Teia do Saber

1. Teia do Saber

2. Conceitos Gerenciais • Nome: Moacir de Sousa Prado • Formação: Engenheiro formado em 1969 (35 anos) • Área: Aeronáutica - Aeronaves • Experiência: Mais de 30 anos com alta tecnologia (CTA/EMBRAER) • Mais de 25 anos no ensino • A partir de 1997 dedicação tempo integral na UNIVAP • Aumento da preocupação pedagógica • Hoje estou virando pedagogo • Função: Coordenador do Curso de Engenharia de Computação

3. Maior problema que estou sentindo no meu trabalho: • Mudar o foco do “ensinar” para o “aprender” • Ensinar é importante (aula estruturada, agradável, ...); • Aprender é mais importante. • Como estou agindo: • Mudando os objetivos dos planos de ensino; • Chamando atenção para a interdisciplinaridade; • Aquilo que está escrito deve ser aplicado.

4. Ensino • Meu ponto de vista, como cidadão brasileiro, para o ensino fundamental: • 80% dos recursos devem estar centrados no aprendizado da linguagem e da matemática • 20% dos recursos devem estar centrados em outras áreas: • estudos sociais • história e geografia • etc. • No ensino médio, estes percentuais devem variar um pouco • entre 60% e 70% para matemática e linguagens • entre 30% e 40% para outras áreas

5. No final da palestra, ou de nossa conversa, espera-se que os ouvintes: 1 Sejam capazes de aproveitar a experiência pedagógica de um colega; 2 Entendam como ele vê o ensino de matemática e, especificamente, sistemas de equações lineares para modelamento de sistemas; 3 Rastreiem a evolução da disciplina matemática, desde o surgimento do conceito de número, até o conceito de equações; 4 Entendam a importância do conceito “número abstrato”, da descoberta do “zero” e dos sistemas de numeração; 5 Visualizem as extensões do conceito de número; 6 Visualizem, numa metáfora, o conceito de equação e sistema de equações; 7 Entendam que a partir do mundo físico se criou um “mundo” do simbólico; 8 Entendam a importância de uma notação precisa e eficiente; 9 Valorizem a notação matricial para sistemas de equações lineares; 10 Tenham conhecimento dealgumas aplicações de sistemas de equações lineares.

6. Nossa Conversa • O assunto desta “palestra” é matemática: • Modelamento de problemas utilizando sistemas de equações lineares. • Constata-se que 75% ou mais de todos os modelos matemáticos caem em sistemas de equações lineares; • Modelo é a descrição simplificada de alguma coisa, sendo composto de símbolos organizados de acordo com alguma convenção e cuja finalidade é permitir o raciocínio sobre a entidade modelada. • O modelo permite: • visualizar o sistema, como ele é ou como ele será; • especificar sua estrutura e/ou seu comportamento; • guiar a “construção” do sistema; • documentar decisões tomadas.

7. Nossa conversa • Os benefícios da utilização de um modelo aumentam com o aumento da complexidade da entidade modelada; • Os modelos delimitam o que se está estudando e permite focalizar pontos específicos; • Os modelos ampliam a inteligência humana; • Princípios básicos: • A escolha de um modelo tem forte influência na forma de atacar um problema e na definição de sua solução; • Os modelos podem utilizar diversos níveis de precisão; • Os melhores modelos estão relacionados com a realidade; • A simplificação de um modelo não deve esconder detalhes importantes; • O modelo é diferente do mundo real (é abstração). • Um modelo único pode não ser suficiente.

8. Origem da Matemática • Primórdios • Desde o aparecimento do homem na Terra, ele tem recorrido à matemática, contando, medindo e calculando, mesmo no período em que seu espírito não tinha conhecimento de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos, convenções e notações. • Estava surgindo o raciocínio consciente. • Surgiu a necessidade de manusear “grandes” quantidades de objetos semelhantes. • A conseqüência foi o surgimento dos primeiros números visíveis. Este período constituiu a “Primeira Ordem” para Alvin Toffler. • O homem passou de coletor para criador (gado, ovelhas, ..), para plantador, fixando-se em um lugar, perdendo a característica nômade. • Este número “visível” não é ainda o “número conceitual”.

9. Origem da Matemática • Devido à quantidade crescente de objetos manuseados, surgiu a necessidade de contar. Um conjunto auxiliar foi utilizado: dedos, pedrinhas, nós em cordas, etc. • O número conceitual, um dos maiores feitos de humanidade, estava surgindo. • Os dedos foram instrumentos maravilhosos para contar pois tinham grande capacidade, permitia ordenação, estava disponível dia e noite e em toda parte. Foi o primeiro medidor. Ele relacionou dois conjuntos que nada tinham em comum. • Os números constituem o elo espiritual entre dois conjuntos. • O “número concreto” perde seu significado físico, sendo “desligado” dos objetos (ovelhas, ovos ou garrafas). Ele inicia seu domínio absoluto de entidade abstrata. • Iniciam-se as operações de contagem, soma (união de conjuntos), etc.

10. Origem da Matemática • Ocorre uma estruturação dos números. O princípio ordenador/estruturador que predominou foi o sistema de “base” 10. • A linguagem falada ou natural não tem a precisão da linguagem matemática escrita. • A linguagem matemática escrita cria ordem, tem clareza, pode ser revisada posteriormente e é durável. • Vários sistemas de numeração e várias representações foram utilizados. Exemplo: • um : I • dois : II • ... • cinco : IIII • A simbologia da numeração romana (I, V, VII, IX, ...) resolveu parte do problema de modo um pouco mais brilhante. No entanto, era um sistema tosco, pesado, sem forma e sem elegância.

11. Origem da Matemática • Uma das maiores descobertas da humanidade foi o ZERO que representa o NADA, a AUSÊNCIA. É uma entidade abstrata. • Hoje ainda se utiliza os seguintes sistemas de numeração: • decimal • duodecimal • binário • octal • O sistema binário tem simplicidade máxima. Utiliza apenas dois símbolos: 0 e 1. • A evolução levou ao entendimento conceitual do número puro (sem peso material) e da numeração falada e escrita. • Neste ponto iniciou-se a tarefa do matemático. • Cabe realçar que a linguagem matemática é mais simples, mais clara e mais compreensível do que qualquer outra linguagem de comunicação. • É muito mais eficaz e eficiente do que a linguagem natural.

12. Extensão do conceito de número • Números naturais: 1, 2, 3, ... • Números inteiros: 0, 1, 2, 3, ... • Números negativos: ...-5, -4, -3, -2, -1, ... • Números racionais: representados por uma relação de números : a/b • Números irracionais: , , ... • Números complexos: a + bi • Operadores relacionais: >, <, , ,  1 2 Vol=1 para se obter Vol=2 1 2 1 2

13. Sistema de Equações • Uma equação modela uma balança antiga de feira • Considere que vamos “pesar” cebolas (determinar a massa) • 5C + 1B = 500gr + 1B • Observe que estamos comparando 2 coisas diferentes: • C = Cebolas e pesos de 500 gramas (massa conhecida) • Tirando-se as bacias de cada lado da equação, o equilíbrio não é modificado • 5C = 500 • Considerando-se as cebolas com tamanhos iguais, chega-se à conclusão de que cada uma tem massa de 100gr. 250 250

14. Sistema de Equações • Duas equações • Na mesma balança agora colocam-se cebolas e pimentões • 4C + 3P = 500 • 3C + 2P = 400 • Portanto • (representação algébrica) (Representação Matricial) (Representação Matricial Condensada) • 4C + 3P = 550 4 3 C 550 4 3 550 • 3C + 2P = 400 3 2 * P = 400 3 2 400 50 200 250 250 100 50

15. Resolvendo 4 3 550 L1 / 4 1 ¾ 550/4 1 ¾ 550/4 3 2 400 3 2 400 L2-3 * L1 0 -1/4 -50/4 L2/(-1/4) 1 ¾ 554/4 L1 – ¾ * L2 1 0 100 0 1 50 0 1 50 Voltando à forma matricial normal (ou não condensada): 1 0 C 100 0 1 P 50 Retornando à forma algébrica C = 100 P = 50 x =

16. Desconectando-se do mundo físico e ficando no mundo simbólico • No mundo simbólico, geralmente adotam-se as convenções: • Primeiras letras do alfabeto, representam dados do problema; • Últimas letras do alfabeto, representam grandezas desconhecidas • Uma equação geral • ax + b = c • Duas equações já com dados do problema • x + y = 62 • x – y = 2 • O processo de solução desta equação é simples, despretensioso embora elegante, sendo freqüentemente utilizado. Encontra-se o valor de x numa equação e substitui-se na outra: • x = 2 + y • Logo • (2 + y) = 62 2 + 2y = 62 2y = 62 -2 y = 30 x = 32 • Este processo de solução se adapta a um problema em particular. • Existem muitos métodos de solução, por exemplo, regra de Cramer.

17. Por que tanto formalismo na matemática? • Uma notação precisa e eficiente facilita os procedimentos matemáticos; • Utilização de símbolos • Estudar fórmulas é como escovar os dentes: executado todas as manhãs e todas as noites. No dentista o paciente descobre de maneira mais ou menos agradável a finalidade dessa obrigação cansativa e monótona.

18. Modelamento - Matrizes • Muitos sistemas físicos são freqüentemente modelados por sistemas de equações algébricas lineares. A tarefa mais comum é achar soluções para estas equações; • A notação matricial • Matriz m x m • Matriz linha (vetor) • Matriz coluna (vetor) • O determinante de uma matriz; • A regra de Cramer (sistemas pequenos n<4); • Matriz transposta e matriz unitária; • Operações com matrizes (soma, subtração e multiplicação); • Não se faz divisão (multiplica-se pela inversa) • Características e casos específicos: • Matriz singular • Matriz diagonal • Matriz hilbertianas

19. Num sistema de equações, quando o termo independente vale zero, tem-se um sistema homogêneo. Uma das soluções é chamada de trivial (tudo zero). Só existe outra solução se det A = 0. • A solução de sistema homogêneos leva ao trabalho em matrizes do tipo [ A - λI ]. Isto provoca o estudo de valores e vetores próprios. • Exemplos de sistemas: • x1 + 2x2 = 5 • 2x1 + 3x2 = 8 Sistema 2x2. Uma solução é o par ordenado (1,2) • x1 – x2 + x3 = 2 Sistema 2x3. Tem muitas soluções. Uma • 2x1 + x2 – x3 = 4 solução é a tripla (2,0,0). • x1 + x2 = 2 Sistema 3x2. Não tem solução. • x1 – x2 = 1 Existe incompatibilidade. • x1 = 4

20. Modelamento Engenharia elétrica Voltagem nos nós de um circuito elétrico (resistivo) O engenheiro eletrônico faz um “abracadabra” e obtém o modelo matemático (sistema de Equações lineares) -6 2 1 1 V1 0 3 -4 1 0 V2 0 3 2 -13 6 V3 -254 1 0 2 -3 V4 0 V1 = 25,80 Volts V2 = 31,75 Volts Da análise dos resultados, sabe-se que os V3 = 49,61 Volts resultados devem estar entre 0 Volts e 127 Volts. V4 = 41,67 Volts B 3Ω 3 127 Volts 3Ω 1Ω 2Ω 3Ω 4 1Ω 2Ω A 0 Volts 1Ω 1 x =

21. Modelamento Engenharia química Equilibrar uma equação química KMnO + H2SO4 + NaNO2  K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O        x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 O químico faz “abracadabra” e 1 0 0 -2 0 0 x1 0 1 0 0 0 -1 0 x2 0 4 4 2 -4 -4 -3 x3 1 0 2 0 0 0 0 x4 2 0 1 0 -1 -1 0 x5 0 0 0 1 0 0 -1 x6 0 Os resultados seriam: xi = [ 0,6667 1,000 1,6667 -0,3333 0,6667 1,6667 1] T Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3 xi = [ 2 3 5 1 2 9 3 ] T x =

22. Modelamento Pesquisa Operacional Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o número médio de carros que passam por hora. Ache a quantidade de veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar estes pontos na figura) Representação algébrica: x1 + 450 = x2 + 610 x2 + 520 = x3 + 480 x3 + 390 = x4 + 600 x4 + 640 = x1 + 310 Representação matricial: 1 -1 0 0 x1 160 0 1 -1 0 x2 -40 0 0 1 -1 x3 210 -1 0 0 1 x4 -330 450 310 610 x1 640 x4 x2 520 x3 600 x = 390 480

23. Modelamento Tem-se ainda uma representação condensada: 1 -1 0 0 160 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 -1 0 0 1 -330 Neste sistema de equações, uma equação não é independente.

24. Reorganizando as equações tem-se: 1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330 0 0 1 -1 210 0 1 -1 0 -40 0 1 -1 0 -40 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 0 0 1 -1 210 1 -1 0 0 160 1 -1 0 0 160 L4-L1 0 -1 0 1 -170 1 0 0 -1 330 1 0 0 -1 330 0 1 -1 0 -40 0 1 -1 0 -40 0 0 1 -1 210 0 0 1 -1 210 L4+L2 0 0 -1 1 -210 L4+L3 0 0 0 0 0 As equações 3 e 4 não são independentes. O sistema tem muitas soluções. O diagrama de fluxo de carros não contém informações suficientes para se achar uma solução. Se souber que x4 = 200, tem-se: x1 = 530 x2 = 370 x3 = 410 Sumiram todas as variáveis

25. Modelamento Lei de Hooke O alongamento de uma mola é proporcional à força aplicada à mesma. Mediu-se: alongamento (cm) força (N) 10 13 18 22 28 36 (y) (x) Para se determinar a curva que se ajusta a estes pontos, passa-se por um sistema de equações lineares com a forma (no caso acima vamos considerar reta): N Σx a Σx Σx Σx2 b Σxy Onde N: número de pontos Σx : soma dos valores Σx2 : soma dos quadrados dos valores Σxy : soma do produto x vezes y a,b : coeficientes da equação da reta y = a+bx x =

26. Modelamento Ajuste de curvas polinomiais de qualquer grau: y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Sempre se chega a um sistema de equações: N Σx Σx2 ... Σxn Σy Σx Σx2 Σx3 ... Σx n+1 Σxy Σx2 Σx3 Σx4 ... Σx n+2 Σx2y .... ... ... ... ... ... Σxn Σx n+1 Σx n+2 ... Σx 2n Σxny

27. Primeira competência para ensinar: • I – ORGANIZAR E DIRIGIR SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM • Conhecer o conteúdo e traduzi-lo em objetivos de aprendizagem; • Partir das representações dos alunos; • Considerar erros e obstáculos para o aprendizado; • Construir e planejar dispositivos e seqüências didáticas; • Envolver os alunos em atividades de pesquisa e em projetos.

28. Segunda competência para ensinar: • II – ADMINISTRAR A PROGRESSÃO DAS APRENDIZAGENS • Conceber e administrar situações-problemas ajustadas ao nível e às possibilidades dos alunos; • Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do ensino; • Estabelecer laços com teorias subjacentes às atividades de aprendizagem, utilizando uma abordagem formativa; • Fazer balanços periódicos de competências e tomar decisões de progressão.

29. Terceira competência para ensinar: • III – CONCEBER E FAZER EVOLUIR OS DISPOSITIVOS DE DIFERENCIAÇÃO • Administrar a heterogeneidade no âmbito de uma turma • A situação padrão não satisfaz a todos, pois os alunos não têm: • O mesmo nível de desenvolvimento • A mesma base anterior • Os mesmos interesses • Os mesmos recursos • Ensino considerando o grupo como uma única entidade é ineficaz; • Ensino individual é impraticável; • Reprovação é fator de homogeneização (mas...); • Enfrentar a heterogeneidade com grupos de trabalho; • Utilizar tarefas auto-corretivas. • Abrir e ampliar a gestão da classe • As restrições de tempo não permitem milagres; • Riscos: desorganização e desvios. • Apoio integrado e cooperação entre alunos.

30. Quarta competência para ensinar: • IV – ENVOLVER OS ALUNOS EM SUAS APRENDIZAGENS E EM SEU TRABALHO • Suscitar o desejo de aprender e a capacidade de auto-avaliação • criar e intensificar o desejo de aprender; • favorecer ou reforçar esta decisão. • Atividades opcionais de formação; • Definição de um projeto pessoal.

31. Quinta competência para ensinar: • V – TRABALHA EM EQUIPE • Elaborar um projeto em equipe. • Cuidado com pseudo-equipe! • Só trabalhar em equipe quando for mais eficaz; • Administrar crises ou conflitos interpessoais.