LOGIKA

1. LOGIKA

2. A filozófia diszciplínái Tematika • Logika • Nyelvfilozófia • Metafizika • Ismeretelmélet • Tudományfilozófia • Elmefilozófia Előadások: • http://hps.elte.hu/~gszabo/Filozofiadiszciplinai.html

3. Magyar nyelvű ajánlott irodalom • Ruzsa I., Máté A.: Bevezetés a modern logikába, Osiris, 1997. • Farkas K., Kelemen J.: Nyelvfilozófia, Áron Kiadó, 2002. • Huoranszki F.: Modern Metafizika, Osiris, 2001. • Forrai G.: Mikor igazolt egy hit?, Osiris-Láthatatlan Kollégium, 2002. • Laki J. (szerk.): Tudományfilozófia, Osiris–Láthatatlan Kollégium, 1998. • Ambrus G.: A tudat metafizikája, Gondolat, 2007.

4. Mi a logika? • Régebbi elnevezés: • dialektika (a vitatkozás művészete) • analitika (Arisztotelésznél) • Logika: az érvényes következtetés elmélete • Következtetés: • 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. • 2. premissza: Esik az eső. • Konklúzió: Sáros az út.

5. Következtetések • Érvényes következtetés: • 1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.) • 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. • Érvénytelen következtetés: • 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi nem jön a keddi filmre. • 2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.

6. Érvényes-e az alábbi következtetés? • Ebben a házban nincs más állat, csak macska. • Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat bámulni. • Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm. • Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után. • Nincs olyan macska, amely nem fog egeret. • Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli. • A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek. • Csak húsevő állatok fognak egeret. • Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak hozzám. • Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik a Holdat bámulni. Mindig elkerülöm a kengurukat.

7. Mikor érvényes egy következtetés? • Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés érvényes? • Ha esik az eső, sáros az út. • Esik az eső. • Sáros az út. • Érvényes egy következtetés: ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz.

8. Formalizálás • Atomi mondatok: • p: Esik az eső. • q: Sáros az út. • Funktorok: • ~: nem • &: és • ∨: vagy • ⊃: ha … akkor • ≡: akkor és csak akkor • Formulák (összetett mondatok): • A = p ⊃ q: Ha esik az eső, sáros az út. • B = p & ~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.

9. Formalizálás • Természetes nyelvi mondat: • Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt, hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és megnézheted magad. • Jelölések: • p: elhiszed, hogy baj van • q: adsz pénzt, hogy segíthessek • r: megnézheted magad • Szerkezet: (p & q) ∨ (~p & r)

10. Szemantika felépítés: A következmény-relációt az igaz és a hamis fogalmán keresztül vezeti be. Szintaktikai felépítés: A következmény-relációt a nyelvi jelek kombinációján keresztül vezeti be. Szemantika és szintaxis

11. Szemantika • Igazságérték: • igaz: 1 • hamis: 0 • Atomi mondatok igazságértéke: • a mondat igaz: |p|=1 • a mondat hamis: |p|=0

12. Funktorok igazságtáblázata tagadás (nem) konjunkció (és) diszjunkció (vagy) kondicionális (ha… akkor) bikondicionális (akkor és csak akkor)

13. Interpretáció • Interpretáció: • Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk. • Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van, három mondat esetén 8. • n db atomi mondatnak 2n interpretációja van.

14. Érvényes következtetés • Érvényes következtetés: Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. • Vagyis: ha minden olyan interpretációra, amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió is igaz. • P = {p1, p2 …}: premisszák • K: konklúzió • Jelölés: P⇒ K

15. Következményreláció Érvényes következtetés: • 1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre. • 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. • Formalizálás: • p: Marci jön a keddi filmre. • q: Marcsi jön a keddi filmre. • Premisszák: • 1. premissza: p∨q • 2. premissza: ~p • Konklúzió: q • Kérdés: {p ∨ q, ~p} ⇒q

16. Feladatok • Érvényesek-e az alábbi következtetések? • {~p & q, p ⊃ q, ~p} ⇒ p & ~q • {p & ~q, ~p ∨ q} ⇒ p ∨ q • Igazolja az alábbi következtetések érvényességét! • {p ⊃ q, p} ⇒ q (leválasztási szabály, modus ponens) • {p ⊃ q, ~q} ⇒ ~p (modus tollens) • {p ⊃ q, q ⊃ r} ⇒ p ⊃ r (láncszabály) • {p ∨ q, ~q} ⇒ p {p ∨ q, ~p} ⇒ q • p ≡ q ⇒ p ⊃ q p ≡ q ⇒ q ⊃ p • {p ≡ q, q ≡ r} ⇒ p ≡ r

17. A logika fajtái • Extenzionális logika • Kijelentéslogika (nulladrendű logika): nem bontjuk fel az atomi mondatokat. (Ez volt eddig.) • Predikátumlogika (elsőrendű logika): felbontjuk az atomi mondatokat. • Intenzionális logika • Modális logika • Temporális logika

18. Mondat és név • Alapkategóriák: • mondat: „A portás kabátja piros” • (individuum)név: „Albert Einstein”, „a portás kabátja” • Funktorok (függvények): • mondatfunktor: mondat → mondat • „Péter azt mondja, hogy …” ; „ … és …” • névfunktor: név → név • „ … anyja”; „ … és … gyermeke” • predikátum: név → mondat • „ … piros”; „… nagyobb, mint …” • Faktuális érték (extenzió): • mondat: igaz (1), hamis (0) • név: az az objektum, amit a név jelöl

19. Extenzionális és intenzionális logika • Extenzionális funktor: a bemenet faktuális értéke meghatározza a kimenet faktuális értékét. • mondatfunktor: mondat → mondat • „Nem igaz, hogy …” ; „ … és …” • predikátum: név → mondat • „Péter látja/hallja …-t” • Intenzionális funktor: a bemenet faktuális értéke nem határozza meg a kimenet faktuális értékét. • mondatfunktor: mondat → mondat • „Péter tudja/gondolja/azt hiszi , hogy …” ; „ … mert …” • predikátum: név → mondat • „Péter ismeri …-t”

20. Elsőrendű extenzionális logika • A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z • Ő álmos. → x álmos. • A változók segítségével nyitott mondatot kapunk: • x kezet fogott y-nal. • szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek. • kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek. • Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. • Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz. • Hogyan lehet változókat lekötni? → Kvantorokkal.

21. Kvantorok • Univerzális kvantor: ∀ (minden) • Egzisztenciális kvantor: ∃ (van olyan) • Nyitott mondat: • x álmos. • Kvantort eléírva: • ∀x(x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos. • ∃x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos. • Kvantor alkalmazásának sémája: • kvantor – változó – (hatókör) • A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját. • Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.

22. Példák • Kétváltozós nyitott mondat: • (x ember) ⊃ (y barátja x-nek) • Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek. • Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral: • (x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek) • Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-nak. • Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja. • Kössük le x-et univerzális kvantorral: • ∀x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)] • Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja. • Röviden: Minden embernek van barátja.

23. További példák • Júliát mindenki szereti: • ∀x (x szereti Júliát) • Júlia mindenkit szeret: • ∀x (Júlia szereti x-et) • Mindenki szeret valakit: • ∀x ∃y (x szereti y-t) • Mindenkit szeret valaki: • ∀x ∃y (y szereti x-et) • Mindenki szeret mindenkit: • ∀x ∀y (x szereti y-t)

24. Egzisztenciaállítások • Egzisztenciaállítás: ∃x.F(x) • Létezik páros szám: ∃x (x páros szám) Egyéb esetek: • Van olyan F, amely G: ∃x [F(x) & G(x)] • Van olyan gomba, amelyik mérgező: ∃x (x gomba & x mérgező) • Van olyan F, amely nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)] • Van olyan madár, amelyik nem repül: ∃x [x madár & ~(x repül)] • Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & G(x)] • Nincs olyan diák, aki megbukott. ⇔ Egyetlen diák sem bukott meg. • ~∃x [F(x) & G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)] • Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & ~G(x)] • Nincs olyan ló, amelyik nem négylábú. ⇔ Minden ló négylábú. • ~∃x [F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ G(x)]

25. Univerzális állítások • Univerzális állítás: ∀x.F(x) • Minden mozog: ∀x (x mozog) Egyéb esetek: • Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃ G(x)] • Minden ló négylábú: ∀x (x ló ⊃ x négylábú) • A madarak tojásrakók: ∀x (x madár ⊃ x tojáslakó) Feladat: Formalizáljuk az alábbi mondatokat! • Csilla vett valamit, de elcserélte azt valakivel valamire. • Mindenki gyanús nekem, aki él. • Péter minden barátjának van gyereke. • A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg.

26. Modális logika • „Szükségszerű, hogy minden gerincesnek van szíve.” • „Lehetséges, hogy Anna lekéste a vonatot.” • „Esetleges, hogy holnap lesz tengeri csata.” • „Lehetetlen, hogy senki sem látta a balesetet.” • ⃞p: szükségszerű, hogy p • ⃟p: lehetséges, hogy p • ~⃞p: esetleges, hogy p • ~⃟p: lehetetlen, hogy p • ⃟p = ~⃞~p: lehetséges = nem lehetetlen • ⃞p = ~⃟~p: szükségszerű = nem esetleges

27. Lehetséges világok szemantikája • Leibniz: • „számtalan világ van, amelyek közül az Istennek szükségképpen a legjobbat kellett kiválasztania” • Lehetséges világok: @ v1 v2 … • ⃞p: szükségszerű, hogy p, • ha p minden világban igaz. • ⃟p: lehetséges, hogy p, • ha van olyan világ, amelyikben p igaz.

28. Lehetséges világok szemantikája • „Öt meg hét szükségszerűen tizenkettő:” • „Öt meg hét minden világban tizenkettő” • „Szókratész lehetett volna ostoba”: • „Szókratész bölcs @-ban, de létezik egy v, ahol Szókratész ostoba” • Kérdés: Hogyan lehetett Szókratész ostoba egy másik világban, amikor Szókratész az aktuális világban létezik?

29. Modális realizmus és aktualizmus • Modális realizmus: • A lehetséges világok konkrét univerzumok, amelyek nem állnak egymással téridőbeli kapcsolatban. • Az aktuális világ indexikusan értelmezendő. • Modális aktualizmus (antirealizmus): • Csak az aktuális világ létezik, a lehetséges világok absztrakt reprezentációk, propozíciók maximális és konzisztens rendszerei. • Míg az idő tekintetében inkább realisták vagyunk, addig a modalitások tekintetében inkább antirealisták.

30. de dicto: a mondatról A modális funktor zárt mondatra hat: ⃞∀x (F(x) ⊃ G(x)) „Szükségszerű, hogy aki athéni, az athéni.” igaz „Szükségszerű, hogy a Naprendszerben a bolygók száma nagyobb, mint hét.” hamis de re: a dologról A modális funktor nyitott mondatra hat: ∀x (F(x) ⊃⃞G(x)) „Aki athéni, az szükség-szerűen athéni.” hamis „A Naprendszerben a bolygók száma szükségszerűen nagyobb, mint hét.” igaz De dicto és de re modalitás

31. Kontrafaktuálisok • A □→ B: ha A volna a helyzet, akkor B volna a helyzet • „Ha a kenguruknak nem lenne farkuk, hanyatt esnének.” → igaz • „Ha a nagymamámnak hat kereke volna, ő lenne a villamos” → hamis • Lehetséges világok: @ v1 v2 … • A □→ B igaz: • ha nem létezik olyan világ, amelyben A igaz (A □→ B üresen igaz), vagy • ha a legközelebbi olyan világ, amelyben A igaz, abban B is igaz (A □→ B nem üresen igaz).