SKALARNY BOZON HIGGSA Zbigniew Jacyna-Onyszkiewicz

1. SKALARNY BOZON HIGGSA Zbigniew Jacyna-Onyszkiewicz Zakład Fizyki Kwantowej UAM Wstęp 1. Spinorowe pole Diraca 2. Elektrodynamika kwantowa 3. Chromodynamika kwantowa 4. Mechanizm Higgsa 5. Model standardowy cząstek elementarnych Podsumowanie

2. Wstęp Na konferencji prasowej 4 lipca 2012 roku europejski ośrodek badań jądrowych CERN ogłosił, że znaleziono oznaki istnienia bozonu Higgsa. Czym jest ta od ponad 40 lat poszukiwana cząstka i jakie znaczenie może mieć jej odkrycie?

3. (źródło: Wikipedia)

4. FOTONY Każdy detektor zawiera system kalorymetrów, czyli urządzeń mierzących energie cząstek. Kalorymetr umieszczony w samym centrum jest szczególnie czuły na fotony. Ich absorpcji wewnątrz kalorymetrów towarzyszy pojawienie się słabych sygnałów elektrycznych. Jeżeli higgs rozpada się na dwa fotony, detektor z olbrzymią dokładnością może zmierzyć ich łączną energię, co radykalnie ułatwia wyznaczenie masy nowo odkrytej cząstki. (źródło: Świat Nauki)

5. BOZONY Z Higgs może rozpaść się na parę bozonów Z, z których każdy rozpada się dalej na parę elektron – pozyton (antyelektron, cząstka o ładunku dodatnim) albo dwa miony. Wewnętrzny kalorymetr i układ śledzenia torów umożliwia pomiar energii elektronów. Miony oddalają się ze środka, pozostawiając po sobie możliwy do zmierzenia ślad. Silne pole magnetyczne zagina tory elektronów i mionów, umożliwiając dokładny pomiar ich energii, a tym samym masy higgsa. (źródło: Świat Nauki)

6. KWARKI b (niskie) Higgs może również rozpaść się na kwark b i jego antycząstkę, które dalej rozpadają się w postaci ukierunkowanych „dżetów” hadronów (złożone cząstki zbudowane z kwarków). Hadrony przelatują przez wewnętrzne obszary detektora i tracą energię w zewnętrznych kalorymetrach. Niestety, wiele zwykłych zderzeń protonów również prowadzi do powstania dżetów hadronów, co niezmiernie utrudnia oddzielenie zdarzeń związanych z higgsem od tła. (źródło: Świat Nauki)

7. BOZONY W Inną możliwością jest rozpad higgsa na dwa bozony W, które dalej rozpadają się na elektron, pozyton albo mion oraz odpowiednio neutrino lub antyneutrino. Wykrycie neutrin jest praktycznie niemożliwe i cząstki te niezauważone wylatują poza detektor, zabierając ze sobą część energii. Stwierdzając deficyt energii, badacze wyciągają wniosek o udziale neutrin w procesie, ale nie mogą dokładnie wyznaczyć masy higgsa. (źródło: Świat Nauki)

8. 1. Spinorowe pole Diraca • Leptony i kwarki są fermionami opisywanymi przez równanie Diraca (h = c = 1) (1) Równanie to możemy traktować jako równanie swobodnego spinorowego pola Diraca (2) gdzie .

9. Równanie Diraca można otrzymać z zasady stacjonarnego działania δS = 0 , (3) (4) (5) (6) gdzie

10. Zastąpienie funkcji falowych operatorami (tzw. operacja drugiego kwantowania) (7) działającymi na wektory stanu przestrzeni Focka i spełniającymi fermionowe reguły antykomutacji oznacza przejście od opisu jednocząstkowego do wielocząstkowego. W ten sposób równanie w obrazie Heisenberga (8) , gdzie opisuje swobodne kwantowe pole Diraca, którego wzbudzeniami elementarnymi są fermiony o spinie s=1/2 i masie m.

11. 2. Elektrodynamika kwantowa Gęstość lagranżjanu (5) prowadząca do równania Diraca (1) jest niezmiennicza nie tylko względem transformacji Lorentza, inwersji czasu i odbicia przestrzennego, lecz także względem transformacji cechowania (fazy bispinora) (9) oraz stałe e = e*  i   λ = λ*.

12. Dla bispinora sprzężonego po dirakowsku transformacja cechowania (ang. gauge transformation) ma postać oraz

13. Łatwo można zauważyć, że U spełnia następujące relacje gdzie Widzimy, że zbiór transformacji cechowania {U} tworzy grupę abelową i unitarną G macierzy jednoelementowych, którą przyjęto oznaczać jako G = U(1) . Transformacja (9) oznacza zmianę fazy bispinora jednakową w każdym punkcie czasoprzestrzeni . Taką transformację nazywamy transformacją globalną.

14. Załóżmy teraz, że zmiany fazy bispinora są różne w różnych punktach czasoprzestrzeni gdzie a λ = λ(x) jest funkcją współrzędnych czasoprzestrzennych x. Taką transformację nazywamy lokalną transformacją cechowania (ang. local gauge transformation).

15. Gęstość lagranżjanu prowadząca do równania Diraca i niezmiennicza względem lokalnej transformacji cechowania jest postaci gdzie oraz tworzą pewne pole czterowektorów. Uwzględniając człon w gęstości lagranżjanu, opisujący swobodne pole czterowektorów uzyskujemy (10) gdzie

16. Korzystając z zasady stacjonarnego działania (3) uzyskujemy równania (11) (12) (13) (14) (15) gdzie stanowiące sprzężony układ 12 cząstkowych równań różniczkowych.

17. Antysymetryczny tensor spełnia tożsamość (tzw. tożsamość Bianchiego – ang. Bianchi identity) , (16) Równania (13) i (16) przedstawiają równania Maxwella w niezmienniczej relatywistycznie formie.

18. Wykonując analogiczną zamianę jak w wyrażeniu (7), tzn. , , w równaniach (11-13) otrzymujemy podstawowy układ równań elektrodynamiki kwantowej w obrazie Heisenberga, w którym mają one postać relatywistycznie niezmienniczą (17) gdzie Stanowią one równania ruchu dla operatorów pola. Z uwagi na ich złożoność nie potrafimy znaleźć ich ścisłych rozwiązań. Z tego powodu operatory pola, które muszą spełniać reguły komutacyjne lub antykomutacyjne mogą być określone tylko w tej samej chwili czasu t = t´.

19. 3. Chromodynamika kwantowa Doświadczenia przeprowadzone pod koniec lat sześćdziesiątych XX wieku pokazały, że cząstki uważane za elementarne zwane hadronami zbudowane są z cząstek jeszcze bardziej podstawowych nazwanych przez Gell-Manna (Murray Gell-Mann (1929-) – fizyk amerykański) kwarkami (ang. quarks). Hadrony są układami związanymi kwarków. Hadrony posiadają rozmiar około m. Hadrony dzielą się na bariony (B) – cząstki o spinie ułamkowym, które są fermionami i mezony (M) – cząstki o spinie całkowitym, należące więc do bozonów. Najważniejszymi barionami są proton i neutron, stanowiące składniki jader atomowych. Bariony B są układami związanymi trzech kwarków gdzie a mezony M – układami kwark qf antykwark . Liczba f nosi nazwę zapachu (ang. flavor). Charakterystyczną cechą kwarków jest to, że ich ładunki elektryczne są ułamkowe i wynoszą – 1/3 lub + 2/3 bezwzględnej wartości ładunku elektronu. Tabela 1. przedstawia podstawowe właściwości wszystkich kwarków.

20. Tabela 1. Kwarki

21. Kwarki są fermionami o spinie s = ½, które do odległości m zachowują się jak obiekty bezstrukturalne. Na przykład proton p stanowi układ trzech kwarków p = (uud) a neutron n n = (udd) . Pojawiła się pewna trudność, ponieważ barion jest następującym układem kwarków  = (uuu) . Składa się on z trzech jednakowych kwarków górnych. Jednak z uwagi na to, że kwarki są fermionami obowiązuje je zakaz Pauliego. W jednakowym stanie może być tylko jeden fermion – a nie trzy. Z tego powodu powinna istnieć wewnętrzna liczba kwantowa różnicująca kwarki u w barionie . Ta wewnętrzna liczba kwantowa została nazwana kolorem (ang. colour), ponieważ przyjmuje trzy wartości i nie ujawnia się na zewnątrz hadronu.

22. Stąd gdzie oznacza czerwony kwark górny, – zielony kwark górny oraz – niebieski kwark górny. Podobnie jak zmieszanie trzech kolorów: czerwonego, zielonego i niebieskiego daje w rezultacie kolor biały, barion jest „biały” na zewnątrz, tzn. nie ujawnia właściwości koloru na zewnątrz. Antycząstka jest układem trzech antykwarków górnych gdzie c – to kolor antyczerwony, z – antyzielony oraz n – antyniebieski. Z tego powodu stan kwarka f określony jest przez macierz trzech bispinorów gdzie f = 1, 2, ..., 6.

23. Na podstawie wzoru (5) gęstość lagranżjanu dla swobodnych kwarków ma postać (w przyjętych jednostkach ) (17) Gęstość lagranżjanu (17) jest niezmiennicza względem globalnej transformacji cechowania (18) (19) gdzie a jest macierzą 3 x 3. Macierz jest unitarna

24. Na transformacje (18) i (19) nakładamy dodatkowy warunek – transformacje te muszą zachowywać „biały” kolor barionów. Spełnienie tego warunku generuje następującą formę macierzy : gdziea są tzw. macierzami Gell-Manna.

25. Macierze te są bezśladowe, tzn. Stąd wynika, że Nietrudno zauważyć, że Oznacza to, że zbiór macierzy tworzy unitarną, specjalną grupę nieabelową gdzie c oznacza „grupę kolorową” spełniającą warunki nałożone na liczbę kwantową zwana kolorem, prowadzącą do macierzy Gell-Manna.

26. Podobnie jak poprzednio żądamy aby gęstość lagranżjanu (17) była niezmiennicza względem lokalnych transformacji tworzących grupę SUc(3) (20) (21) gdzie

27. Niezmiennicza względem lokalnych transformacji cechowania (20), (21), postać gęstości lagranżjanu jest następująca (22) gdzie

28. Niezmienniczość ta jest osiągnięta przez sprzężenie kwarków z ośmioma polami kompensującymi (polami cechowania) Glμ(x) . Drugi człon (22) opisuje swobodne pola kompensujące Glμ(x) , gdzie Pola Glμ(x) nazywa się polami gluonowymi (od ang. glue – klej). Jest ich osiem, wszystkie są bezmasowymi polami wektorowymi.

29. Można wykazać dla macierzy tensorów natężeń prawdziwość tożsamości Bianchiego (23) analogicznej do tożsamości (16). Wychodząc z zasady stacjonarnego działania, gdzie i dana jest wzorem (22) otrzymujemy następujący układ równań:

30. (24) gdzie oraz (25)

31. Układ równań (24) wykazuje daleko idące podobieństwo do układu równań (17), których interpretacja fizyczna jest znana. Umożliwia to zinterpretowanie otrzymanych równań. Wyrażenie określa macierz czterowektorów gęstości prądu kolorowego , którego źródłem jest kolorowy ładunek g niesiony przez kwarki opisywane przez oraz przez pole gluonowe (drugi wyraz w (25)) opisywane przez macierz czterowektorów potencjału i macierz tensorów natężeń pól gluonowych . Osiem pól gluonowoych, opisywanych jest przez osiem czterowektorów Glμ(x), niosących ładunek kolorowy. Na tej podstawie można powiedzieć, że układ równań (24) opisuje kwarki oddziałujące ze sobą za pośrednictwem ośmiu pól gluonowych.

32. Analogicznie jak w przypadku elektrodynamiki kwantowej zastąpimy macierze bispinorów i macierz pól gluonowych przez odpowiednie operatory działające w przestrzeni Focka. W tym celu gdzie to operatory działające na wektory stanu HF , oraz a to operatory czteropotencjałów pól gluonowych.

33. Po tej zamianie układ równań (24) przyjmuje postać: (26) gdzie Układ równań (26) stanowi podstawowe równania chromodynamiki kwantowej (ang. quantum chromodynamics – QCD) zapisane w obrazie Heisenberga. Jest to złożony układ wzajemnie sprzężonych 176 równań różniczkowych cząstkowych pozwalający na wyznaczenie czasowej ewolucji operatorów kwantowych pól kwarków i gluonów.

34. 4. Mechanizm Higgsa Pole Higgsa określa gęstość lagranżjanu (27) (28) gdzie oraz (29) .

35. Globalna transformacja cechowania (30) Lokalna transformacja cechowania (31) (32) gdzie – to trzy generatory grupy SU(2).

36. Wybieramy stan próżni w postaci (33) co oznacza łamanie symetrii SU(2). Rozwijamy wokół stanu próżni (cechowanie unitarne) (34) gdzie oraz wybieramy w postaci (35) (36) gdzie

37. Podstawiając (34 - 36) do (32) otrzymujemy: (37)

38. Z dwóch pól zostało jedno masywne pole rzeczywiste , natomiast początkowo bezmasowe trzy pola cechowania stały się masywne. Masa pola wynosi (38) (39) a masa pól cechowania Wzbudzeniami elementarnymi kwantowego pola są skalarne bozony Higgsa. Mechanizm Higgsa nie niszczy lokalnej symetrii cechowania względem grupy SU(2), lecz ją ukrywa (hidden symmetry).

39. 5. Model standardowy cząstek elementarnych Zakładamy, że wszystkie leptony i kwarki są cząstkami bezmasowymi. Mogą one występować jako cząstki lewoskrętne (L) i prawoskrętne (R) Cząstki lewoskrętne L spin wektor pędu Cząstki prawoskrętne R spin wektor pędu Oddziaływania słabe wykazują tylko cząstki L (lewoskrętne).

40. Wybieramy pola spinorowe dla wszystkich znanych cząstek o spinie s = ½. Leptony L gdzie r = 1, 2, 3 numeruje trzy rodziny cząstek. Leptony R Kwarki L Kwarki R

41. Przyjmujemy także istnienie skalarnego zespolonego pola Higgsa o postaci Gęstość Lagranżjanu dla powyższych bezmasowych pól ma postać (40) gdzie to gęstość lagranżjanu pola Higgsa dana wzorem (27), a

42. (41) opisuje sprzężenie pól leptonów i kwarków z polem Higgsa, gdzie zespolone macierze to tzw. macierze stałych Yukawy. Gęstość Lagranżjanu (40) stanowi fundament modelu standardowego (Standard Model – SM) cząstek elementarnych. Jest on niezmienniczy względem globalnych transformacji cechowania tworzących grupę (42)

43. Następnie wykonujemy 3 kroki: 1. Żądamy aby gęstość lagranżjanu (40) była niezmiennicza względem lokalnych transformacji cechowania tworzących grupę (42). Stąd otrzymujemy: (43)

44. gdzie (44) to gęstość lagranżjanu Higgsa oraz to bezmasowe pola cechowania.

45. 2. Zastosowanie mechanizmu Higgsa, co powoduje nadanie masy leptonom posiadającym ładunek elektryczny, wszystkim kwarkom i bozonom przenoszącym oddziaływania słabe. 3. Wykonanie procedury drugiego kwantowania. Pole Higgsa powoduje, że SM jest renormalizowalną kwantową teorią pola, co udowodnili holenderscy fizycy Gerardus ‘t Hooft i Martinus Veltman w 1971 roku.

46. Podsumowanie SM obejmuje wszystko, co aktualnie wiemy o podstawowych właściwościach materii. Opisuje on setki obserwowanych cząstek i ich oddziaływań za pomocą niewielu składników: sześciu leptonów i sześciu kwarków. Każdy lepton czy kwark ma antycząstkę o tej samej masie, lecz z przeciwnymi znakami niektórych liczb kwantowych, na przykład ładunku elektrycznego. SM opisuje trzy rodzaje oddziaływań między cząstkami: oddziaływania elektromagnetyczne, słabe i silne. Oddziaływania silne wiążą kwarki, których nigdy nie zaobserwowano w stanie swobodnym, tworzące cząstki złożone takie jak protony czy neutrony. Oddziaływania słabe powodują niestabilności – na przykład powolne rozpady wszystkich cięższych leptonów i kwarków na lżejsze leptony i kwarki. SM stanowi wersję renormalizowalnej kwantowej teorii pola, w której oddziaływania uzyskuje się z warunku niezmienniczości gęstości langranżjanu względem lokalnych transformacji cechowania tworzących grupę Liego . Wszystkie oddziaływania przenoszą się przez bezmasowe bozony cechowania: fotony i gluony oraz przez masywne bozony cechowania: . W SM wszystkie cząstki uzyskują masę proporcjonalną do v (próżniowa wartość oczekiwana pola Higgsa) dzięki mechanizmowi Higgsa – sprzężeniu z polem skalarnym i złamaniu symetrii. Obliczenia pokazują, że zmiana v o kilka procent uniemożliwiałaby powstanie życia na Ziemi.

47. SM jest jedną z najważniejszych teorii współczesnej fizyki, sformułowaną w latach siedemdziesiątych XX wieku. SM, mimo że jest bardzo dobrze potwierdzony eksperymentalnie, nie jest w pełni satysfakcjonujący: z punktu widzenia teoretycznego: – zawiera bowiem 18 swobodnych parametrów, które należy wyznaczyć z danych doświadczalnych; – nie określa wartości mas cząstek elementarnych; – nie wyjaśnia niezerowych wartości mas neutrin (rozszerzony SM wyjaśniający ten fakt zawiera 28 swobodnych parametrów); – nie wyjaśnia równości ładunku elektrycznego protonu i elektronu; – SM zawiera trzy generacje cząstek (leptonów i kwarków). Atomy zbudowane są tylko z cząstek pierwszej generacji i SM daje spójny opis tej generacji. SM opisuje także wszystkie trzy generacje cząstek – ale nie wyjaśnia, dlaczego są akurat trzy;

48. oraz z punktu widzenia kosmologii: – nie wyjaśnia dlaczego wszechświat zbudowany jest tylko z materii, a nie także z antymaterii; – nie jest w stanie określić natury ciemnej materii, stanowiącej 23% wkład w całkowitą gęstość energii wszechświata; – nie tłumaczy istnienia we wszechświecie ciemnej energii, dającej 72% wkład w całkowitą gęstość energii wszechświata, interpretowanej jako stan fałszywej próżni.