Geometria de Posição

1. Geometria de Posição Conceitos primitivos Prof. Douglas

2. Conceitos primitivos • A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.

3. O Ponto • Olhando-se a noite para um céu estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

4. A Reta • Suponha agora que fosse possível esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de reta. Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.

5. O Plano • Considere o tampo liso de uma mesa, sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um plano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

6. A • Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então: r ponto α reta plano

7. Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.). • As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.). • Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.). • A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:

8. Posições primitivas, postulados ou axiomas. Postulados da existência P1 – Existem infinitos pontos P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos F A C E r B D P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos D A E B C F α

9. Postulados da determinação P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r B A P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano A B C α

10. Postulado da inclusão P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano B r A α A  α B  α ∩ r α A  r A  r

11. Postulados da separação P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence. B O r A OA e OB são semi-retas opostas de origem O.

12. P8 – Postulado da separação : toda reta de um plano separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto. α r B O A α1eα 2são semi - planos opostos deα. α2 α1

13. P9 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto. A E1 E1 e E2 são semi-espaços opostos de origem α O α E2 AB B

14. Exercício • Prove que em um plano existem infinitas retas. • Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes sentenças, justificando cada resposta. • Três pontos distintos determinam um único plano. • Os vértices de um triangulo são coplanares. • Se três pontos são coplanares, então eles são colineares.

15. Posições relativas entre duas retas Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser: • Coincidentes: se todos os pontos de uma são pontos da outra. r s r = s Indicamos:

16. Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum. r r//s Indicamos: s ∩ r α s α r ∩ s = ø α ∩ ↔ r//s

17. Concorrentes: Se tem um único ponto em comum. s r r x s Indicamos: ↔ r s = {P} r x s ∩

18. Reversas (ou não coplanares): Se não existe plano que as contenha simultaneamente. A r α OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes. B

19. Observação: Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares. s r Indicamos: r s 2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais. A s r α Indicamos: r s B

20. Determinação de planos Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado: • Por três pontos não-colineares (postulado 5): A B C α

21. Por um ponto P e uma reta r, de modo que P  r: P B C De fato, se considerarmos os pontos distintos B e C de r, teremos três pontos B, C e P não-colineares e, pelo P5 eles determinam um plano. α

22. Por duas retas concorrentes: r A B s De fato, se considerarmos os pontos distintos A e B de modo que A  P, A  r, B  P, B  s, temos que, pelo P5, os pontos A, B e P determinam um plano α

23. Por duas retas paralelas: B r A s C De fato, se considerarmos os pontos distintos A, B e C de modo que A  r, B  r e C  s, temos que, pelo P5, esses três pontos determinam um plano. α

24. Posições relativas entre uma reta e um plano Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos: • 1º Caso: r contida em α Todos os pontos de r são pontos de α . r α ∩ r α r ∩ α = r

25. 2º Caso: r paralela a α r e αnão têm ponto em comum r r //α↔ r ∩ α = α É válido o seguinte teorema: Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam paralelas. r s α

26. 3º Caso: r concorrente com α r e αtêm um único ponto em comum . Indicamos: r xα P α r x α↔ r ∩ α = {P} Se r for perpendicular a todas as retas de αque passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α r Indicamos: r s P α

27. Para o 3º caso é válido o seguinte teorema: Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas. r s P α