Az ókori Egyiptom matematikája

1. Az ókori Egyiptom matematikája "Ne légy nagyképű a tudásod miatt. Kérj tanácsot tudatlantól és bölcstől egyaránt, ugyanis a művészetnek nincsenek korlátai, és soha, egyetlen művész sem lehet tökéletesen tisztában saját képességeivel." Ptahhotep Bölcsességei Ptahhotep képe egy falfestményen

2. Az ókori Egyiptom Hosszú ideig fennállt ókori birodalom. Nagy folyam menti civilizáció az Északkelet-Afrikában, túlnyomórészt a mai Egyiptom területén. Ezt a civilizációt és társadalmat sokan merevnek, arisztokratikusnak, kasztszerűnek, irracionálisnak tartják. Ez a kép azonban félrevezető. Az egyiptomi civilizáció a maga korában nagyon életteli, változatos, sok meglepően modern kulturális jellegzetességet mutató, és a szoborszerű merevségnél sokkal rugalmasabb volt. A görögök és egyéb fiatalabb kultúrák, melyeket ma a modern európai civilizáció kezdeteinek tartunk, a mezopotámiai kultúrák mellett az egyiptomit tekintették mintaképüknek.

3. Szinte kiválóan értetek egyes tudományokhoz, ami ebben korban más birodalmakban elég elmaradott volt, mint például: • Írás, olvasás ismerete • Orvostudomány • Matematika • Csillagászat Korabeli számításokat végző férfi egy falfestményen Később, majd több ókori kultúra is átveszi az Egyiptomiak ismeretét, sőt legtöbbjét a mai napig használjuk. Korabeli orvoslás egy festményen

4. A legnehezebb feladat olyan dologról összefoglaló munkát készíteni, melynek terjedelme a végtelennel vetekszik. Ezért csak egy-egy részletének példáján keresztül lehet annak korszakalkotó jelentőségét bemutatni. Meglepő, hogy amit matematikából az iskolákban tanítanak, milyen régen fedezték fel. Természetesen a matematika fejlődése az óta sem állt meg.

5. Egy fejlett államszervezet értelmisége számára mindig nélkülözhetetlen bizonyos fokú matematikai-geometriai tudás. Egyiptomban erre mindenekelőtt a gazdasági számításoknál,az életben, az építészetben és a földmérésben volt szükség. Egy földmérést végző csoport falfestménye Egy építkezést végző csoport sablonos ábrája (feltehetően egy falfestményről)

6. Írásos emlékek Nagyon kevés olyan egyiptomi emlékünk van, amelyből következtetni tudunk ókori matematikájuk fejlettségére. Mindössze két nagyobb papirusztekercs és néhány jelentéktelen töredék áll rendelkezésünkre ( pl.:berlini papirusz). A berlini papirusz egy darabja

7. Az egyik a Rhind - papirusz Rhausz fáraó írnoka, Akmesz készítette, kb. i. e. 2000-1700 évben, mely egy másik fontos óegyiptomi matematikai szöveg, egy útmutató kézikönyv az aritmetikához és a geometriához. Rhind - papirusz

8. Goleniscsev – tekercs egy darabja és a másik 1930-ban feldolgozott Moszkvai papirusz Goleniscsev - tekercs : A máig felfedezett legrégebbi matematikai szöveg egy óegyiptomi (középbirodalomból származó i. e. 2000 – i. e. 1800) papirusz. Ez a legtöbb ókori matematikai szöveghez hasonlóan „szöveges feladatokat” tartalmaz, melyeket látszólag szórakoztatási célból írtak.

9. Írásos emlékek Ezeken a papiruszokon az akkori időkből mintegy 100-110 matematikai problémát és feladatot találhatunk. Részben aritmetikaiakkat, részben geometriai jellegűeket. A Rhind – féle papiruszon olyan táblázat is látható, amely tartalmazza a 2 számlálójú törtek törzstörtekre való bontását az 5-331-ig terjedő páratlan nevezőkre. Az ilyenfajta táblázatok elkészítése bizonyosan rendkívül nehéz lehetett, így a törtekkel ilyen úton való számolás úgyszintén. Figyelemreméltó a törtszámok ismerete, szorzás művelete, 10-es számrendszer ismerete, és az igen jól fejlett geometriai ismeretek és ezekről most bővében.

10. Tízes számrendszer A  (k═ 0, 1, 2, ... 7) alakú csomószámok jelölésére sajátos hieroglifikus jelölési mód honosodott meg. Az algoritmikus számokat pedig ezen csomószámok kombinációival írták le. Ennek segítségével minden olyan művelettel megbirkóztak, amely csak egész számok használatát kívánta meg. Egytől kilencig a számokat függőlegesen vagy vízszintesen írt vonalak jelölték. A tízeseket a halom jelével fejezték ki, a százezer az ebihal, a millió a feltartott kezű emberalak. Ez utóbbi végtelen nagy mennyiséget is kifejezhetett. Némelyik számnál meglehetősen sok jelet kellett leírni, ismételni..

11. Tízes számrendszer 1.ábra A megfelelő jelek ismételt leírásával jelölték az egyéb számokat, tehát pl. a 7 leírásához az 1 jelét írták le hétszer, nem is rögzített elrendezésben. Az írás jobbról balra történt és először a nagy helyi értékeket írták le. Az ábra alapján az is nyilvánvaló, hogy milliós nagyságrendű számokkal is dolgoztak.

12. Tört számok Ismerték a közönséges törteket. Ezek előállításában az egész számok reciprok értékei,( tehát az 1 számlálójú törtek) fontos szerepet játszottak. Már előzőleg megemlített Táblázataik voltak arra, hogy az egyéb törteket hogy lehet ilyen reciprokok összegeként előállítani. 2. ábra

13. Tört számok 3.ábra Az egész számok reciprokjaként előállítható törtek leírásánál a nevezőként szolgáló szám fölé a “rész” jelét írták (lásd az ábrát). A nem ilyen alakú törtek közül csak a 2/3-nak van külön jele.

14. Aritmetika 4.ábra Az egyiptomiak tudtak szorozni és osztani is. A szorzandót mindig megduplázták (tehát 2 hatványaival szorozták), majd megnézték hogy mely 2-hatványokból állítható elő összeadással a szorzó (tehát gyakorlatilag előállították annak kettes számrendszerbeli alakját), majd a megfelelő hatványokhoz tartozó rész-szorzatokat összeadták. Az ábrán látható példa a 12·15 kiszámítása: 12·15=4·15+8·15.

15. A duplicatio még a középkori Európában is szokásos számolási mód volt. Az egyiptomiak az osztást is erre a szorzásra vezették vissza: az osztót rendre megszorozták 2 hatványaival (tehát mindig duplázták), majd megnézték, hogy az osztandó hogy állítható elő ezen szorzatok összegeként. Az előállításhoz szükséges szorzatokban szereplő 2-hatványok összege kiadja a hányadost. Például a 45:5 művelet elvégzéséhez szükséges rész-szorzatok: 1·5=5, 2·5=10, 2·10=4·5=20, 2·20=8·5=40. Miután 45=40+5=8·5+1·5, ezért a hányados 8+1=9. Mint látható, már az egyiptomiak jól definiált számítási eljárást, algoritmust használtak. A papiruszok bizonysága szerint ismerték a számtani és mértani sorozatot. A "hau"-nak (csoport) nevezett művelet azonosítható a különleges alakú elsőfokú egy ismeretlenes egyenlet megoldásával, tehát ebben az algebra kezdeteit gyaníthatjuk.

16. Geometria Geometriai számításaik szintén gyakorlati jellegűek: terület- és térfogat-számítási feladatok. Hérodotosz görög történetíró szerint (aki az egyiptomi kultúra gyakorlati oldalát kutatta), a Nílus évenkénti áradása miatt vált szükségessé a földmérés kifejlesztése. Amit zsinór kifeszítésével oldottak meg, ezt tarthatjuk a geometria gyökereinek. Hérodotosz mellszobra Egy földmérést végző csoport falfestménye

17. Geometria Ki tudták számítani a háromszögek, téglalapok és trapézok területét a ma elfogadott képletekkel (viszonylagosan).Háromszög alapját két részre osztották, „hogy a háromszög derékszögűvé tessék", majd szorozzák a magassággal. A trapézok területét az egyik ma is érvényben lévő területképlet alapján számították ki: a párhuzamos oldalak összegét szorozták a magasság felével. A félgömb felszínének és különböző térfogat-számítási problémák kiszámítására is kidolgozott műveletekkel rendelkeztek. Az egyik papirusz 20 térfogat- és területszámítással foglalkozó feladatot és azok megoldásait tartalmazza.

18. Egy-egy példa az előbb felsoroltakból: Megtudhatjuk, hogy a 4 és 6 egységnyi alapokkal rendelkező és 20 egység magas szimmetrikus trapéz területe 100, mivel 5 és 20 egység oldalhosszú téglalappá darabolható át. 5.ábra Szimmetrikus trapéz területének kiszámítása átdarabolással: a trapézt vele egyenlő területű téglalappá darabolhatjuk át.

19. Ha a négyzet oldalait három egyenlő részre osztjuk, és az osztópontok ábra szerinti összekötésével kapott négy kis háromszöget levágjuk a négyzetből, akkor egy olyan nyolcszöget kapunk, amelynek területe közelítőleg a négyzetbe írt kör területe. A nyolcszög területe egy átmérő oldalhosszú négyzet területének és két egyharmad átmérő oldalhosszú kisebb négyzet területének a különbsége. Az egyiptomiak még nem használtak a mai értelemben vett matematikai képleteket, a nyolcszög segítségével kapott közelítésüket ma így írnánk: t = 28/9 2r. A kör területszámításának ez a módszere a pí szám 3,111 értékének felel meg. A kör területének közelítése nyolcszög segítségével: az R sugarú kör területét megközelítőleg úgy kaphatjuk meg, hogy a 2R oldalhosszú négyzet területéből elvesszük két darab 2R/3 oldalhosszú négyzet területét. 6. ábra

20. 7.ábra Az egyiptomi matematika csúcsteljesítménye a moszkvai papiruszon található. A feladat különösen nagy jelentőségű, mivel megad egy módszert a csonka testek térfogatának kiszámítására. A térfogatot képlet alapján számították, ahol „h" a magasságot, „a" az alapélt, „b" pedig a fedőlap oldalát jelölte. Ha a gúla köbtartalmát felbontjuk egy „b" alapélű, „h" magasságú négyzetes hasábra, két „b" magasságú, háromszög alapú hasábra és egy gúlára, ekkor a térfogat a képlettel számolható ki.

21. Geometriai ismereteikben felfedezhető – és erre nagyszerű példa a Kheopsz- piramis szerkezete – az  úgynevezett aranymetszés. Ennek lényege az, hogy az a szakaszt úgy osztjuk két részre, b-re és c-re,ahol b>c, hogy az a:b:c aránypár teljesüljön. Ilyen módon a nagyobbik szelet mértani középarányosa az egész szakasznak és a kisebbik szeletnek. Ha egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság aranymetszéssel osztja ketté az átfogót, akkor ezt a háromszöget Kepler- háromszögnek nevezzük. Kheopsz-piramisok

22. Befejezés Később III. Amenemhet a matematika terén addig empirikus úton elért ismereteket összegyűjtötte és leíratta, de nem tankönyv alakjában, amely tételeket és bizonyításukat tartalmazta, hanem kényelmesen használható kézikönyv gyanánt, amely gyakorlati célokat szolgált. E mű avat be bennünket az ókori egyiptomiak matematikatudományának titkaiba.

23. Forrásaink: • Egyiptom.network.hu • Termeszetvilaga.hu • Jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika • Sulinet.hu • És egyéb más oldalak amikről a képeket és pontosításokat szereztük be. Készítették: Fekete Zsanett és Jámbor Orsolya Budapest, 2011.01.29.