Guías Modulares de Estudio Matemáticas IV Parte A

1. Guías Modulares de EstudioMatemáticas IV Parte A

2. Semana 1: Relaciones y funciones

3. Relaciones y funciones • Objetivo: Resolver problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se desenvuelve.

4. Relaciones y funciones Formas de representación de una función • Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números. • Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valor. Dominio, codominio y rango • Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto –llamado dominio– con los elementos de un segundo conjunto –denominado contradominio (codominio)– de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos en el contradominio. • Una función es una relación en que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. • Cada elemento del contradominio que está relacionado con algún elemento del dominio recibe el nombre de imagen de éste. El conjunto de imágenes se llama rango o dominio de imágenes. El rango es un subconjunto, propio o impropio, del contradominio. • En consecuencia toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones.

5. Relaciones y funciones Clasificación de funciones • De manera general, las funciones se pueden clasificar en algebraicas y trascendentes. • Una función algebraica es aquella cuyo valor se puede obtener mediante un número finito de operaciones algebraicas. Ejemplo: f(x) = x2 + 2x – 3 Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales. Una función racional es aquella en que las variables no figuran con exponentes fraccionarios. Ejemplo: f(x) = 1/x Una función irracional es aquella que contiene variables con exponentes fraccionarios. Ejemplo: f(x) = x1/2 • Las funciones trascendentes son las funciones trigonométricas, las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales. Ejemplos: f(x) = sen x; f(x) = log2x; f(x) = 3x

6. Relaciones y funciones Continuas y discontinuas • De manera intuitiva se dice que una función es continua cuando su gráfica se puede hacer de un solo trazo sin despegar el lápiz del papel. En caso contrario se dice que la función es discontinua. Esto se puede observar, por ejemplo, en las gráficas de las funciones seno y tangente respectivamente. FUNCIÓN SENO (CONTINUA) FUNCIÓN TANGENTE (DISCONTINUA)

7. Relaciones y funciones Crecientes y decrecientes • Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes respectivas que mantienen la siguiente relación f(x1) < f(x2), entonces la representación geométrica corresponde a una función creciente. • Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes respectivas que mantienen la siguiente relación f(x1) > f(x2), entonces la representación geométrica corresponde a una función decreciente. FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE

8. Relaciones y funciones Propiedades de las funciones • En algunas funciones, a elementos diferentes del dominio corresponden distintas imágenes. • En otras funciones cada elemento del contradominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio. • En otras funciones se cumplen las condiciones de los incisos a) y b); es decir, a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes; además cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio. Función inyectiva (uno a uno) • Las funciones descritas en el inciso a) tienen la propiedad de que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes. Estos casos se conocen como funciones inyectivas. • Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del contradominio es imagen de, cuando más, un elemento del dominio. A la función inyectiva también se le conoce como función “uno a uno”.

9. Relaciones y funciones Función suprayectiva • Las funciones descritas en el inciso b) tienen la propiedad de que todo elemento del contradominio es imagen, bajo la función, de algún elemento del dominio. • Dicho en otras palabras, una función es suprayectiva si cada elemento del contradominio es imagen de cuando menos un elemento del dominio. A la función suprayectiva también se le llama función sobre. Función biyectiva • Las funciones en que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes distintas y, además, cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio, son inyectivas y suprayectivas a la vez, por lo que se llaman funciones biyectivas. • A la función biyectiva también se le llama función biunívoca.

10. Relaciones y funciones A continuación se muestran esquemas de: Función inyectiva Función suprayectiva Función biyectiva

11. Relaciones y funciones Operaciones con funciones

12. Relaciones y funciones Operaciones con funciones (continuación)

13. Semana 2: Relaciones y funciones

14. Relaciones y funciones Objetivo: Resolver problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se desenvuelve.

15. Relaciones y funciones Operaciones con funciones (continuación)

16. Relaciones y funciones Función compuesta

17. Relaciones y funciones Propiedades de la composición

18. Relaciones y funciones Definición de función inversa Características de la función inversa

19. Relaciones y funciones Método para hallar la inversa de una función

20. Relaciones y funciones Ejemplos de inversa de una función

21. Relaciones y funciones Ejemplos de inversa de una función

22. Relaciones y funciones FUNCIÓN CONSTANTE Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = k con k, x ℝ Ejemplos: Sea f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = 3 Gráfica de la función constante • Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante; en este caso el número 3. f(x) = 3

23. Relaciones y funciones Propiedades de la función constante • Inyectividad. A cada elemento del dominio corresponde el 3 como imagen, de manera que diferentes elementos del dominio tienen la misma imagen; por tanto, la función constante no es inyectiva. b) Suprayectividad. Como el dominio y el contradominio de la función son los números reales y a cualquier x A le corresponde el número 3, entonces el conjunto imagen es C = {3} y {3} ≠ ℝ; por consiguiente, la función constante no es suprayectiva. c) Biyectividad. La función constante no es inyectiva ni suprayectiva; en consecuencia, tampoco es biyectiva.

24. Relaciones y funciones Función identidad Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = x Gráfica de la función identidad • Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, cuyas primeras y segundas componentes son el mismo número real. f(x) = x

25. Relaciones y funciones Propiedades de la función identidad • Inyectividad. Dados dos número reales diferentes, las imágenes que les corresponden también son diferentes; es decir, x1, x2 ℝ, x1≠x2 son significa que f(x1) ≠f(x2); por consiguiente, la función identidad es inyectiva. b) Suprayectividad. La imagen de la función identidad es igual al codominio, B = C = ℝ; en consecuencia, la función identidad es suprayectiva. c) Biyectividad. La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez, por lo que también es inyectiva.

26. Relaciones y funciones • Función valor absoluto Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = |x| Gráfica de la función constante • Es el conjunto de puntos del plano que representan a los

27. Semana 3: Funciones Polinomiales

28. Funciones Polinomiales • Objetivo: Resolver problemas de funciones polinomiales, teóricos o prácticos, utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre el análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

29. Concepto de función polinomial • Una expresión de orden decreciente de los exponentes de x de la forma anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a2x2 + a1x + a • Donde an , an-1, an-2, …, a2, a1, a0 son números reales, an = 0, se llama polinomio de grado n. • Cada término está separado del siguiente por medio del signo de la suma. El grado de un término lo determina el grado de x en dicho término. El término de mayor grado define el grado del polinomio. El término que no contiene a x es de grado 0 y se llama término independiente o término constante.

30. Funciones reales especiales • Se analizarán las propiedades de algunas funciones reales especiales de uso frecuente: • Función de identidad f : R R, f (x) = x • Función lineal f : RR, f (x) = ax + b • Función cuadrática f : RR, f (x) = ax2 + bx + c, a = 0 • Función cúbica f : RR, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a = 0

31. Función lineal • La función lineal como caso particular de la función polinimal • Sea f : R R, tal que f (x) = 2x + 1 • La expresión algebraica de esta función es de la forma f(x) = mx = b, donde los parámetros m y b corresponden respectivamente a su pendiente y ordenada al origen.

32. Propiedades de la función lineal • a) Inyectividad: Existen dos números reales diferentes, x1 = x2, tales que las imágenes correspondientes también son distintas, f (x1) = f (x2); así pues, la función lineal es inyectiva. • b) Suprayectividad: La imagen de la función lineal es igual al contradominio, B = C = R ; por tanto, la función lineal es suprayectiva. • c) Biyectividad: La función lineal es inyectiva y suprayectiva; entonces también es biyectia. • Las funciones constante, identidad y lineal se representan en forma geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se les llama funciones lineales. • En general, una función lineal es una función real de la forma, f(x) = mx + b donde m, b, x son números reales, de los cuales m y b son constantes.

33. Semana 4: Funciones Polinomiales

34. Funciones Polinomiales Objetivo: Resolver problemas de funciones polinomiales, teóricos o prácticos, utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre el análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

35. Función cuadrática • La función cuadrática como caso particular de la función polinomial: • Forma estándar de una función cuadrática f : R R, conf(x) = x2 • Gráfica de la función cuadrática: es el conjunto de los puntos del plano que representa a los pares ordenados de la función. La primera componente es un número real y la segunda componente es el cuadrado de la primera. f= ( x, f (x)) | f (x) = x2, x E R

36. Propiedades de la función cuadrática • a) Inyectividad: Existen dos números reales diferentes – por ejemplo, dos números simétricos – tales que su imagen bajo la función es la misma. Al trazar paralelas al eje x, cada una de ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la gráfica de la función, por ello, la función cuadrática no es inyectiva. • b) Suprayectividad: La función cuadrática tiene dominio y contradominio real, pero su imagen es el conjunto de los números reales no negativos y como R = R+ U 0 , entonces la función cuadrática no es suprayectiva.

37. Propiedades de la función cuadrática • c) Biyectividad: Dado que la función cuadrática no es inyectiva ni suprayectiva, tampoco es biyectiva. Ejemplo: f : R R, conf(x) = x2 – x – 2

38. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro • En esta sección se exponen los procedimientos que se utilizan para determinar las soluciones de una ecuación polinomial de grado mayor que dos y se aplican para el trazo de la gráfica de la función polinomial correspondiente • Función cúbica Sea: f : R R,tal quef(x) = x3 • Gráfica de la función cúbica: Es el conjunto de los puntos de un plano que representa a los pares ordenados de la función. La primera componente es un número real y la segunda componente es el cubo de la primera. f= ( x, f (x)) | f (x) = x3, x E R

39. Propiedades de la función cúbica • a) Inyectividad: Dados dos números reales distintos, x1 x2, las imágenes que les corresponden también son diferentes, f (x1) f (x2) por tanto, la función cúbica es inyectiva. Esto se puede observar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que intersecan la representación de f en un solo punto • b) Suprayectividad: La imagen de la función cúbica es igual al contradominio, C = B = R ; por consiguiente, la función cúbica es suprayectiva

40. Propiedades de la función cúbica • c) Biyectividad: La función cúbica es inyectiva y suprayectiva, al mismo tiempo, entonces también es biyectiva. Sea, f : R R,tal quef(x) = x3 – 1

41. Ceros y raíces reales • Al trazar la gráfica de una función polinomial, es importante encontrar los puntos de intersección de la gráfica con el eje x. En estos puntos la ordenada es cero y corresponden a las raíces o soluciones reales de una ecuación – también conocidas como ceros de la función – . Cuando la gráfica de la función no interseca al eje x se obtienen raíces que no son reales sino complejas.

42. División de polinomios El teorema del residuo y el teorema del factor • Teorema del residuo: Si r es una constante y se divide la función polinomialf entre x – r, el residuo que se obtiene es f (r). • Ejemplo: Si f (x) = x3 + 2x2 – 5x – 15 halla f (2) en dos formas distintas. • Solución: a) Al evaluar la función f (x) para x = 2 se obtiene: F (2) = 23 + 2(2) – 5(2) – 15 = 8 + 8 – 10 – 15 = 16 – 15 . = – 9 .

43. Teorema del residuo b) La función f (x) se divide entre x – 2: x2 + 4x + 3 x – 2 ) x3 + 2x2 – 5x – 15 x2 – 2x2 4x2 – 5x 4x2 – 8x 3x – 15 3x – 6 – 9 Como puedes observar, al dividir la función f (x) entre x – 2 se obtiene como residuo – 9, que es igual a f (2)

44. Teorema del factor • Si r es una raíz de la ecuación polinomialf (x) = 0; es decir, f (r) = 0, entonces x – r es un factor de f (x). Recíprocamente, si x – r es un factor de la ecuación polinomialf (x) = 0, entonces r es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) = 0 Ejemplo: Demuestra que x + 3 es un factor (divisor) de x3 + 2x2 – 5x – 6 Solución: Para demostrar que x + 3 es un factor, lo expresamos como x + 3 = x – (–3); es decir, necesitamos averiguar si –3 es una raíz de la ecuación; por tanto: f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 . f (–3) = (–3)3 + 2 (–3)2 – 5 (–3) – 6 = – 27 + 18 + 15 – 6 . = – 33 + 33 . = 0 .

45. División sintética • En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio se recurre al teorema del residuo; es decir, se requiere dividir el polinomio entre una expresión lineal de la forma x – r. La división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un proceso abreviado que se conoce como división sintética. Si dividimos 3x3 – 4x2 – 9x + 7 entre x – 3 en la forma usual 3x2 + 5x + 6 x – 3 )3x3 – 4x2 – 9x + 7 3x3 – 9x2 5x2 – 15x 5x2 – 15x 6x + 7 6x – 18 25

46. Desigualdades lineales Concepto de desigualdad lineal con una incógnita • Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresión, es mayor o menor que otra. • Una desigualdad absoluta es cierta para todos los valores reales de las variables que intervienen en ella; por ejemplo, (x – y)2 > – 1 es cierta para todos los valores de x y y, pues el cuadrado de todo número real es un número positivo o cero. • Una desigualdad condicional sólo es cierta para determinados valores de las variables; por ejemplo, x – 5 > 3 sólo es cierta para x > 8. • Una desigualdad lineal con una incógnita es aquella en que el mayor grado de su única incógnita es uno.

47. Desigualdades lineales • Ejemplo: Resuelve 2x + 7 < 5x – 8 – 5x + (2x + 7) < (5x – 8) – 5x – 3x + 7 < – 8 – 3x + 7 – 7 < – 8 – 7 . – 3x < – 15 – 1/3 (– 3x) > – 1/3(– 15) . X > 5 • Observa que al multiplicar por un número negativo se cambió de < a > ; por lo tanto, la solución es: x E R | x > 5

48. Bibliografía • Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones cultural, 2006.