Pontok, vonalak, arányok a háromszögben

Pontok, vonalak, arányok a háromszögben Katz Sándor Petőfi S. Ev Gimn. Bonyhád

I. Tétel Az AA1, BB1, CC1 Ceva szakaszok egy pontra illeszkednek. Tükrözzük az A1, B1, C1 pontokat rendre az Fa, Fb, Fc pontokra, így az , A2, B2, C2 pontokat kapjuk. C B2 A1 Fa Fb A2 B1 A B C1 C2 Fc

C B2 A1 A2 B1 A B C1 C2 I. Tétel bizonyítása Ekkor az AA2, BB2, CC2 szakaszok is egy pontra illeszkednek. Ceva tétel szerint A számlálók és nevezők helyet cserélnek. a-x y x b-y z c-z

Két feladat Igazoljuk, hogy a csúcsokat a szemközti érintési pontokkal összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek! Az elsőt a háromszög Gergonne- a másodikat Nagel-pontnak nevezzük. Az első állítás Ceva-tételből következik. Mivel AC1=BC2, ezért a második az I. tétel miatt igaz. C z N G A B x y C2 C1

Egy mértani hely Mi lesz az ABC háromszög AB oldalára írt téglalapok O középpontjainak mértani helye?

G F Sejtés: • A mértani hely az AB oldal F, és az mc magasság G felezőpontját összekötő FG szakasz

Bizonyítás C A CF súlyvonal felezi a PQ szakaszt is, ezért HK középvonal a téglalapban. FG súlyvonal a CTF háromszögben, ezért a CT-vel párhuzamos HK szakaszt is felezi, így O valóban a téglalap középpontja G H Q P O A K B F T

Egy új nevezetes pont A magasságpont felező-pontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek. (L) Ez egyszerre mindhárom oldalra rajzolt téglalapnak középpontja C Fa Fb Gc L Ga Gb Fc B A

Első bizonyítás L-re C Legyen Tc’Fc= TcFc . I. Tétel szerint CTc’, ATa’, BTb’ egy pontra illeszkednek. Az S középpontú -1/2 arányú hasonlóság ezeket a szakaszokat rendre az FCGc, FaGa, FbGb szakaszokba visz át, így ezek is egy pontra illeszkednek Tb’ Ta’ Fa Gc Fb Ta S Tb Fc Tc B A Tc’

Megjegyzés Az előző bizonyításban nem használtuk fel, a magasságvonalaknak más tulajdonágát, csak azt, hogy egy pontra illeszkednek. Ezért tetszőleges Ceva-vonalakra igaz, hogy felezőpontjaikat összekötve a szemközti oldal felezőpontjával, az összekötő szakaszok egy pontra illeszkednek.

Második bizonyítás arra, hogy létezik olyan L pont, amely egyszerre három téglalapnak középpontja Tekintsük két mértani hely közös L metszéspontját! Ez az L pont egy AC és egy BC oldalra írt téglalap középpontja. Megmutatjuk, hogy L egy AB oldalra írt téglalapnak is középpontja. C Fa Fb L Ga Gb B A

A BC oldal L-re vonatkozó tükörképe P-ben és Q-ban metszi az AC és AB oldalt. P és Q vetülete BC-n legyen S és R. PQRS L középpontú téglalap. Ugyanígy kapjuk az L középpontú RUPV téglalapot, és így UV=QS=PR. Ezért VSUQ is L középpontú téglalap, és P,Q, U, R, S, V egy L középpontú körön van. C V S R L P A B Q U

L egy tulajdonsága α és PUS  merőleges szárú szögek, ezért egyenlők. Ugyanígy a UPS =β ,ezért USP∆~ABC ∆. Így AB:BC:CA=US:SP:PU= =LX:LY:LZ. Tehát az L pont oldalaktól mért távolságainak aránya L(a,b,c) =a:b:c. C a V S X b β R Y L P α β α Z A B Q U c

PR egy tulajdonsága Az SRP ésSUP szögek PS ívhez tartoznak, ezért SRP=α.Mivel PCR=, ezért CPR=β, és CPR∆~ABC∆ Az ilyen egyenest, amely az a oldallal α,b-velβ szöget zár be, AB-vel antiparalel egyenesnek nevezzük. C  a V S b α R L β P α β α A B Q U

II. tétel • Ha AA1, BB1, CC1 Ceva-egyenesek, és mindegyiket tükrözzük a velük egy csúcsból induló szögfelezőre, akkor a tükörképek is egy pontra illeszkednek. C B2 A1 A2 B1 A B C1 C2

Bizonyítás A CC1 szakasz (félegyenes) azon P pontok halmaza, amelyeknek az a és b oldaltól mért távolságának aránya P(a,b)=x:yegy adott érték. A CC2 tükörkép pedig azon Q pontoké, amelyekre C y’ x’ a Q b f x y P A B C1 C2

Vegyük fel az CC1 és BB1 szakaszokat, amelyek P metszéspontjának a, b, c oldalaktól mért távolsága x, y, z. Tükrözzük CC1-et és BB1-et a szögfelezőre. CC2 és BB2 Q metszéspontjának oldalaktól mért aránya C B1 P x y a b z B2 Q A B C1 C2 c

Vegyük fel a P-re illeszkedő AA1 szakaszt, amely bármely pontjának a b és c oldaltól mért távolságaránya y:z. Tükrözzük AA1-et az A-ból induló szögfelezőre, a tükörkép AA2. AA2 azon pontok halmaza, amelyeknek a b és c oldaltól mért távolságaránya . Q-ra ez teljesül, tehát Q illeszkedik AA2-re. C A1 B1 P x y a b B2 z A2 Q A B C1 C2 c

II. tétel következményei Tükrözzük a súlyvonalakat az azonos csúcsból induló szögfelezőre! Az így kapott egyeneseket a háromszög szimmediánjainak nevezzük. A II. tétel szerint a szimediá-nok egy pontra illeszkednek. Ez a pont a háromszög Lemoine-pontja. L

A szimedián tulajdonságai Az FAC és FAB háromszög területe egyenlő ax/2=by/2 . Ebből Így a CG szimmedián bármely pontjának az a és b oldalaktól mért távolságának aránya a:b. Következmény: S(a,b,c) = L(a,b,c)= a : b : c. Ezért L azonos a „téglalapos” L-lel. C a b y x B F G A

A szimmedián egy tulajdonsága Ha G(a,b)=a:b, akkor GK=ka és GH= kb. Ebből is következik, Ceva tétel szerint, hogy a szimmediánok egy pontra illeszkednek: C a b K ka kb H β α B G A

Új pont származtatása a magasságvonalakból C Ha a magasságvonalakat tükrözzük a szögfelezőkre, akkor szintén egy K pontra illeszkedő egyeneseket kapunk. CK és CB egyaránt 90°-α szöget zár be a BC oldallal CK=KB, tehát K illeszkedik az fBColdalfelező merőlegesre. Ugyanígy fAC-re és fAB- re is, tehát K a háromszög köré írt középpontja. 90°-α fBC K 90°-α M α A B

Milyen arány tartozik K-hoz és M-hez? C KF=Rcosα, ugyanígy KG=Rcos β, KH=Rcos . Tehát K(a,b,c)=(cos α :cos β : cos ). II. tétel szerint : (Igazoljuk ezt közvetlenül is!) Vajon mely ponthoz tartozik (sin α:sin β : sin ), ill. (1/sin α : 1/sin β : 1/sin )arány? Mely ponthoz tartozik (1:1:1)arány? 90°-α R fBC G K F α R M α A B H 90°-α

Feladat C Az ABC háromszög talpponti háromszöge A’B’C’. Mutassuk meg, hogy az ábra szerint berajzolt AA1, BB1, CC1 egyenesek egy pontra illeszkednek. A’ C1 B’ B1 A1 C’ B A

Ismét az antiparalel egyenes C ABA’B’ húrnégyszög, ezért B’A’C =α, és így B’A’ antiparalel szakasz AB-vel. Ha AB-t tükrözöm f-ra, akkor antiparalel szakaszt kapok és C középpontú hasonlóággal ez bármely más antiparalel szakaszba átvihető. Ennek inverze a CC1 egyenest a CC2 egyenesbe viszi át, az ilyenekről viszont már meg-mutattuk, hogy a Gergonne pontban metszik egymást. α A’ C1 B’ α α C’ B C2 A f

Irodalom: Surányi László: A háromszög kevésbé ismert nevezetes pontjairól I-II. KöMaL 1984. évi 7. és 8/9. szám Gerőcs László: A háromszög egy nevezetes vonaláról A Matematika Tanítása1993. év 2. szám

Pontok, vonalak, arányok a háromszögben