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Geoinformation. Vorlesung 9 SS 2001. Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges. Übersicht I. Bestimmung der Tangente Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2) Tangente von CH(P1)  CH(P2) Nochmals zur konvexen Hülle CH Tangente

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Presentation Transcript

  1. Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges

  2. Übersicht I • Bestimmung der Tangente • Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2) • Tangente von CH(P1)  CH(P2) • Nochmals zur konvexen Hülle CH • Tangente • Nachfolger - Bestimmung • Nachfolger • Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  3. Übersicht II • Extrempunkte • 2 vertikal monotone Kantenzüge • Tangente • Bestimmung des Nachfolgers • Konvexe Hülle • Bestimmung des Nachfolgers • Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  4. Bestimmung der Tangente • im Detail Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  5. max y max y min y min y Extrempunkte von CH(P1) bzw. CH(P2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  6. Tangente von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  7. Tangente von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  8. Extrempunkte: Funktioniert das immer ? Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  9. Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. • Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. • Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. • Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. • P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkelvon P2minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  10. Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  11. Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. • Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. • Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. • Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. • P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkelvon P2minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  12. Extrempunkte Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  13. 2 vertikal monotone Kantenzüge Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  14. Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  15. Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. • Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. • Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. • Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. • P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkelvon P2minimal ist. Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  16. Winkel minimal Nachfolger - Bestimmung P1 P2 P3 P4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  17. Nachfolger P1 Winkel minimal P2 P3 P4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  18. Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen • Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1höher als Q1 • Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel • Fälle: • P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig • P1 P2 minimal: ersetze P1durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) • P1 Q2 minimal: ersetze Q1durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) • weiter mit 2. Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  19. Winkel nicht minimal Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Q1 Q2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  20. Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Winkel minimal Q1 Q2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  21. Bestimmung des Nachfolgers P1 P2 Q1 Q2 P3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  22. Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  23. Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  24. Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

  25. Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

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