Escuela S uperior de Formación de Maestros “Ángel M endoza J ustiniano”

1. Escuela Superior de Formación de Maestros “Ángel Mendoza Justiniano” Docente: Cintia Gutierrez Lazarte Matemática Tema: Progresiones Geométricas

2. Índice • Concepto • Ejemplos • Fórmula General • Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica • Suma de términos infinitos de una progresión geométrica • Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente • Interpolación de términos en una progresión geométrica • Producto de dos términos equidistantes • Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

3. Concepto Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r,denominada razón o factor de la progresión. Así,  es una progresión geométrica con razón igual a 3,porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3 Y así sucesivamente.

4. Ejemplos • La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. • La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que    en la definición.

5. Fórmula General an =a1 · rn – 1 Donde: a1 = Primer término an =Último término r = Razón n= Número de términos

6. Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Se denomina como Sn a la suma de ntérminos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 +... + an-1 + an Cuya fórmula es: Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

7. Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1,   tiende hacia 0, de modo que:

8. Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

9. Interpolación de términos en una progresión geométrica Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

10. Producto de dos términos equidistantes Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos. ai . aj = a1 . an a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an 3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12 144 = 144 =144

11. Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...