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LA DERIVADA

LA DERIVADA. INCREMENTOS Y TASAS. El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original. Incremento.

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Presentation Transcript

  1. LA DERIVADA Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  2. INCREMENTOS Y TASAS • El calculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  3. Incremento • Definición: Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces el cambio en el valor de x, que es x2 – x1, se denomina incremento de x y se denota por Δx Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  4. Ejemplo 1 • El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en centavos, se encuentra que el volumen de ventas q (en litros por dia) esta dado por q = 500(150-p) Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento de 120¢ a 130¢ Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  5. Resolviendo la ecuación Δx = x2 – x1 para x2, tenemos x2 = x1 + Δx. Usando este valor de x2 en la definición de Δy, obtenemos Δy=f(x1 + Δx) - f(x1) Dado que x1 puede ser cualquier valor de x la ecuación se puede escribir como Δy=f(x+ Δx) - f(x) En forma alternativa y+Δy=f(x+ Δx) Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  6. Ejemplo 2 • Dada f(x)=x2, calcule Δy si x = 1 y Δx=0,2 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  7. Ejemplo 3 • En el caso de la funcion y = x2, determine Δy cuando x=1 para cualquier incremento de Δx Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  8. Ejemplo 4 • De nuevo considere la función y = x2 y determine Δy para los valores generales de x y Δx Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  9. Tasa de cambio • La tasa de cambio promedio de un función f sobre un intervalo de x a x + Δx se define por la razón de Δy/ Δx. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  10. Ejemplo 6 • Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante esta dado por C(x)=20000+40x y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas esta dado por R(x)=100x-0.01x2. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra producida. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  11. Limites • Sea f(x) una función que está definida en todos los valores de x cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el limite de f(x) cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con solo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos, escribimos: Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  12. Ejemplo 1 • Si f(x) = (x2-9)/(x-3), evalué lim f(x) x3 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  13. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  14. Ejemplo 2 • Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultado Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  15. Ejemplo 3 • Tomando m=2, b=3, c=1, obtenemos el resultado Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  16. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  17. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  18. LA DERIVADA • Ejemplo Durante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la formula P(t)=1+0,03t+t2 En donde P está dado en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1970. Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  19. Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define por Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  20. A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcula la derivada de una función se denomina diferenciación Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto. La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno de los simbolos siguientes Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  21. Ejemplo • Calcule la derivada de 2x2+3x+1 • Calcule dy/dx para la ecuación cubica y=Ax3+Bx2+Cx+D Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  22. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  23. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  24. Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  25. Analisis Marginal • Suponga que el fabricante de cierto articulo descubre que a fin de producir x de estos articulos a la semana, el costo total en dolares esta dado por C=200+0.03x2. Por ejemplo si se producen 100 articulos a la semana, el costo esta dado por C=200+0.03(100)2=500. El costo promedio por articulo al producir 100 articulos es 500/100=5 • Si el fabricante considera cambiar la tasa de produccion de 100 a 100+Δx unidades por semana, en donde Δx representa el incremento en la produccion semanal Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  26. El costo es C+ΔC=200+0,03(100+Δx)2 =200+0,03(10000+200Δx+ Δx2) =500+6 Δx+0,03 Δx2 Por consiguiente, el costo extra determinado por la produccion de los articulos adicionales es ΔC=(C + ΔC)- Δx ΔC =500+6 Δx+0,03 Δx2-500 ΔC=Δx+0,03 Δx2 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  27. En consecuencia, el costo promedio por articulo de las unidades extra es ΔC / Δx= 6+0,03 Δx ¿Cual seria el costo promedio si se pasa de 100 a 150 unidades? Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  28. El costo marginal se define como el valor limite del costo promedio por articulo extra cuando este numero de articulos extra tiende a cero. Asi se puede pensar que el costo marginal es como el costo promedio por articulo extra cuando se efectua un cambio muy pequeño en la cantidad producida Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  29. Ejemplo • En el caso de la funcion de costo C(x)=o.001x3-0.3x2+40x+1000 Calcule el costo marginal cuando x=50, x=100 y x=150 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  30. Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si C(x) es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total C(x) dividido entre el numero de los artículos producidos Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  31. Ingreso Marginal • Si R(x) denota el ingreso en dolares por la venta de x articulos, definimos el ingreso marginal como la derivada R’(x) Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  32. Ejemplo • Si la funcion de ingreso marginal esta dada por R(x) =10x-0,01x2 • Evalue el ingreso marginal cuando x =200 Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  33. Determine el ingreso marginal cuando x=300 si la ecuacion de la demanda es x=1000-100p Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  34. Utilidad marginal • La utilidad marginal representa la utilidad marginal adicional por articulo si la produccion sufre un pequeño incremento Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

  35. La ecuacion de demanda de cierto articulo es p+0.1x=80 La funcion del costo es C(x) = 5000+20x Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y tambien en el caso de que se produzcan y vendan 400 unidades. Ing. Juan Pablo Vargas Vargas MBA

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