P rof. Rafael Mesquita rgm@cin.ufpe.br

1. Cálculo Numérico Prof. Rafael Mesquita rgm@cin.ufpe.br Aula 13 – Ajustamento Adaptado por Prof. Guilherme Amorim gbca@cin.ufpe.br 2014.1 - 27/05/2014

2. Introdução • Quando estudamos um fenômeno de forma experimental, é comum termos um conjunto de valores tabelados • Utilizando tais informações podemos levantar várias questões • Qual a relação existente entre e ? • Qual o valor de para um determinado fora do tabelamento ?

3. Introdução • Nessas circunstâncias, temos um tabelamento da forma • Como podemos usar o tabelamento para calcular o valor da função desconhecida em pontos não tabelados? • mapeia algum fenômeno com dados colhidos de forma experimental • Não temos certeza sobre corretude dos dados colhidos

4. Introdução • Aplicações • Planejamento • Previsão para o estoque de um determinado produto em função do histórico da sua demanda • Previsão de inflação, consumo energético, dados populacionais, ...

5. Ajustamento de curvas • Definição: • O problema do ajuste de curvas no caso em que temos um tabelamento de pontos , com consiste em: • Escolhidas funções , contínuas em , obter constantes , tais que a função se aproxime ao máximo de

6. Ajustamento de curvas • Temos uma combinação linear de funções elementares: • : coeficientes a serem ajustados • : funções conhecidas (1,x,sen x, ln x,...) • Desejamos escolher a função que melhor represente o tabelamento utilizado

7. Ajustamento de curvas • Dúvida: Como escolher as funções contínuas ? • Uma maneira simples consiste em analisar os pontos conhecidos em um gráfico cartesiano • Ex: • Procuramos o valor de em • Ou seja,Qual parábola com equação melhor se ajusta aos dados?

8. Ajustamento de curvas • Dúvida: Como escolher as funções contínuas ? • Uma maneira simples consiste em analisar os pontos conhecidos em um gráfico cartesiano • No entanto, essa escolha nem sempre é simples, e não será objeto de estudo nesse curso...

9. Ajustamento de curvas • O que significa obter uma curva que melhor se ajuste, ou que mais se aproxime de uma função desconhecida ? • Idéia geométrica: Objetivo: tornar os resíduos mínimos y x

10. Ajustamento de curvas • O que significa tornaros resíduos mínimos ? • Não! A curva pode ter resíduos positivos e negativos grandes em valores absolutos, mas que somados se aproximem bastante de zero. Escolha inadequada... • Não! Função valor absoluto não é derivável em seu mínimo... • Sim! Problemas anteriores são resolvidos • Buscaremos a função do tipo escolhido que produza a menor soma dos quadrados dos resíduos • Método dos mínimos quadrados (MMQ)

11. Método dos Mínimos Quadrados • Funçãoassocia a função escolhida para representar a tabela dada à soma dos quadrados dos resíduos produzidos por ela • Procuramos o mínimo de

12. Método dos Mínimos Quadrados • Para o caso específico de uma reta, teremos: • Onde e • Teremos para cada possível par uma reta distinta

13. Método dos Mínimos Quadrados • Queremos, portanto, encontrar o par que minimize a soma do quadrado dos resíduos • Então, temos que • (1) • (2)

14. Método dos Mínimos Quadrados Como (3) Temos que , logo, de (2) temos que Portanto, considerando que (ver (1)), temos o sistema normal, dado por

15. Método dos Mínimos Quadrados Substituindo conforme a igualdade (3), o sistema normal pode ser reescrito como , , Sintetizando a equação acima, temos que:

16. Método dos Mínimos Quadrados • Sistema Normal • Sistema normal possui solução única e essa é o ponto de mínimo de

17. Método dos Mínimos Quadrados • Exemplo: Considere as taxas de inflação no período de janeiro a setembro de um certo ano dada pela tabela abaixo. Faça uma previsão para os meses de outubro a dezembro desse mesmo ano considerando que uma reta é o tipo de curva que melhor representa esse fenômeno

18. Método dos Mínimos Quadrados • Queremos encontrar a reta que melhor se ajuste à tabela dada. • Como a equação da reta é da forma • , utilizando a definição de sistema normal (), e utilizando m= 1, devido à quantidade de termos de P, chegaremos ao sistema: • , • Onde e

19. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

20. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

21. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

22. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

23. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

24. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

25. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

26. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

27. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

28. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

29. Método dos Mínimos Quadrados • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

30. Método dos Mínimos Quadrados

31. Método dos Mínimos Quadrados • Logo, chegaremos no seguinte sistema: • Solução: , • Assim, temos a inflação em • outubro -> • novembro -> • dezembro ->

32. Método dos Mínimos Quadrados • Exercício: Determine que melhor se ajuste à tabela abaixo: • R:

33. Caso não linear • Para aplicarmos o MMQ é necessário que P seja linear nos parâmetros • Quando isso não ocorre devemos fazer uma mudança de variável para tentar tornar o problema em um problema de ajuste linear

34. Caso não linear • Ex:Encontre a curva do tipo que melhor se ajuste à tabela abaixo usando o MMQ • Trabalharemos com • Reconstruindo a tabela...

35. Caso não linear • Aplicando o sistema normal, já que m=1, teremos: • , • Onde , e

36. Caso não linear • Precisamos encontrar cada um dos coeficientes utilizados no sistema anterior. Para isso, construiremos a tabela abaixo:

37. Caso não linear • Logo, chegaremos no seguinte sistema: • Solução: ,

38. Exercícios • Usando o MMQ encontre a curva de cada uma das formas abaixo para a seguinte tabela:

39. Bibliografia • [1] Silva, Zanoni; Santos, José Dias. Métodos Numéricos, 3ª Edição. Universitária, Recife, 2010.