=0 • p||   β =   b1a1+...+bnan=0  b1x10+...+bnxn0≠0 Dôsledok 4.13: p||  b1a1+...+bnan=0

11. Vzájomná poloha dvoch priamok Lema: Priamky pPu a qQv majú spoločný bod práve vtedy, keď QPu,v. Veta 4.11: Dve priamky pA,a a qB,b môžu mať túto a len túto vzájomnú polohu: • p = q • p||q  pq=  • p, q sú rôznobežné s jediným spoločným bodom • p, q sú mimobežné Veta 4.12: Priamky p:X = A +ta, q: X = B +sb (V(p)+V(q)=[a,b]) sú: • rovnobežné práve vtedy, keď vektory a, b sú lineárne závislé, • splývajúce (pq)h(B-A,a,b)T=1 • p||q  pq=  h(a,b)T=1  h(B-A,a,b)T=2 • rôznobežné h(a,b)T=2  h(B-A,a,b)T=2 • mimobežné h(B-A,a,b)T=3

12. Vzájomná poloha dvoch priamok Dôsledok 4.14: Dve rôzne rovnobežné priamky ležia v práve jednej rovine. Dôsledok 4.15: Dve priamky sú rovnobežné práve vtedy, keď sú totožné, alebo keď ležia v rovine a nepretína­jú sa. Dôsledok 4.16: Dve rôznobežné priamky ležia v práve jednej rovine. Dôsledok 4.17: Dve priamky sú mimobežné práve vtedy, keď neležia v rovine.

13. Priečka mimobežiek Definícia 4.4:Priečka dvoch podpriestorov je priamka, ktorá pretína oba podpriestory. Poznámka 4.6: Priamok z definície je ich nekonečne veľa. Pre priečky dvoch mimobežiek platí, že všetky ležia v pq. Má zmysel určiť priečku r mimobežiek p,q rovnobežnú s nejakým vektorom a: r||aV(pq) alebo prechádzajúcu nejakým bodom M: Mr  Mpq. Veta 4.13: A) Nech vektor rV(pq)=B-A,a,b  ra,b potom existuje práve jedna priečka r mimobežiek p, q rovnobežná s vektorom r. B) Nech bod Mpq=A,B-A,a,b  MA,a,b  rB,a,b potom existuje práve jedna priečka r mimobežiek p, q prechádzajúca bodom M.

14. Ďakujem za pozornosť Nasleduje cvičenie...