Bases Matemáticas para la Educación Primaria Guía de Estudio

1. Bases Matemáticas para la Educación PrimariaGuía de Estudio Tema 2: Aritmética I) Adición y sustracción

2. Esta imagen describe una situación introductoria en la lección sobre “la suma y la resta” de un libro de 5º curso de primaria. Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria 2

3. 1) Resolver las cuestiones2) Identificar los “conocimientos” que se ponen en juego en la resolución

4. LA SUMA. SIGNIFICADOS La lección continúa con los siguientes apartados: A. Problema introductorio Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria 4

5. B. Explicación de la solución Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria 5

6. C. Ejercicios y aplicaciones Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria 6

7. Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria 7

8. 1. ESTRUCTURA LÓGICA DE LAS SITUACIONES ADITIVAS DE UNA ETAPA • Ejemplos: • Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y 7 en la derecha. ¿Cuántos tiene en total? • Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa ?

9. Papel que juegan los números en las situaciones aditivas: • ESTADO cuando los números del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud; • TRANSFORMACIÓN cuando un número expresa la variación que ha sufrido un estado; • COMPARACIÓN cuando el número indica la diferencia que existe entre dos estados que se comparan entre sí.

10. TIPOS DE SITUACIONES QUE DAN SENTIDO A LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA: Tipo 1: Estado -Estado -Estado (EEE) •  En esta situación, tenemos una cantidad etque se refiere a un todo y dos cantidades ep1 y ep2 o partes en que descompone ese todo, es decir, tenemos la partición de un todo en dos partes. Se trata de una situación parte-todo en la que todos los números son estados. Se representa mediante el diagrama:

11. Ejemplos: • Laura está la quinta en una cola para coger entradas para el circo. Deja que tres amigos pasen delante de ella. ¿Qué lugar ocupa ahora? • Juan tiene 7 caramelos. Regala 3 a su hermana. ¿Cuántos le quedan?

12. Tipo 2: Estado -Transformación -Estado (ETE) • En esta situación tenemos una cantidad eique se refiere al estado inicial de un objeto o colección de objetos y una cantidad efque indica el estado final del objeto o de la colección. La cantidad t cuantifica la transformación sufrida por el objeto. La situación se representa mediante el diagrama: t

13. Ejemplos: • Juan tiene 8 caramelos. Tiene 5 más que Pedro. ¿Cuántos tiene Pedro? • Juan tiene 8 caramelos. Pedro tiene dos más. ¿Cuántos tiene Pedro?

14. Tipo 3: Estado -Comparación -Estado (ECE) • Es una situación en la que se comparan dos estados e1y e2. La cantidad c cuantifica la relación entre dichas cantidades. La situación se representa mediante el diagrama C

15. Ejemplos: • Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿Cuántas ha ganado o perdido en total? • A María le dan 20 € por la mañana. Le vuelven a dar 50 € más por la tarde. ¿Cuánto dinero le han dado en total ?

16. Tipo 4: Transformación -Transformación – • Transformación (TTT ) • Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre una primera y después una segunda transformación. Las cantidades tp1y tp2se refieren a estas transformaciones y la cantidad ttindica la transformación total. La situación se representa mediante el diagrama: tp2 tp1 tt

17. Ejemplos: • Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan? • Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos. ¿Quién tiene ahora menos caramelos? ¿ Cuántos menos?

18. Tipo 5: Comparación -Transformación -Comparación (CTC) • Situación en la que se establece una comparación inicial cientre dos cantidades, posteriormente una de las cantidades sufre una transformación t y, por último, cf representa la comparación entre las cantidades finales. La situación se representa mediante el diagrama: Ci t Cf

19. Ejemplos: • Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 3 más que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más? • Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más?

20. Tipo 6: Comparación -Comparación -Comparación (CCC) • Situación parte-todo en la que cp1expresa la comparación entre una primera y una segunda cantidad, cp2indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y ct establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama Cp1 Cp2 Ct

21. EJERCICIO Problema: César ha obtenido 148 puntos en un juego, y Yolanda 12 puntos más que César. ¿Cuántos puntos han obtenido entre los dos? • a) Resolver el problema • b) Indicar si el problema es de una etapa o varias, y el significado que tiene cada número en el enunciado y solución. • c) Indicar el tipo de cada problema según la clasificación semántica de los problemas aditivos.

22. d) Usando el mismo contexto del problema dado (puntuaciones obtenidas por dos o más personas en un juego) inventa otros problemas que corresponda a los restantes tipos de problemas aditivos (Tipo 2: estado-transformación-estado; Tipo 4: transformación – transformación – transformación; Tipo 5: comparación – transformación – comparación; Tipo 6: comparación-comparación-comparación)

23. a) Resolver el problema Número de puntos de Yolanda, 148 + 12 = 160; 160 puntos Número de puntos entre los dos: 148 + 160 = 308; 308 puntos.

24. b) Indicar si el problema es de una etapa o varias, y el significado que tiene cada número en el enunciado y solución. Es un problema de dos etapas (o subproblemas). Primero es necesario hallar el número de puntos que tiene Yolanda (estado o valor de la variable, “número de puntos de Yolanda”) a partir de la cantidad de puntos de César: 148 + 12 =160; 160 puntos. Seguidamente se plantea otro subproblema: hallar el total de puntos obtenidos entre los dos.

25. 148, seguido de la palabra “puntos” expresa una cantidad que es el valor (o estado) en que se encuentra la variable “número de puntos de César” - 12, seguido de “puntos más que César” indica la diferencia de puntos entre la cantidad de puntos de Yolanda y la de César. Se expresa una comparación entre ambas cantidades. - 160 puntos, estado de la variable “número de puntos de Yolanda”. - 306 puntos, estado de la variable, número de puntos entre César y Yolanda.

26. c) Indicar el tipo de cada problema según la clasificación semántica de los problemas aditivos. - El primer subproblema es del tipo, “estado-comparación-estado” (Tipo 3, ECE) - El segundo subproblema es del tipo, “estado-estado-estado” (Tipo 1: EEE)

27. D) • Tipo 2: ETE. En las cinco primeras jugadas César consiguió 230 puntos, pero en la sexta perdió 20 puntos. ¿Con cuántos puntos continuó el juego en la séptima jugada? • Tipo 4: TTT. En la segunda jugada Yolanda perdió 13 puntos y en la quinta perdió 20 puntos. ¿Cuántos puntos ha perdido en total? • Tipo 5: CTC. Yolanda tiene 15 puntos más que César en la tercera jugada; en la cuarta pierde 7 puntos, mientras que César se queda igual. ¿Cuántos puntos tiene César con relación a Yolanda?

28. Tipo 6: CCC. César tiene 250 puntos más que Yolanda. Yolanda tiene 140 puntos más que María. ¿Cuántos puntos tiene César con relación a María?

29. Paula tiene 3 monedas y Jaime le da 2. Situación 2. Inma tiene 5 canicas en su mano derecha y 3 en su mano izquierda.

30. Situación 1. Paula tiene 3 monedas y Jaime le da 2. Concepción unitaria de la adición: hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad. El resultado es el incremento de la segunda cantidad sobre la primera. Situación 2. Inma tiene 5 canicas en su mano derecha y 3 en su mano izquierda. Concepción binaria de la adición: hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel. Se realiza una unión o combinación de las dos cantidades que permite llegar al resultado.

31. Concepción unitaria de la sustracción: hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al quitarle una segunda cantidad. • El resultado es la disminución de la segunda cantidad sobre la primera. Concepción binaria de la sustracción: hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel. • Se valora lo que hay en el todo y una de las partes, lo cual permite conocer lo que hay en el complemento.

32. 2. FORMALIZACIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES • 2.1. La adición de números naturales • Definición recursiva de adición (basada en los axiomas de Peano)

33. Para sumar 1 a un número p se toma el sucesor del número p: p+1= sig(p) • Para sumar 2 se toma el sucesor del sucesor, etc. • Se supone que se sabe sumar n al número p (n+p); y para sumar (n+1) se toma el sucesor de n+p, • o sea, p + (n+1) = sig(p+n) = (p+n) +1. • SUMAR n a p es “seguir contando” n números consecutivos a partir de p. • RESTAR n a p es “descontar n números consecutivos a partir de p.

34. Suma y resta en la recta numérica 2 + 9 = 11 8 - 4 = 4

35. Definición conjuntista:

36. Definición conjuntista de adición: • Dados dos números naturales a, b, se llama suma a+b al cardinal del conjunto AB, siendo A y B dos conjuntos disjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente.

37. Propiedades de la adición: • Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural. • Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) • Commutativa: a+b = b+a • Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a,  a  N

38. 2.2. La sustracción de números naturales Definición conjuntista de sustracción: • Ejemplo:

39. La resta en un libro de texto de 5º de primaria. El concepto y el algoritmo de cálculo de la diferencia

43. Definición conjuntista de sustracción: • Dados b < a, de modo que hay un subconjunto propio B de belementos en un conjunto A de aelementos, entonces a-b = Card (B'), donde B' es el conjunto complementario de B respecto del conjunto A. • Ejemplo: Tengo 427 ovejas, vendo 123, ¿Cuántas me quedan?

44. Definición de sustracción como "sumando desconocido“: • Si a < b, de modo que a +  = b tiene como solución un número natural, entonces b-a es el "sumando desconocido" en esa ecuación: a +  = b. • Ejemplo: Hoy es 17, mi cumpleaños es el día 25, ¿cuántos días faltan?

45. Definición de sustracción por comparación: • Dados a < b, de modo que un conjunto A con a elementos se puede poner en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio A1 de un conjunto B con b elementos, entonces b-a = Card(A'1) • Ejemplo: En una reunión hay 87 chicos y 54 chicas. ¿Cuántos chicos hay más que chicas?

46. B A X X X A’1 X X X X X X X X A1 Card (A) = 4 Card (B) = 7 7 – 4 = Card (B – A1)

47. Definiciones de la suma y diferencia basadas en desplazamientos en la recta numérica • Dados a < b, para calcular la diferencia b-a se representa el número b sobre la recta numérica y se desplaza dicha posición hacia la izquierda a posiciones. La posición final alcanzada es el valor de b-a. • Se puede decir que "restar es contar hacia atrás", o simplemente "descontar".

48. Propiedades de la sustracción en N • No es una ley de composición interna en N, ya que algunas “diferencias” como 2-5 no existen en N (a-b da un resultado negativo cuando a<b). Sin embargo, sí podemos decir que la sustracción es una operación en N ya que es un medio que permite calcular ciertas diferencias. • No es conmutativa, puesto que si a-b existe, b-a no existe en N, salvo si a = b, lo que sólo ocurre cuando a-b = b-a = 0. En una sustracción los dos términos de la diferencia no juegan el mismo papel: el primero, minuendo, es “pasivo” (sufre la sustracción); el segundo, sustraendo, es “activo”, es lo que se sustrae. • No es asociativa, es decir que en un encadenamiento de dos sustracción, el orden en el cual se efectúa las sustracciones -siempre que sean posibles- influye en el resultado final.

49. Algunas propiedades útiles: 1) Cualesquiera que sean los naturales a, b, c, siempre que a>b+c se tiene siempre que: • a-(b+c) = (a-b)-c. • Es decir que para restar una suma a un número, se puede restar sucesivamente al número cada término de esta suma. Ejemplo: 38-16 = (38 – 6) – 10 = 32-10=22.

50. 2) Cualquiera que sean los naturales a, b, c, si a > b se cumple siempre: • (a+c) – (b+c) = a-b; • Y siempre que a>b>c, se tiene también: (a-c) – (b-c) = a-b. • Esto se puede enunciar diciendo que una diferencia no cambia si se suma, o bien se resta, un mismo número a cada uno de sus términos. • Esta propiedad es muy útil en el cálculo mental, sobre todo cuando el cálculo de la diferencia pone en juego “una llevada”, ya que permite redondear el segundo término de la diferencia, lo que hace el cálculo más simple: Ejemplo: 35-18 = (35+2) –(18+2) = 37-20=17. • Esta propiedad interviene también en el algoritmo de cálculo en columnas de las diferencias.