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DEFINICIÓN DE DERIVADA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. JAVIER BERENGUER MALDONADO. Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:. Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas.
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DEFINICIÓN DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA JAVIER BERENGUER MALDONADO
Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer: • Dominio • Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y • Continuidad • Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: • Intervalos de crecimiento / decrecimiento • Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
m=0 m>0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) m<0 m<0 En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. m=0
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. y=3 y=1,2x+1,5 f’(-2)= 0 f’(4)=0 f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3 y=-1,3x+13 y=-3/2x-24 y=-4
Pasa por (1,-1) y=mx+n -1=m+n Pasa por (3,2) 2=m·3+n ¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. (3,2) (1,-1) Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2
¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil: (3,2)=(x1,y1) (1,-1) )=(x0,y0) De esta manera f’(3)=3/2
IMPORTANTE O LO QUE ES LO MISMO:
Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. Recta t ¿f'(a)=m? A(a,f(a))
Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h
P(a+h,f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P. f(a+h)-f(a) h
P A h 0 a a+h Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:
P A h 0 a a+h P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.
P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t P A a a+h Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite
f(x)=x2/4 (x0,y0) ¿Qué información da lo anterior? * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. y=y0+m(x-x0)
