Comment une communauté virtuelle philosophique sur les mathématiques peut nous amener sur le terrain de la démocratie et

1. Comment une communauté virtuelle philosophique sur les mathématiques peut nous amener sur le terrain de la démocratie et de l’éthique Richard PallascioUniversité du Québec à Montréalpallascio.richard@uqam.ca Euler.Cyberscol.qc.ca/Pythagore/

2. Plan de la présentation: Introduction Dispositif didactique Philosophie sur les maths et éthique Philosophie sur les maths et démocratie Conclusion

3. Introduction Philosophie pour enfants Philosophie pour enfants sur les mathématiques L’Agora de Pythagore: une communauté virtuelle Philosophie sur les maths et éthique Philosophie sur les maths et démocratie Coopérative d’idées

4. L’Agora de Pythagore • Les élèves construisent leurs connaissances à travers des débats philosophiques menés sur des questions mathématiques • Les questions discutées proviennent des élèves eux-mêmes, mais sont inspirées de la culture mathématique et de son histoire • Les questions donnent lieu à diverses recherches dont les résultats sont mis en commun dans la discussion

5. L’Agora de Pythagore • Les élèves deviennent ainsi eux-mêmes des producteurs actifs de connaissances et de savoirs qui sont mis en partage • Les diverses capsules mises à la disposition des participants constituent à la fois des des savoirs«transmis» et le point de départ d’explorations nouvelles • Les élèves développent des connaissances en mathématiques, mais aussi une réflexion sur leurs propres processus d’apprentissage

6. L’Agora de Pythagore • Les élèves développent ainsi leur pensée critique et des habiletés d’argumentation et de négociation collective des savoirs.Ils développent par là des habiletéscognitives et métacognitives • Ils acquièrent aussi de façon concrète et ancrée une perception et une compréhension du caractère construit des mathématiques • L’échange virtuel est l’occasion d’un véritable partage d’idées dans un esprit fort semblable à celui qui anime les membres de communautés scientifques

7. http://euler.cyberscol.qc.ca/pythagore/

8. Dispositif didactique: • L’objectif est de permettre aux élèves de construire une argumentation au sujet de questions pertinentes • … afin qu’ils deviennent progressivement par là les «auteurs» de leurs connaissances • Les questions proviennent surtout des élèves- Le hasard existe-t-il? - Peut-on parler de beauté en mathématiques? • Les animateurs élaborent diverses capsules- historiques, mathématiques, philosophiques, pédagogiques...

9. Quelques exemples de capsules ...

14. Des dialogues autour de questions«philosophiques» de haut calibre ... La quatrième dimension existe-t-elle? Les animaux peuvent-ils compter? Certains nombres sont-ils plus utiles que d ’autres? La ligne droite est-elle vraiment le plus court chemin entre deux points? Y a-t-il des mathématiques dans la nature? Les mathématiques ont-elles été inventées ou découvertes? Peut-on construire un cube parfait?

15. Philosophie sur les mathématiques et éthique Critères de Lipman: - sensibilité au contexte - auto-correction - jugement critique Question : Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Sous-question : Doit-on faire plus de règlements pour mieux contrôler le travail des scientifiques ? Note: translation of dialogues by George Ghanotakis

16. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Bonne ou mauvaise invention? par le groupe A Bonjour! À notre avis, chaque invention a des points forts et des points faibles. Il est toujours possible qu'on utilise une bonne invention à des mauvaises fins. Einstein n'était pas un savant fou. Son E=mc2 a été une bonne découverte, bien que ceci a permis de faire la bombe atomique. Good or bad invention? By group A Hi! In our view, every invention has both strong and week points. It is always possible that we use a good invention to evil ends. Einstein wasn't a mad scientist. His E=mc2 was a good discovery, although it lead to the production of the atomic bomb.

17. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Les recherches en chimie ont permis d'utiliser des drogues à petites doses pour lutter contre des maladies. Cela n'empêche pas certains individus d'en prendre en grande quantité et de devenir drogués. Les gênes sont une bonne découverte: elles permettent de sauver des bébés malades du coeur, mais certains s'en servent pour de moins bonnes idées. The research done in chemistry has lead to the use of drugs, in small doses, to fight disease. This doesn’t prevent some people to take large doses of drugs and become drug addicts. The discovery of genes was useful… It helped to cure sick babies. But again, some people do not always make use of this discovery for good ends.

18. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Découverte ou invention, par le groupe B Bonjour les jeunes philosophes. Nous avons lu votre message sur les inventions et les découvertes. Nous nous demandons si vous faites une différence entre une invention et une découverte. Nous aimerions que vous précisiez cette différence, s'il y en a une. Avez -vous des exemples à donner pour préciser votre pensée? Merci! Discovery or invention, by Group B Greetings, young philosophers! We read your message about inventions and discoveries. We are wondering if you make a difference between an invention and a discovery. We would like you to clarify this difference, if you find there is a difference. Can you give examples to clarify your thinking?

19. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Précision, par le groupe A Bonjour les amis (du groupe B)! Dans notre message du 11 novembre, nous avons dit: «Découvrir, c'est trouver quelque chose qui est déjà dans la nature; inventer, c'est produire quelque chose de nouveau». Par exemple, l'invention du télescope peut servir à découvrir des galaxies. Clarification, By group A Hi friends of Group B! In our message of November 11th, we said: “Discovering is finding something out that is already there in nature. Inventing is producing something new”. For example, inventing a telescope can serve to discover galaxies.

20. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Donc, dans notre message du 11 février, nous aurions dû dire que E=mc2 a été une bonne invention, bien que cette formule a dû demander plusieurs découvertes, comme l'énergie. On peut dire qu'en sciences, les découvertes et les inventions sont toutes les deux utiles à tour de rôle. Qu'en pensez-vous? Therefore, in our message of November 11th, we might say that E=mc2 is a good invention, though the formula required many discoveries, such as the discovery of energy. We can say that in science discoveries and inventions are both useful for each other. What do you think?

21. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Question Février, par le groupe C Bonjour! Nous reconnaissons que les inventions peuvent servir à de bonnes ou à de mauvaises fins. Mais certains soulignent que le problème se situe au niveau des conséquences... On pense à des sujets comme la destruction de la couche d'ozone, le bogue informatique de l'an 2000, la propagation de virus qui proviennent de l'action des humains. February question, by group C Hi! We recognize that invention can be used for good or evil ends. Bur some people say that the problem lies at the level of consequences. .. We are thinking about subjects like the destruction of the ozone layer, the computer bug of the year 2000, the spread of viruses of human origin.

22. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? On crée de nouvelles inventions mais on ne peut pas en évaluer avec exactitude les conséquences et on en perd le contrôle. Ne devrait-on pas faire des règlements pour le travail des scientifiques pour mieux contrôler leurs travaux de recherches? Sinon nous serons de plus en plus en danger... We create new inventions but we cannot evaluate with precision the consequences and we lose control. Shouldn’t we make rules and regulations for controlling scientific research or what scientists are working on? Otherwise, we would face increasingly dangers…

23. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Bien et mal, par le groupe D Bonjour, nous avons réfléchi à la question du mois de février. Oui les mathématiques et les sciences peuvent conduire l’humanité à sa perte car elles permettent de construire des machines de guerre et des bombes nucléaires. Les sous-marins permettent de découvrir des épaves comme celle du Titanic. Good and evil, by group D Hi! We thought about the question raised in the month of February. Yes, mathematics and science can lead to the destruction of the human race because they make it possible to produce nuclear weapons. Submarines make it possible to discover shipwrecks like the Titanic.

24. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Ils peuvent aussi explorer le monde aquatique mais ils transportent des torpilles avec lesquelles ils coulent les bateaux et ils lancent des missiles chargés de têtes nucléaires qui permettent de détruire des régions entières. Grâce aux mathématiques et aux sciences on a réussi à reproduire deux brebis identiques par clonage. Si l’on faisait de même avec les humains ça ne serait pas bien car tout le monde penserait la même chose. They can also help in exploring the aquatic world but they carry torpedoes as well to sink ships and launch missiles with nuclear heads which can destroy whole regions. Thanks to mathematics and science we have succeeded in reproducing identical goats by cloning. If we did the same with humans, this would not be good. Because, everybody would think alike.

25. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Engins dangereux, par le groupe B On est d'accord avec vous (du groupe D) à propos des engins dangereux. Nous pensons que nous devrons avoir des limites sur ces engins: réduire la production et limiter les expériences. Si on continue comme on est en ce moment, les risques de conséquences graves seront plus grands. Dangerous engines, by group B We are in agreement with you (group D) concerning dangerous engines. We believe that we should control the production of such engines putting limits on experimentation. If we continue to carry on with what we are doing we run the risk of doing more harm to humanity.

26. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Alors nous croyons que oui, les découvertes mathématiques et scientifiques peuvent mener l'humanité à sa perte, s’il n'y a pas de contrôle sur les expériences d'engins dangereux et sur les personnes qui les utilisent. Therefore, we believe that Yes the discoveries in mathematics and science could lead to the destruction of the human race if there are no controls on doing experiments with dangerous engines and on the people who use these machines.

27. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Plus de règlements? par le groupe A Bonjour! Doit-on faire plus de règlements pour mieux contrôler le travail des scientifiques, par exemple, ceux qui travaillent sur le clonage? D'abord, on ne peut pas dire que les éventuels clones penseraient tous pareils: les jumeaux identiques, qui ont les mêmes gênes, ne votent pas pareil tout le temps. Need more regulations? By group A Hi! Do we need to have more regulations to better control the work of scientists, for example, those who carry research on cloning? Firstly, we can’t say that the clones, we would eventually create, would make all people think the same. Identical twins, those who have the same genetic make up, don’t all vote the same way.

28. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? D'un autre côté, on ne peut pas avoir la permission de cloner de la part du nouveau clone avant de le cloner: cela devrait donc être interdit. Enfin, nous ne sommes pas sûrs qu'il faut ajouter des règlements à ceux qui existent actuellement: les scientifiques ont besoin de liberté pour poursuivre leurs recherches. On the other hand, we can’t ask the permission of the future clones before we clone them. So this must be forbidden. Finally, we can’t be sure it is a good idea that we should add new regulations. Scientists need freedom to carry their research.

29. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Le clonage, par le groupe D Bonjour. Nous nous demandons si l’on clonait une brebis, pourrait-on la manger sans attraper de maladie? Si on clonait plusieurs Hitler ou Mussolini, ils auraient les mêmes ambitions et l’humanité irait à sa perte. Cloning, by group D Hi! We are wondering if we would catch a disease if we ate a goat that was cloned.We think that if we cloned many Hitlers or Mussolinis, they would all have similar ambitions and would bring about the end of the world.

30. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Si l’on clonait plusieurs mêmes personnes, ils auraient les mêmes idées donc la société n’avancerait plus. Nous pensons aussi qu’il faut des règlements pour que les savants se limitent et ne fassent n’importe quoi. If we cloned many similar people, they would all have the same ideas and there would be no more advances in society. We think that we should have regulations to prevent scientists from doing anything they wish.

31. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Pas de gêne de la pensée! par le groupe A Bonjour! Nous ne sommes pas d'accord avec les craintes exprimées au sujet des clones. Il n'y a pas de chromosome concernant le comment penser. Qui dit qu'un clone de Hitler aurait les mêmes ambitions que lui? Les gênes ne concernent que les caractères superficiels: voix, couleur des yeux... No thought gene, by group A Hi! We disagree with the fears you express on the subject of cloning. There are no chromosomes of how we think. Who said that a clone of Hitler would have the same ambitions as Hitler? Genes only affect superficial human traits such as voice, the color of eyes…

32. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Nos idées viennnent aussi des gens avec qui nous vivons. Or, un clone ne vit pas avec les mêmes personnes... Quant aux maladies, celles qui sont génétiques (ex: asthme) se retrouveraient chez le clone, mais pas celles qui viennent de notre environnement (ex: grippe). Par contre, on n'a pas trouvé d'avantages à cloner des êtres humains. Our ideas come from the people we with. However, a clone does not live with the same people… As to diseases, those that are genetic in origin ( for example asthma) would be found in the clone, but not those diseases that are caused by the environment ( ex. influenza) On the other hand , we have found no advantages to cloning human beings.

33. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Des règlements, oui, mais pas plus! par le groupe A Bonjour les philosophes (du groupe D)! Juste une précision, car nous pensons avoir été mal compris. Nous aussi, nous sommes d'accord pour que la recherche scientifique soit contrôlée par des règlements. Mais nous nous interrogeons concernant l'addition de règlements supplémentaires. Regulations, yes but no more! By group A Greetings, philosophers of group D! Just a clarification, because we think we have been misunderstood. We, too, are in agreement that scientific research should be controlled by rules and regulations. . But we wonder about having additional regulations.

34. Les découvertes scientifiques et mathématiques peuvent-elles conduire l'humanité à sa perte? Nous pensons que trop de règlements pourraient rendre la recherche "plate". Enfin, nous nous sommes posé une question: si on peut cloner un animal, ne pourrait-on pas cloner des organes humains, comme un foie ou un coeur, qui pourraient être transplantés pour sauver des vies? We think that too many regulations would to research that is not interesting. Finally, we asked ourselves the following question: if we could clone an animal, could we not clone also human organs, like the liver or a heart, which could be transplanted to save lives?

35. Philosophie sur les mathématiques et démocratie Origine de la question: construction d’un triangle à partir de trois segments, à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas: _______________ ___________________ ________________________ But: utiliser le compas, non pas comme traceur de cercles, mais comme rapporteur de distances

36. Philosophie sur les mathématiques et démocratie Traçons un cercle de centre A et de rayon AB Traçons un cercle de centre B et de rayon AB Ces deux cercles se coupent en E et F La droite EF est la médiatrice du segment AB L’intersection M de la droite EF et du segment AB est le point milieu M de AB

37. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Droite et cercle, par le groupe A Nous avons traçé avec seulement une règle non graduée et un compas une perpendiculaire à une droite et qui passe par un point extérieur à cette droite, et une parallèle à cette droite et qui passe par ce même point. Straight line and circle, by group A We have drawn with only a non graduated ruler and a compass a perpendicular to a straight line which goes through an exterior point to the straight line and a parallel to this straight line which passes through the same point.

38. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Construire des figures géométriques avec une règle et un compas devait servir dans l’Antiquité à faire des constructions à angle droit (ex: des murs de maison), à subdiviser également des terres à cultiver ou des tablettes d’argile, et à résoudre des problèmes mathématiques. Le cercle traçé par un compas et la droite traçée par une règle sont des figures parfaitement symétriques. Constructing geometrical figures with a ruler and a compass was useful in Ancient times in order to make buildings at a right angle (ex. The walls of a house), to subdivide land for farming purposes, build clay shelves and also solve mathematical problems. The circle that is drawn with a compass and a straight line that is drawn with a ruler are perfectly symmetrical figures.

39. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Les géomètres, par le groupe B Si on recule dans le temps, il y a environ 6000 ans, les circonstances encore difficiles à préciser, les premières grandes cités humaines s'érigèrent en Égypte. L'arpentage et l'architecture connurent les plus grands moments de cette époque. À peine sortis de la préhistoire, Égyptiens et autres réalisèrent de formidables inventions, la roue, la voile, la charrue etc. Notre professeure et nous avons expérimenté les outils d'un grand géomètre, c'est-à-dire à l'aide d'un compas et d'une règle à araser, on devait réaliser parfaitement un triangle isocèle, des murs perpendiculaires, un triangle avec un coin bien droit... Geometers, by group B If we go back in time, about 6000 years ago, it is difficult to be too precise, the first great cities were erected in Egypt. Land surveying and architecture were the outstanding achievements of this era. As they emerged from prehistoric times, the Egyptian people began producing amazing inventions, such as the wheel, the plow etc. With the help of our teacher we experimented with the tools that a great geometer would use, that is with a compass and a ruler to level. We succeeded in making a perfectly isosceles triangle, perfectly perpendicular walls, a triangle with a right angle...

40. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Nous pouvons admettre que l'expérience du triangle équilatéral n'a pas été de tout repos. Beaucoup d'élèves n'ont pas réussi à le tracer correctement. Nous savons maintenant que pour devenir un grand géomètre il faut beaucoup de patience, de la précision; le travail dans une équipe consistait à construire un mur bien droit, nous devions savoir tracer facilement une ligne perpendiculaire à une autre déjà dessinée... We must admit that it wasn’t easy to draw the equilateral triangle! Few students managed to draw it correctly. We know now that in order to become a great geometer one needs a lot of patience and of precision. Working in a team involved constructing a wall which is perfectly straight. It required the ability to draw a straight line that is perpendicular to another one.

41. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Subdiviser, par le groupe A Avec la règle non graduée et le compas, on a appris comment diviser un segment en un certain nombre de parties égales. C’est une technique inventée par Monsieur Thalès de Milet, il y a plus de 2600 ans. C’est très pratique. Subdividing, by group A With a non graduated ruler and a compass we learned how to divide a segment in a number of equal parts. This a technique invented by a gentleman by the name of Thales of Miletus, more than 2600 years ago. It is very useful.

42. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Supposons le segment AB que l’on veut diviser en 3 parties égales. À partir du point A, on trace une ligne droite qui fait un angle avec le segment AB. À partir du point A, on reporte 3 distances égales avec le compas. On relie le 3e point au point B, disons CB. À partir des deux autres marques du compas, on trace les parallèles à CB. Ces parallèles découpent le segment AB en 3 parties égales! Let us suppose we have segment AB which we want to subdivide in 3 equal parts. From a given point A, draw a straight line which makes a right angle with segment AB. From point A we draw 3 equal distances with the compass. We then connect the 3rd point to point B, let us say CB. From the other two marks of the compass we draw the parallels to CB. These parallel lines would divide the segment AB in three equal parts.

43. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Cercle et triangle, par le groupe C Bonjour, Nous nous appelons les “calculateurs de …”. Voici quelques réflexions sur les points des articles déjà parus. - Les axes de symétrie d’un cercle sont les diamètres; il y en a une infinité. Circle and triangle, by group C Hi! We are called “the calculators of…” Here are some of our thoughts on the points raised in the published articles. - The axes of symmetry are the diameters. They is an infinity.

44. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? - Pour construire un triangle équilatéral, on trace un cercle, on reporte la mesure du rayon sur le cercle, on obtient 6 points et on relie ensuite un point sur deux. Pour mieux comprendre les questions nous allons travailler avec un géomètre du cadastre. - To construct an equilateral triangle we draw a circle and report the measure of the ray on the circle. We thus obtain six points, and then connect one point in two. To better understand the questions we are going to work with a geometer of a cadastre.

45. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Cercle autour du triangle, par le groupe A Bonjour! Nous avons essayé de faire votre construction que vous nous avez mentionné dans votre message et nous avons réussi. Aussi nous avons suivi le contraire de vos opérations: Circle around a triangle, by group A Hi! We tried to do the construction you mentioned in your message and we have succeeded. But, we proceeded in the opposite way.

46. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? - nous avons construit un triangle équilatéral - nous avons construit les médiatrices du triangle équilatéral (2 au minimum) - nous avons pris l’intersection des médiatrices pour tracer notre cercle. • - we have constructed an equilateral triangle • - we have constructed the medians of the equilateral triangle ( minimum 2) • - we have then taken the intersection of the medians to draw the circle.

47. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? La perfection, par le groupe A Nous avons construit un pentagone régulier à l'aide de cercles, ce qui nous a amenés à parler de la perfection de la droite et du cercle. Nous pensons que les critères de perfection (la symétrie, le goût, le point de vue...) dépendent des personnes. La perfection est relative à chacun. Le critère d'unanimité est difficile à obtenir. Perfection, by group A We have constructed a regular pentagon using circles, which lead us to talk about the perfection of a straight line and of a circle. We think that the criteria of perfection (symmetry, taste, point of view..) are subjective. Perfection is relative to each person. The criterion of unanimity is difficult to reach.

48. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? La perfection (réponse), par le groupe D Après avoir discuté, nous avons tiré comme conclusion que la perfection est très difficile à atteindre... Mais nous nous en rapprochons de plus en plus grâce à la technologie. Si on était parfait, cela enlèverait du sens à la vie. Perfection, (response), by group D After discussing the subject, we have come to the conclusion that perfection is very difficult to attain. But we increasingly approach perfection, thanks to technology. If everybody were perfect, life would less meaningful.

49. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? La perfection (réponse à la réponse), par le groupe A Bonjour! La perfection existe pour certaines personnes et pas pour d’autres. Elle enlève l’esprit de création. Des parties parfaites n’entraînent pas nécessairement un tout parfait. Perfection (responding to the response of group D), by group A Hi! Perfection exists for some people but not for others. It takes away from the creative spirit. Perfect parts do not necessarily entail a perfect whole.

50. Quelles figures géométriques peut-on construire seulement avec une règle non graduée et un compas? Et pourquoi les premiers philosophes et mathématiciens de l'Antiquité se sont-ils intéressés à cette question? Figure parfaite, par le groupe C Bonjour ! Nous avons réussi à construire une perpendiculaire à une droite sans équerre . Nous avons également réussi à subdiviser le segment en trois parties égales grâce à 3 lignes parallèles. Nous avons aussi travaillé avec un géomètre du cadastre et vous pourrez bientôt voir les résultats sur notre site. The perfect figure, by group C Hi! We have succeeded in constructing a perpendicular to a straight line without a square. We also managed to subdivide the segment in three equal parts using three parallel lines. We worked too with a surveying geometer and you can see the results soon on our website.