Matematika s statistiko študijsko gradivo Fakulteta za farmacijo VSŠ Laboratorijska biomedicina

1. Matematika s statistiko študijsko gradivo Fakulteta za farmacijo VSŠ Laboratorijska biomedicina verzija: junij 2006

2. Topnost kisika v vodi pri pritisku 760 mmHg Tečaji valut

3. Sestavljanje funkcij

4. Grafična predstavitev/podajanje

5. Podajanje s formulo

6. Graf

7. Graf funkcije dveh spremenljivk Enačba idealnega plina: PVT-diagram idealnega plina

8. PVT-diagram realne snovi Odsekoma definirana funkcija

9. Definicijsko območje & Zaloga vrednosti

10. Naraščanje in padanje funkcije naraščajoča padajoča

11. Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina  manjši pritisk)

12. Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti pri a je funkcija padajoča pri b je funkcija naraščajoča

13. Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum

14. Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum

15. Konveksnost&konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konveksna konkavna

16. Prevoji Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. prevoji konveksna konkavna

17. Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

18. Trend funkcije na robu - asimptote Logistična krivulja (vodoravna asimptota) Poševna asimptota Dušeno nihanje

19. Periodičnost in simetrija Periodične funkcije Sodain liha funkcija

20. Graf funkcije • Definicijsko območje, zaloga vrednosti • Naraščanje in padanje, ekstremi • Ukrivljenost • Trend na robu definicijskega območja • Periodičnost in simetrije

21. Elementarne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije Eksponentne in logaritmske funkcije Kotne funkcije

22. Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije:

23. Osnovne značilnosti: • Definicijsko območje, zaloga vrednosti • Naraščanje in padanje, ekstremi • Ukrivljenost • Trend na robu definicijskega območja • Periodičnost in simetrije

24. Polinomi • povsod definirani • polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov • trend je določen z najvišjo potenco • vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija

25. Racionalne funkcije • definirane povsod, razen v ničlah imenovalca • ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli • če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

26. Algebrajske funkcije • koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente • koren je bližje številu 1 kot njegov argument • asimptote dobimo z limitami...

27. Eksponentna funkcija f(x)=ex • povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel) • za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča

28. Logaritemska funkcija f(x)=lnx • definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1 • pol pri x=0, zelo počasi narašča

29. Kotne funkcije sin(x), cos(x) • povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1] • periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija • sin(x) ima ničle pri x=kp, cos(x) ima ničle pri x=p/2+kp • cos(x)=sin(p/2-x), sin2x+cos2x=1

30. sin(kx+a) k: frekvenca, a: fazni zamik

31. Funkcija tangens tg(x) • definirana povsod, razen za x=p/2+kp, zaloga vrednosti so vsa realna števila • periodična, liha • ničle pri x=kp, poli pri x=p/2+kp • tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

32. Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arcsin(x)‘arkus sinus’ • inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x) • definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-p/2,p/2 ]

34. Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arctg(x)‘arkus tangens’ • inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x) • definiranapovsod, zaloga vrednosti interval (-p/2,p/2) • asimptoti y=-p/2, y=p/2

36. y=f(x) l LIMITE lje limita funkcije f, ko x narašča čez vse meje

37. y=f(x) d l a lje limita funkcije f, ko xnarašča proti a dje limita funkcije f, ko xpada proti a

38. y=f(x) a Funkcija f je zveznav točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.

39. Računanje limit • če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti • za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a • z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo) (eksponentne in logaritemske) (kotne in ciklometrične)

40. Primeri

41. y=f(x) 1 1

42. Asimptote Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x),če je asimptota je: Primer

43. ZVEZNE FUNKCIJE Funkcija f je zvezna, če je za vsaka, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a. Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.

44. Grafi zveznih funkcij

45. Grafa nezveznih funkcij

46. Osnovne funkcije so zvezne. Lastnosti zveznih funkcij Vse elementarne funkcije so zvezne. Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija. Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.

47. f(b) f(a) a b Zvezna funkcija na intervalu [a,b]zavzame vsevmesnevrednostimed f(a) in f(b). Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike. Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine. Če je etanol pri 40oC tekoč, pri 80oC pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre. Če je bila jutranja temperatura 6oC, opoldanska pa 15oC, potem je tisto jutro bilo tudi 10oC.

48. Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij 5.25 3 4.67 6 4.80 4.76 4.85 4.5 Ničla je ≈ 4.78

49. lsina l a -lsina Primer Palico oblike primemo za en konec in vržemo proti steni. Kdaj bo zadela steno? V trenutku t je težišče v točki vt, kot vrtenja apa je enak kt. En konec palice je od štarta oddaljen za vt+lsinkt, drugi pa za vt-lsinkt. Fizikalno ozadje: težišče telesa se giblje enakomerno in premočrtno, palica pa se enakomerno vrti okoli težišča.

50. s s=vt+lsin kt s=vt-lsin kt t d d je razdalja do stene Poiskati moramo manjšo izmed rešitev enačb vt+lsinkt=d in vt-lsinkt=d.