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MODELACIONES MATEMÁTICAS

MODELACIONES MATEMÁTICAS. ES UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE INTERPRETAR GRÁFICAMENTE UN PROBLEMA. EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE MODELACIONES CONJUNTISTAS LINEALES TABULARES RAMIFICADAS. CONJUNTISTAS: CUANDO SE DAN CIERTAS CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.

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MODELACIONES MATEMÁTICAS

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  1. MODELACIONES MATEMÁTICAS DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  2. ES UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE INTERPRETAR GRÁFICAMENTE UN PROBLEMA EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE MODELACIONES • CONJUNTISTAS • LINEALES • TABULARES • RAMIFICADAS DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  3. CONJUNTISTAS:CUANDO SE DAN CIERTAS CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. MODELACION LINEAL:CUANDO EL PROBLEMA INVOLUCRA UNA SOLA VARIABLE. MODELACION TABULAR:SE USA CUANDO EL PROBLEMA INVOLUCRA MÁS DE UNA VARIABLE. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  4. MODELACIÓN RAMIFICADA:SE UTILIZA CUANDO SE TRATA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACION ITERADAS, PREFERENTEMENTE PROBLEMAS QUE TIENEN QUE VER CON COMBINACIONES, PERMUTACIONES Y ARREGLOS. CADA UNA DE ELLAS SE APLICA DEPENDIENDO DE LAS CARACTERÍSTICAS PROPIAS DEL PROBLEMA. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  5. ES IMPORTANTE DESTACAR QUE ESTAS MODELACIONES SON UN INSTRUMENTO DE AYUDA. SON UN MEDIO AL SERVICIO DE DETERMINADOS OBJETIVOS O CONTENIDOS. ¡EL MODELO NO ES EL CONTENIDO! DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  6. NO DEBEMOS DEDICAR DEMASIADO TIEMPO A ELLO Y MENOS ENSEÑARLO O INSTRUIRLO COMO MATERIA. PODEMOS RECURRIR SIEMPRE A ELLOS, HASTA QUE LOS ESTUDIANTES LO HAGAN PROPIO Y SE TRANSFORME CON EL USO EN UN “MODELO MENTAL” LA IDEA ES QUE POR EL USO PERMANENTE DE ESTOS MODELOS LO ASIMILE DE TAL FORMA QUE LUEGO HAGA SOLO REFERENCIA ABSTRACTA DE ELLOS. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  7. MODELACIÓN CONJUNTISTA • SE APLICA O USA PREFERENTEMENTE CUANDO SE DAN CIERTAS CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. • ES IMPORTANTE ACLARAR ALGUNOS CONCEPTOS • UN CONJUNTO ES UNA AGRUPACIÓN DE ELEMENTOS DE CUALQUIER NATURALEZA. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  8. EJEMPLO:A=(CUADRADO, RECTÁNGULO,MANZANA,CAMISA) CUYA MODELACIÓN GRÁFICA CORRESPONDE A: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  9. EN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA ALGUNOS CONCEPTOS QUE SON CLAVES CONJUNTO UNIVERSO: SE REFIERE AL CONJUNTO “CONTEXTO” EN EL CUAL SE ESTABLECEN LAS RELACIONES MATEMÁTICAS, OPERACIONES, ABSTRACCIONES U OTRAS DEFINICIONES QUE INVOLUCREN UN PROBLEMA. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  10. ESTE CONJUNTO PUEDE SER DE NATURALEZA FINITA: “LAS SILLAS DEL LICEO SAN ANTONIO” DE NATURALEZA INFINITA: “EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  11. GRÁFICAMENTE PODEMOS UTILIZAR ESTE MODELO PARA REPRESENTAR OTRAS IDEAS O CONCEPTOS DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  12. ESTA FORMA DE MODELAR ESTOS CONCEPTOS CONJUNTISTAS NOS PERMITE RESOLVER MÚLTIPLES PROBLEMAS O INTRODUCIR NUEVOS CONCEPTOS. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  13. U CONJUNTO UNIVERSO,TIENE QUE VER CON EL TODO DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  14. UNION DE CONJUNTOS . TIENE QUE VER CON LAS PARTES QUE CONFORMAN O CONSTITUYEN EL TODO • EL LENGUAJE INSTITUCIONAL MATEMÁTICO RIGUROSO EXPRESA QUE: • A U B SSI XEA V x EB • LA IDEA DE LA MODELACIÓN NO ES EL LENGUAJE RIGUROSO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, ESO DEJÉMOSLO PARA NUESTRA PROPIA DISCUSIÓN. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  15. LA UNIÓN DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  16. INTERSECCIÓN DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  17. DIFERENCIA ENTRE A Y B (A-B) DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  18. DIFERENCIA ENTRE B Y A (B-A) DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  19. UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN MATEMÁTICA Y QUE LOS PROFESORES DEBEMOS ESTAR SIEMPRE REFORZANDO ES EL QUE ESTABLECE QUE: • “LA SUMA DE LAS PARTES ES EL TODO” • SI AHORA ESTE CONCEPTO TAN ELEMENTAL, PERO TAN IMPORTANTE LO APLICAMOS A SITUACIONES SENCILLAS Y LO REFORZAMOS REITERADAMENTE, SERÁ MÁS FÁCIL Y NATURAL CONSTRUIR OTROS A PARTIR DE ESTO. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  20. MODELACIÓN ADITIVA DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  21. “LA SUMA DE LAS PARTES ES IGUAL AL TODO”  DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  22. NUEVAMENTE LA MISMA IDEA DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  23. EL MISMO PROBLEMA PUEDE TENER VARIACIONES DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  24. EL PROCESO DE CÓMO EL ALUMNO OBTIENE LA RESPUESTA CORRECTA TIENE VARIOS CAMINOS, ÉSTOS PUEDEN SER DISTINTOS PARA LLEGAR A UN MISMO RESULTADO, LO IMPORTANTE ES EL CONCEPTO COGNITIVO QUE ESTÁ EN JUEGO. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  25. Y SI AHORA ESTE MODELO LO APLICAMOS A UN PROBLEMA COTIDIANO, COBRA ENTONCES MÁS SENTIDO: • “MI PADRE ME REGALÓ $1.265.- MI MAMÁ $680.- ¿CUÁNTO TENGO EN TOTAL? •  NOTE QUE EL PROBLEMA PUEDE SER MUY SENCILLO, PERO LO QUE ESTÁ DETRÁS DE ELLO ES LA MODELACIÓN PARA RESOLVERLO. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  26. ¿QUE VAMOS A CALCULAR? ¿EL TODO O UNA PARTE? DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  27. DE ESTE MISMO PROBLEMA PODEMOS HACER MÚLTIPLES VARIACIONES, INCLUSO LOS ALUMNOS NOS PUEDEN AYUDAR A PLANTEAR SUS PROPIAS INTERROGANTES. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  28. “TENÍA 12 GALLETAS, ME COMÍ 3 EN EL RECREO Y LE DI A MI AMIGA 2. ¿CUÁNTAS ME QUEDAN? EL ESQUEMA CONJUNTISTA SERÁ ENTONCES: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  29. PARA NIVELES MENORES SE PUEDE ADAPTAR ESTE PROBLEMA DE LA SIGUIENTE FORMA: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  30. Y PARA NIVELES MAYORES… - DE UN LIBRO LEÍ EL LUNES LA SEXTA PARTE, EL MARTES LOS 2/5 DE ESTE. ¿QUÉ PARTE ME QUEDA POR LEER? DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  31. EL RAZONAMIENTO QUE SE EMPLEA ES QUE UN LIBRO EQUIVALE A 1. ES IMPORTANTE NOTAR QUE EL CÁLCULO SE REFIERE A UNA PARTE DEL TODO.  ESTE MISMO MODELO SE PUEDE APLICAR A PROBLEMAS QUE SON UN POCO MÁS COMPLEJOS PARA LOS ALUMNOS, PERO QUE CON UN BUEN USO DE ESTE PROCEDER SE SIMPLIFICA LA TAREA  EJEMPLO: EN UN CURSO HAY 15 ALUMNOS (AS) QUE SON RUBIOS, EN EL MISMO CURSO 5 ALUMNOS DEL TOTAL SON RUBIOS Y USAN LENTES, Y 20 DE ELLOS NO TIENEN NINGUNA DE LAS CARACTERÍSTICAS ANTERIORES. ¿CUÁNTOS ALUMNOS EN TOTAL TIENE EL CURSO? DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  32. LA INFORMACIÓN LA DISPONEMOS EN MODELO CONJUNTISTA: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  33. ¿QUÉ NOS PERMITE VISUALIZAR MEJOR EL PROBLEMA? SI COMPLEJIZAMOS MÁS TODAVÍA LA SITUACIÓN: • TENGO UNA CANTIDAD DE FICHAS EN UNA CAJA LAS CUÁLES CUMPLEN CIERTAS CONDICIONES: • 3 DE ELLAS ESTAN PINTADAS COMPLETAMENTE DE ROJO • 1 DE ELLAS ESTA PINTADA DE ROJO Y VERDE • 2 DE ELLAS ESTAN PINTADAS DE ROJO VERDE Y NEGRO • 1 DE ELLAS ES TOTALMENTE VERDE • 5 DE ELLAS CONTIENEN EL COLOR NEGRO • ¿CUÁNTAS FICHAS TENGO EN TOTAL? • ¿HAY ALGUNA FICHA COMPLETAMENTE NEGRA? • ¿CUÁNTAS SOLUCIONES TIENE EL PROBLEMA? DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  34. SI DISPONEMOS NUESTRO MODELO DE LA SIGUIENTE FORMA:  DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  35. EN UN A CONVENCIÓN DE UN TOTAL DE 70, 40 DE ELLOS SON PROFESORES DE MATEMÁTICA, 8 DE ELLOS SON PROFESORES DE MATEMÁTICA Y FÍSICA, Y EL RESTO SOLO DE FÍSICA. ¿CUÁNTOS DE ELLOS SON PROFESORES DE FÍSICA? DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  36. AHORA, TAMBIÉN PODEMOS USAR ESTE MODELO CONJUNTISTA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS DE UNA MANERA NATURAL Y NO MECANIZANTE. EN LA MULTIPLICACIÓN: SI TODAS LAS PARTES SON IGUALES. EJEMPLO: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  37. LO QUE PUEDE INTERPRETARSE COMO: CUATRO VECES UNA PARTE QUE CONTIENE CINCO UNIDADES ( 4 x 5 = 20 ) DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  38. AHORA SI AL MISMO PROBLEMA LE HACEMOS UNA VARIACIÓN Y PEDIMOS QUE CALCULE UNA DE LAS PARTES IGUALES, PODEMOS INTRODUCIR EL CONCEPTO DE LA PARTICIÓN O DIVISIÓN. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  39. ESTO LO PUEDE LOGRAR “TACHANDO” UNO POR UNO LOS ELEMENTOS DEL TODO. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  40. INCLUSO NOS PUEDE AYUDAR A INTRODUCIR EL CONCEPTO DE DIVISIÓN EXACTA O DE RESTO CERO DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  41. O DIVISIÓN NO EXACTA DE RESTO DISTINTO A CERO DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  42. ¿CUÁNTO SOBRA?¿CUÁL ES EL RESTO? EN FIN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA NO ES UN CONTENIDO, ES UN MEDIO, UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE INTERNALIZAR CONCEPTO QUE CON EL USO Y LA PRÁCTICA PUEDE TRANSFORMARSE EN UNA DESTREZA MENTAL EFICAZ. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  43. La suma de dos números es 106, y el mayor excede al menor en ocho. ¿Cuáles son los números? Se puede proceder como se indica: DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  44. LO QUE QUEDA AHORA ES REPARTIR A PARTES IGUALES EL 98, EN CADA UNO DE LOS RECTÁNGULOS IGUALES, QUE REPRESENTAN CANTIDADES IGUALES. Cada una de ellas tiene el valor de: 49 Por lo tanto el menor de los números es: 49 Y el mayor: 49 + 8, es decir: 57 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  45. Dividir o repartir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24. 106 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  46. Lo que pueden disponerse de la siguiente manera: 106 De donde una de las partes iguales equivale a: 41 El otro valor se deduce de la diferencia de este número con el total, en este caso 65 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  47. Una botella llena de miel pesa 600 grs. La misma botella llena con parafina pesa 450 grs. ¿Cuánto pesa la botella vacía? Problema 3. -Una botella llena de miel pesa 600 grs. , La misma botella llena con parafina pesa 450 grs. ¿Cuánto pesa la botella vacía? 600 450 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  48. No parece ser muy difícil deducir que lo que hace la diferencia de peso es lo que contiene el envase, y en este caso la miel es doblemente mas pesada que la parafina, por lo que esta última pesa 150 grs.  Envase + parafina (150 grs.) = total (450 grs.) El envase entonces pesa 300 grs. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  49. ACTIVIDAD: • CREAR UN PAR DE PROBLEMAS EN RELACIÓN A UN CONTENIDO DE NUESTRA PROPIA COMPETENCIA QUE INVOLUCRE MODELACIÓN CONJUNTISTA. • FINALMENTE, LES INVITO A EJERCITAR ESTE MODELO A CADA NIVEL, Y LES ASEGURO QUE SE ENCONTRARÁN CON GRATAS SORPRESAS. DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

  50. EN LA PRÓXIMA OPORTUNIDAD TRATAREMOS EL TEMA: “MODELACIÓN LINEAL” DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

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