Fakultet za informatiku i menadžment Predmet: Osnovi računarske tehnike

1. Fakultet za informatiku i menadžment Predmet: Osnovi računarske tehnike Predavač: dr Violeta Tomašević, vanr.prof. Matematičke osnove računarske tehnike II deo • PREDSTAVLJANJE PODATAKA U RAČUNARU • Predstavljanje označenih celih brojeva • Znak i apsolutna vrednost • Komplement dvojke (opseg brojeva, aritmetičke operacije) • Predstavljanje realnih brojeva • Pokretni zarez • Predstavljanje podataka znakovnog tipa

2. Celi brojevi Realni brojevi Znakovni tip Klasifikacija podataka Tipovi podataka Dinamički tipovi struktura podataka se slobodno menja takom rada Strukturirani tipovi sastoje se od više komponenata koje se nalaze u precizno definisanom odnosu Statički tipovi unapred definisana unutrašnja struktura svakog podatka Skalarni tipovi tipovi čije su vrednosti skalari

3. Predstavljanje označenih celih brojeva Označavanje brojeva • U decimalnom brojnom sistemu negativni brojevi se predstavljaju znakom “-” (pozitivni znakom “+” ili se znak izostavlja) napisanim ispred cifara koje definišu apsolutnu vrednost broja. • U binarnom brojnom sistemu je ovakav način predstavljanja označenih brojeva nemoguć, jer računari mogu da prepoznaju samo dva znaka, a to su “0” i “1”. Samim tim je znakove “-” i “+” potrebno na neki način predstaviti pomoću “0” i ”1”. • Dva načina za predstavljanje označenih celih binarnih brojeva: • pomoću znaka i apsolutne vrednosti • u komplementu dvojke

4. Znak i apsolutna vrednost (1) • Ovo je najjednostavniji način zapisivanja označenog binarnog broja. Postupak zapisivanja broja • Apsolutnoj vrednosti broja se na mestu najveće težine dodaje jedna cifra i to: • 0 – ako je broj pozitivan • 1 – ako je broj negativan

5. Znak i apsolutna vrednost (2) Primer1a 7(10) = 111(2) neoznačen binarni broj +7(10) = 0111(2)označen pozitivan binarni broj -7(10) = 1111(2) označen negativan binarni broj Primer1b 12(10) = 1100(2) neoznačen binarni broj +12(10) = 01100(2) označen pozitivan binarni broj -12(10) = 11100(2)označen negativan binarni broj

6. Znak i apsolutna vrednost (3) • Nad binarnim brojevima zapisanim pomoću znaka i apsolutne vrednosti teško se obavljaju aritmetičke operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) zato što se negativan broj ne može tretirati na jedinstven način. • Navedeni problem se rešava predstavljanjem negativnih binarnih brojeva u komplementu dvojke.

7. Komplement dvojke (1) Postupak zapisivanja broja • Pozitivan ceo broj se dobija dodavanjem cifre 0 ispred neoznačenog binarnog broja. • Negativan ceo broj se dobija na sledeći način: • ispred neoznačenog binarnog broja doda se cifra 0 • sve cifre broja se invertuju (jedinice se zamene nulama, a nule jedinicama) • dobijeni broj se sabere sa 1.

8. Komplement dvojke (2) Primer 2 Decimalni broj -7(10) predstaviti u komplementu dvojke.

9. Komplement dvojke (3) Pojednostavljeni postupak zapisivanja broja • Polazni binarni broj se podeli na dva dela, levi i desni, tako da desni deo čine prva jedinica sa desne strane u broju i sve nule koje slede iza nje, dok preostale cifre čine levi deo broja. • Komplement dvojke se dobija tako što se sve cifre u levom delu broja invertuju (jedinice se zamene nulama, a nule jedinicama), a desni deo broja ostaje nepromenjen.

10. Komplement dvojke (4) Primer 3 Naći komplement dvojke binarnog broja 01010010010000(2).

11. Komplement dvojke (5) • Kao i kod zapisa pomoću znaka i apsolutne vrednosti, i kod zapisa u komplementu dvojke pozitivni brojevi počinju cifrom 0, a negativni cifrom 1. • Pozitivnim brojevima možemo dodavati vodeće nule (ispred cifre najveće težine), a negativnim vodeće jedinice, a da se vrednost brojeva ne menja. Određivanje decimalne vrednosti broja • Decimalna vrednost X označenog binarnog broja zapisanog u komplementu dvojke sa n+1 cifara nalazi se primenom sledeće formule:

12. Komplement dvojke (6) Primer 4 Odrediti decimalne vrednosti brojeva zapisanih u komplementu dvojke.

13. Opseg neoznačenih brojeva Opseg neoznačenih brojeva zapisanih sa n cifara u binarnom obliku dobija se po sledećoj formuli: Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su:

14. Opseg označenih brojeva Opseg označenih brojeva zapisanih u komplementu dvojke sa n cifara dobija se po sledećim formulama: Opsezi brojeva koji se mogu predstaviti pomoću 4 odnosno 8 binarnih cifara su:

15. Sabiranje brojeva zapisanih u komplementu dvojke (1) Postupak sabiranja • oba sabirka se predstave u komplementu dvojke • ukoliko nemaju isti broj cifara, sabirak sa manjim brojem cifara se dopuni vodećim nulama (ako je pozitivan) ili jedinicama (ako je negativan) do broja cifara drugog sabirka • tako dobijeni brojevi se saberu po pravilima binarnog sabiranja ne vodeći računa o znaku • dobijeni rezultat (zbog računarske implementacije, uzima se isti broj cifara kao kod sabiraka) je takođe u komplementu dvojke Važno! Rezultat sabiranja mora biti u dozvoljenom opsegu brojeva koji se mogu predstaviti datim brojem cifara da ne bi došlo do prekoračenja i greške prilikom izračunavanja.

16. Sabiranje brojeva zapisanih u komplementu dvojke (2) Primer 5 Sabrati navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke.

17. Oduzimanje brojeva zapisanih u komplementu dvojke Oduzimanje brojeva se svodi na sabiranje po sledećoj formuli: Primer 6 Oduzeti navedene decimalne brojeve u komplementu dvojke.

18. Predstavljanjerealnih brojeva • Za predstavljanje realih brojeva (brojeva sa decimalnom tačkom) koristi se pokretni zarez – floating point • Zapis u pokretnom zarezu ima 3 komponente: • znak • eksponent • mantisu 31 0 Znak Eksponent Mantisa

19. Pokretni zarez Decimalna vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu dobija se po formuli: (ZNAK)MANTISA·2EKSPONENT • Postoje razni standardi koji definišu koliko se bita koristi za koju komponentu i u kom formatu su komponente zapisane. • Opšteprihvaćeni standard za zapis brojeva u pokretnom zarezu je standard IEEE 754.

20. Standard IEEE 754 Zapis broja u pokretnom zarezu po standardu IEEE 754 • 1 bit za znak • 8 bitova za eksponent • 23 bita za mantisu Znak Broj je pozitivan ako binarna cifra koja predstavlja znak ima vrednost 0, a negativan ako ova cifra ima vrednost 1.

21. Eksponent • Po IEEE 754 standardu, 8-bitni eksponent se uvećava za 127 prilikom generisanja zapisa. Zato se naziva i uvećani eksponent. • Razlog za uvećanje eksponenta je u tome što to pruža mogućnost da eksponent ima i negativnu vrednost. • pomoću 8 bita mogu se zapisati decimalni brojevi od 0 do 255 • umanjivanjem navedenog opsega brojeva za 127 dobija se da vrednost eksponenta može biti u opsegu od -127 do 128 • Pri određivanju decimalne vrednosti zapisa, prava vrednost eksponenta dobija kada se od decimalne vrednosti 8-bitnog eksponenta u zapisu oduzme 127.

22. Mantisa • Po IEEE 754 standardu, mantisa se predstavlja pomoću 23 bita koji se mogu obeležiti sa m1, m2, ..., m23, počevši sa leva na desno. Decimalna vrednost mantise određuje se formulom: • Vrednost mantise mora biti između 1 i 2. • Po IEEE 754 standardu, decimalni broj 0 se zapisuje • pomoću 32 nule • pomoću jedinice i 31 nule

23. Određivanje decimalne vrednosti 01000001011100000000000000000000 Rešenje: 0 10000010 11100000000000000000000 Znak: cifra znaka je 0→broj je pozitivan Eksponent: 10000010(2) = 128+2-127 = 3 Mantisa: 20+2-1+2-2+2-3 = 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8 Vrednost broja: +15/8 · 23 = +15/8 · 8 = +15 Primer 7 Odrediti decimalnu vrednost broja zapisanog u pokretnom zarezu.

24. Predstavljanje podataka znakovnog tipa Skup znakova čine: • velika i mala slova abecede • decimalne cifre • specijalni znaci (znaci na tastaturi koji nisu ni slova ni cifre i mogu se štampati: !, #, $, %, =, + itd.) • kontrolni znaci (ne mogu se štampati, niti prikazati na ekranu, već služe za upravljanje ulazno/izlaznim uređajima: zvučni signal i sl.)

25. ASCII standard • Postoji više metoda za binarno predstavljanje znakova u računaru. Najpoznatiji od njih je ASCII – American Standard Code for Information Interchange. • Po ASCII standardu, znakovi se u memoriji računara pamte u vidu odgovarajućeg 8-bitnog binarnog broja. • ASCII tabela daje jednoznačnu vezu između znakova i njihovih kodova datih u vidu 8-bitnih binarnih brojeva.

26. Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII Hex ASCII 0 NUL 10 DLE 20 30 0 40 @ 50 P 60 ` 70 p 1 SOH 11 DC1 21 ! 31 1 41 A 51 Q 61 a 71 q 2 STX 12 DC2 22 ” 32 2 42 B 52 R 62 b 72 r 3 ETX 13 DC3 23 # 33 3 43 C 53 S 63 c 73 s 4 EOT 14 DC4 24 $ 34 4 44 D 54 T 64 d 74 t 5 ENQ 15 NAK 25 % 35 5 45 E 55 U 65 e 75 u 6 ACK 16 SYN 26 & 36 6 46 F 56 V 66 f 76 v 7 BEL 17 ETB 27 ’ 37 7 47 G 57 W 67 g 77 w 8 BS 18 CAN 28 ( 38 8 48 H 58 X 68 h 78 x 9 TAB 19 EM 29 ) 39 9 49 I 59 Y 69 i 79 y A LF 1A SUB 2A * 3A : 4A J 5A Z 6A j 7A z B VT 1B ESC 2B + 3B ; 4B K 5B [ 6B k 7B { C FF 1C FS 2C , 3C < 4C L 5C \ 6C l 7C | D CR 1D GS 2D - 3D = 4D M 5D ] 6D m 7D } E SO 1E RS 2E . 3E > 4E N 5E ^ 6E n 7E ~ F SI 1F US 2F / 3F ? 4F O 5F _ 6F o 7F DEL ASCII tabela (prvih 128 vrednosti)

27. Informacije u binarnom obliku • 1 bit [1b] – informacija od jedne binarne cifre • 1 bajt [1B ]– informacija od 8 bitova • 1 kilobajt [1KB] – informacija od 1024 bajta • 1 megabajt [1MB] – informacija od 1024 kilobajta, odnosno 1024x1024=1 048 576 bajtova • 1 gigabajt [1GB] – informacija od 1024 megabajta, odnosno 1024x1024x1024=1 073 741 824 bajta