ГИА- 2013 г. Модуль «Геометрия»

1. ГИА- 2013 г.Модуль «Геометрия» Задание 25 Скрябина М.В., учитель математики гимназии №5

2. ГИА - 2013 г Задание 25 Модуль «Геометрия» Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.

3. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны. • Доказательство: 1) Рассмотрим ∆ АОС и ∆ ВОD. ∠АОС =∠ВОD ( как вертикальные), ОD = ОС, ОА = ОВ (по условию),следовательно, ∆ АОС = ∆ ВОD (по двум сторонами углу между ними) 2) Из равенства треугольников следует ∠ АСО =∠ВDО. Эти углы внутренне накрест лежащие для прямых АC и DВ и секущей СD, следовательно АС ║ ВD.

4. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны. • 1) Рассмотрим ∆ АОС и ∆ ВОD. • Углы АОС и ВОD равны как вертикальные, ОD = ОС и • ОА = ОВ по условию. Cледовательно, • ∆ АОС = ∆ ВОD • (по сторонами углу между ними) • 2) Из равенства треугольников следует • равенство углов АСО и ВDО. Эти углы внутренне накрест лежащие для прямых АC и DВ и секущей СD, следовательно АС ║ ВD. Доказательство:

5. УГЛЫ И ПРЯМЫЕ 1.Докажите, что биссектрисы смежных углов равны. 2. Cтороны тупого угла А соответственно перпендикулярны сторонам угла В.Докажите, что сумма углов А и В равна 180º. 3. Докажите, что два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны. 4. Докажите, что биссектрисы m и d внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми а и b и секущей с, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. 5. Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне треугольника, то этот треугольник равнобедренный.

6. Внутри равностороннего треугольника АВотмечена точка М так, что АМ = ВМ. Докажите, что луч СМ – биссектриса угла АСВ. Доказательство: 1) ∆ АМС = ∆ ВМС (по трём сторонам). 2) Из равенства треугольников следует равенство углов АСМ и ВСМ. Значит, луч СМ – биссектриса угла АСВ.

7. ТРЕУГОЛЬНИК 1.На стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и Е так, что АD=CЕ. Докажите,что еслиВD=ВЕ, то АВ=ВС. 2. В равностороннем треугольнике АВС точки М, N, К – середины сторон АВ, ВС и СА соответственно. Докажите, что треугольник МNК равносторонний. 3. На медиане КF треугольника МKР отмеченаточка Е. Докажите,что если ЕМ=ЕР,тоКМ=КР. 4. Докажите, что у равных треугольников медианы, проведённые из вершин равны. 5. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 6. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

8. 7.Докажите, что расстояние от вершинытреугольника до любой точки противолежащей стороныменьше половины периметра треугольника. 8.В треугольнике АВС АВ = АС, углы 1 и 2 равны. Докажите, что углы 3 и 4 равны. 9.В равностороннем треугольнике АВС из вершины А проведена биссектриса АМ и на ней отмечена точка К. Докажите, что точка К равноудалена от двух других вершин треугольника АВС. ТРЕУГОЛЬНИК

9. В параллелограмме проведены биссектрисы противо-положных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключённые внутри параллелограмма равны. АВСD – параллелограмм, АМ – биссектриса угла А, CК - биссектриса угла С. Докажем, что АМ = СК. B M C 1) ∆ АМВ = ∆ СКD по стороне и двум прилежащим к ней углам. а) АВ = СD – по свойству противолежащих сторон параллелограмма; A K D б) углы АВМ и КDC равны по свойству противолежащих углов параллелограмма; в) углы ВАМ и КСD равны по определению биссектрисы и равенству противолежащих углов параллелограмма; 2) КС=МА как соответствующие элементы равных треугольников.

11. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 1.Cередина стороны параллелограмма равноудалена от концов его противоположной стороны. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник. 2. Противоположные углы четырёхугольника попарно равны. Докажите, что это четырёхугольник – параллелограмм. 3. B параллелограмме ABCD отмечена точка М — середина отрезка ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю ВD в точке К. Докажите, что ВК : ВD = 1:3. 4. В параллелограмме ABCD высоты, проведённые из вершины B, равны. Докажите, что данный параллелограмм – ромб. 5. Последовательно соединили отрезками середины сторон четырёхугольника. Докажите, что получившаяся фигура– параллелограмм.

12. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 6. В параллелограмме ABCDпроведены высоты BE и BF Докажите, что Δ ABE подобен ΔCBF. 7. Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка М. Докажите, что сумма площадей треугольников АМD и СМD равна половине площади параллелограмма ABCD. 8. B параллелограмме ABCD точка М – середина стороны СD, К – середина стороны АВ. Известно, что КС = МB. Докажите, что ABCD — прямоугольник

13. Пусть два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CE равны. 1)Пусть общая вершина квадратов – точка O, отрезки OAиOC; BO и OEперпендикулярны как стороны квадрата. Следовательно, углы AOB и COE равны. 2)Тогда треугольники AOB и COE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=CE как соответствующие стороны равных треугольников.

14. Четырёхугольники 1.В трапеции ABCD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и СОD равны. (рис1) 2. Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь трапеции равна удвоенной площади треугольника МCD.(рис2) 3.Докажите, что диагональ четырёхугольника меньше его полупериметра. (рис3) 4. На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата. 5.Докажите, что для выпуклого четырёхугольника сумма длин диагоналей меньше, чем периметр.

15. Четырёхугольники 1.Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отрезки АВ и CD равны. (рис) 2.В четырехугольнике ABCD проведена диагональ BD, АВD = CDВ, АDВ = CВD. Докажите, что AD = BC. 3. В правильном шестиугольнике ABCDEF из точки С проведены диагонали. Докажите, что треугольники ACF и ECF равны, а прямые DE и CF параллельны.

16. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СЕ и АD.Докажите, что треугольнику АВD подобен треугольнику CВЕ. В треугольниках АВD и CВЕ угол В общий. Углы ВDА и ВЕC прямые, значит, ∆ АВD подобен ∆ CВЕ по первому признаку подобия треугольников.

17. Подобие 1.В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ВF. Докажите, подобие треугольников АВЕ и СВF.(рис 1) 2.В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите, подобие треугольников МВN и ABС. 3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СЕ и АD. Докажите, что треугольник ABD подобен треугольнику CBF. 4. В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты. Докажите, что треугольники подобны. (рис 2)

18. ОКРУЖНОСТЬ 1.Биссектриса угла ВАС треугольника АВС пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке М. Докажите, что МВ = МС.(рис 1) 2. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. Через точку В проведены касательная ВК и секущая ВМ. Докажите, что углы МВК и ВАМ равны. (рис 2) 3. Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка . 4. Продолжения равных хорд АВ и СD окружности соответственно за точки В и С пересекаются в точке Р. Докажите, что треугольник АРD равнобедренный.

19. ОКРУЖНОСТЬ 5. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. Через точку В проведены касательная ВК и секущая ВМ. Докажите, что углы МВК и ВАМ равны.(рис 1) 6. Докажите, что если две окружности имеют хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, делит общую ходу пополам.(рис 2) 7. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками пересечения с двумя другими сторонами треугольника. (рис3) 8. Докажите, что если точки С и D лежат по одну сторону от прямой АВ, углы АСВ и АDВ равны, то можно провести окружность, содержащую все четыре точки А,В,С,D.

20. Задачи на доказательство геометрических фактовДокажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде. • ∆OAQ = ∆OBQ(по трем сторонам), следовательно, углы HQA и HQBравны. • ∆HAQ=∆HBQ (по двум сторонам и углу между ними), значит углы AHQ и BHQ равны. • В сумме два равных угла могут давать 180º только в том случае, если каждый из них равен по 90º. • Что и требовалось доказать.

21. Задачи на доказательство геометрических фактов из ГИА 1. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. 2. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. 3. Докажите, что медиана, прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 4. Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды окружности, перпендикулярен ей.