Réalisé par

1. sphériques Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Khayar-marrakh Système de coordonnées Réalisé par A. KHAYAR R.MARRAKH Professeurs assistants - département de physique

2. Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriqueset lescoordonnées sphériques.

3. Khayar-marrakh Pré requis : • Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques • Grandeurs scalaires et vectorielles • Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte… Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de : • Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques • Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes • Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique

4. Khayar-marrakh Coordonnées sphériques

5. z M z z r = OM] 0 , +  [   q = ( Oz+, OM) [ 0 , p ] j = ( Ox+, Om) [ 0 , 2p[ O y x O O y y x x Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. Comment le repérer ? Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , qet j. Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. Peut on repérer le point Mdans le demi plan j= constante par de nouvelles coordonnées ?  Réponse : Question : On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques. Oui,le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r ( , , ) z z et l’angle q. r r q q Origine : le point O j j j   Oz+le demi-axe positif (origine des phases) m Ox+le demi-axe positif (origine des phases)

6. Expressions de r, q et j en fonction de x , y et z. m z O M  y y O r z r j r r x q O x m′ O O′ P P Khayar-marrakh z f( r , q , j) g( r , q , j) M h ( r , q , j) r q y Soient r, qet j les coordonnées du point M. Objectif : On cherche à exprimerx ,yetzen fonction der ,qetj. Dans le plan P ( Oxy ) j j Dans le demi-plan P exprimons x et y en fonction de ret j . exprimons r et z en fonction de ret q. m′ Considérons le triangle rectangle Om′m. m x Considérons le triangle rectangle OO′M. Dans ce triangle on a : Dans ce triangle on a :

7. Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r =r0 ( q et j varient respectivement de 0 à p et de 0 à 2 p ) Deuxième surface de coordonnée q = q0 ( ret j varient respectivement de 0 à +et de 0 à 2 p) Troisième surface de coordonnée j = j0 ( r et q varient respectivement de 0 à +et de 0 à p )

8. Première surface de coordonnée r = ro O' r0sin θ2 r0sin θ2 r0sin θ1 r0sin θ1 r0 Khayar-marrakh z Pour q = q1: Soit M un point de coordonnées r, qetj.  Dans une rotation j = 2p… Pour θ quelconque : Réponse : Si on fixer( r = ro) Lorsque on fait varier θ de façon continue… M Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier j et q? Question : r0 r q1 q q2 Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon ro sin q1.  O y j m Pour q=q2,q3 =  2,q4 = -q2etq5 =-q1: L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon ro. x [ 0 , p ] [ 0 , 2p [ On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin qi ( i = 2 , 3…) Conclusion : C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées sphériques  La première surface de coordonnée décrite par le point M estune sphère de centre O et de rayon ro.

9. z M M M M Deuxième surface de coordonnée q = qo Khayar-marrakh Pour r = r1: Dans une rotation j= 2p… Soit M un point de coordonnées r, qetj.  z Pour r quelconque : Réponse : Si on fixeq ( q = q0 ) Lorsque on fait varier r de façon continue… r4 Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r1 sin qo.  Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier  et r ? Question : r3 q0 r2 Pour r = r2 , r = r3 et r = r4… q0 q r1 r ] 0 , + [ [ 0 , 2p [ On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons ri sin qo ( i = 2 , 3…). O y L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sinθo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet qo. j m x Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M estun côned’axe Oz et de demi angle au sommet qo.

10. M M M M r1 j0 demi-plan. r2 r3 r4 Troisième surface de coordonnée j = j0 Khayar-marrakh z Pour r = r1: Pour r quelconque : Soit M un point de coordonnées r, qetj. Dans une rotation q = p… Lorsque on fait varierrde façon continue… Réponse : Si on fixej ( j = j0 ) r4 Question : Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r1.  r3 Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier q et r ? r2 Pour r = r2 , r = r3 et r = r4… q r1 r L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disquederayon infini On obtient des demi-cercles de centre O et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …). O y [ 0 , p ] j ] 0 , +[ m Conclusion : La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle j 0 avec l’axe Ox+. x

11. Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r q =qoet j = j o Axe des q r =ro et j = j o Axe des j r =ro et q = qo

12. r jo Axe des r Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées: j = jo q = qo et qo o Leur intersection donne l’axe (orienté) des r y Conclusion : x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et du demi-planjo; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est appeléeaxe des r.

13. Axe des q z O z jo q x O y x Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées: j = jo r = ro et Leur intersection donne l’axe (orienté) des q Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du demi-planjo; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appeléaxe des q.

14. z j Axe des j Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées: r = ro q = qo et o y Leur intersection donne l’axe (orienté) des j x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du cône, de demi-angle au sommetqo; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appeléaxe des j.

15. Vecteurs unitaires M M ′ z r r O′ Axes des vecteurs unitaires eq ej er er eq ej j j r q q q y O x est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes cylindrique et sphérique. Conclusion : sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des q et des j dirigés dans le sens croissant des variables r, q et j . , et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace. Khayar-marrakh Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. ayant le même sens que O r. tangent à l’axe des q et dans le sens de la rotation. tangent à l’axe des j et dans le sens de la rotation. Pour un autre point M′

16. et dans le système cylindrique dans le système sphérique er er eq ej er er ej ej ej ej ez z ej eq eq O' r z z z r er er ez résultat établi au diapositive 16 j j er eq (coordonnées cylindriques) Objectif :On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. q y O O M r q y r q Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien. eq er er ej ej ez x x Expressions de , et dans le système cartésien Khayar-marrakh Etape 1 Dans le demi-plan P on a la configuration suivante : M sont identiques Etape 2 Etape 1 :passage du système sphérique au système cylindrique. Etape 2:passage au système cartésien. Procédure : Les des deux étapes donnent: P

17. z O' r M1 q M M' r j dj   M' j M M2 r r r r r r q M M1 q q dq M1 M2 q q + dq q j j + dj j j +dj r sin qdj MM1 = O j y Premier déplacement suivant l’axe des q Deuxième déplacement suivant l’axe des MM' = MM1 + M1 M2+M2 M' MM' = M2M'+ M1M2+MM1 r dq M1 M2 = r r + dr r Troisième déplacement suivant l’axe des x M2 M' q q + dq dr M2 M' = j j + dj Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM' Déplacement élémentaire Khayar-marrakh Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M' r + dr SoientMet M' deux points de l’espace. q + dq N.B. : M’ est infiniment voisin de M. j + d j Question : Réponse : r sinq dj r dq r sinq dj dr MM1 = de M vers M1 M1 M2 = de M1vers M2 ou encore M2 M' = de M2vers M'

18. Khayar-marrakh On se trouve sur la sphère derayon r. z dS dS M’ dj r sin on obtient un élément de surface r dq M dS O y x r2 sinq dq dj = Surfaces élémentaires r= constante Un déplacement élémentaire MM’, sur la sphère r = constante définit un élément de surface . Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des q , r sinq dj r dq A retenir : dS = r2 sinq dq dj = Λ

19. On se trouve sur la surface latérale du cône. z dS dS M' on obtient un élément de surface y M O dS x r sin q drdj = Khayar-marrakh q = constante Un déplacement élémentaire MM', sur la surface q = constante, définit un élément de surface . Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des r, dr r sinq dj A retenir : dS = r sinq drdj = Λ

20. z On se trouve sur le demi-plan j. dS dS M' on obtient un élément de surface O y j M dS x r drdq = Khayar-marrakh j = constante Un déplacement élémentaire M M', sur la surface j = constante, définit un élément de surface . Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des q , N.B. : M' est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des r, dr r dq A retenir : dS = r drdq = Λ

21. z M' M r j q O y Surface de la base x Khayar-marrakh Volume élémentaire SoientMet M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. dt Traçons d’abord les axes de coordonnées et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. On obtient le volume élémentaire dt dt ) ( = Λ dr dr r dq A retenir : dt = r2 sinqdrdq dj r2 sinq drdq dj = r sinq dj

22. Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. • Septembre 2009