Analyse fractale des canaux aléatoires de propagation dans les transmissions ionosphériques

1. Analyse fractale des canaux aléatoires de propagation dans les transmissions ionosphériques • Introduction • Dimension fractale de la fonction de diffusion. • Objets et dimension fractals • Développement 3D de la méthode BCM (box-counting-method). • Dimension des fonctions de diffusion; critères de mesures et résultats. • Analyse multifractale par la Méthode des Maxima de la Transformée en Ondelettes (MMTO) • Le formalisme multifractal • Transformée en ondelettes et détection des singularités • La MMTO (Méthode des maxima de la transformée en ondelettes) en une dimension • Réalisation des outils pour l'analyse en deux dimensions par la MMTO2D. Premières applications à des images d'échos de rétrodiffusion. • Conclusion et perspectives

2. A déterministe - - - - - aléatoire La fonction de diffusion Décalage Doppler zonesE zone F principale zone F secondaire Région F Retard de propagation

3. B A Après 4 itérations Le concept fractal . Définition de la dimension fractale • Construction d'une fractale • Initiateur : courbe polygonale (segment de droite, carré, triangle, etc.) • Générateur ou système de fonctions itérées (SFI) : • Transformations affines= application linéaire (homothétie, symétrie, rotation) + translation • Homothétie ET rotation ET symétrie => similitude : auto-similarité Initiateur = segment Générateur : - homothétie de rapport : rH = 1/4 - 8 transformations affines appliquées au nouveau segment => N= 8 segments préfractale Dimension fractale Dimension d'homothétie

4. Fractales auto-affines classiques de test • Exemples dans le plan (dimension topologique du contenant : DT = 2). itération 6 itération 2 itération 1 Courbe de Von Koch (Flocon de neige) Tamis de Sierpinski 2D • Exemple dans l'espace (dimension topologique du contenant : DT = 3 ) 120x120x120 Tamis de Sierpinski 3D

5. Amplitude 256 Doppler 20 10 Temps de propagation 10 Pavage pour la fonction de diffusion Mesure de dimension fractale. Dimension de capacité par la méthode des boîtes (BCM, box-counting method) ou du pavage. L’auto-similitude d’un objet fractal conduit à réaliser une comparaison des propriétés de l’objet entre deux échelles Pavage du contenant puis recouvrement de la fonction par N boîtes ou "tuiles" de taille e(disques ou carrés en 2D, cubes ou boules en 3D). Dimension de Bouligand-Minkowski Pente = Df = 1,8 e petit log N o o o 3 o 2 o 1 log 1/e o e grand -0.69 (e = 2) -4,15 (e= 64) Régression linéaire (moindres carrés)

6. A Application de la méthode BCM à un écho de rétrodiffusion : région F Zone F principale (Fejim08h) Propag-Doppler = 32x40 (pixels) Suppression du bruit de fond : Df B)=2,45 par seuillage de 10 pts à la base (zmax=141)

7. A A : Cohérence de l’écho E Méthode BCM : région E Région E : 23 x 51 pixels Seuillage du bruit -10 pts (zmax= 55) Région E : 8 x26

8. Evolution de la dimension fractale avec le passage d’une perturbation tf t0 Perturbation par une sporadique Es Début de l’enregistrement : t0 = 38 mn Filtrage par ondelettes et détection de contour Evolution de la dimension fractale sur F morcellement = chute de la dimension fractale Fin de l’enregistrement : tf = t0 + 21 mn = 59 mn

9. Mesure multifractale et spectre des singularités Distribution mulitfractale de la densité des points Distribution d’amplitude dans la fonction de diffusion Spectre des singularités du Cantor multifractal Cantor monofractal -> multifractal Dimension du support de la mesure D0 = 0,63

10. Transformée en ondelettes et détection des singularités s(x) singularité régularité x Transformation continue |T(b,a)| Scalogramme • Ondelette = boîte ; Le module de la T.O. indique • le degré de régularité de la fonction en un point. • Choix particulier d’ondelettes => les maxima locaux des modules indiquent la force de singularité au point considéré => analyse multifractale.

11. Partie singulière Partie régulière Classe d’ondelettes dérivées d’une gaussienne. N moments nuls de 0 à N-1 : Développement de Taylor Exposant de Hölder h(x0) <=> exposant de singularité a

12. Méthode des Maxima de la Transformée en ondelettes (MMTO) On étudie, non individuellement, mais “globalement” le comportement des maxima à chaque échelle en calculant la fonction de partition : Transformation de Legendre

13. Application de la MMTO à des fractales déterministes. Cantor 1D. Construction de l’ ”escalier du diable” monofractal Escalier multifractal Spectre des exposants de masse Spectre des exposants de masse

14. z x Extension de la MMTO à l’analyse d’image. Développement d’une T.O. 2D complexe Transformée continue 2D (CWT2) complexe donnant module et argument Ondelettes cartésiennes dérivées partielles premières d’une gaussienne z y TYx A x TYy

15. z y x T(b,a) 0 |T(b,a)| Application de la TO 2D complexe à la détection de singularités Singularité “douce” construite à partir d’une “crête” gaussienne Singularité “forte” : contour d’un carré. TYx(b,a) TYy(b,a) |TY(b,a)| TY(b,a) 0

16. |T(b,a)| Algorithmes de suivi des maxima de la T.O. 2D Suivi intra-échelles des maxima (détecteur de contour de Canny) Suivi inter-échelles des maxima Recherche du module le plus fort dans la direction donnée par l’argument

17. échelle a 3 2 chaîne de maxima intra-échelle chaîne de maxima inter-échelles Analyse multi-échelles et détection des singularités sur une fonction de diffusion Coefficients d’approximation T.O. discrète (Ca-DWT2), Ondelette Daubechies 8 (DB8). Niveau 2 T.O. continue complexe. Ondelette dérivée 2è gaussienne (mexh). Niveau 2 Echo F Ca-DWT2, Ondelette DB8 Niveau 1 Ca-DWT2, Ondelette DB8 Niveau 3

18. Conclusion sur l’analyse fractale de la fonction de diffusion en transmission ionosphérique. • Dimension fractale • Mesure monofractale en 3D des fonctions de diffusion. Détermination des critères de mesure. • Différence entre les dimensions des régions E et F. • Variation de la dimension fractale de l’écho F en présence d’une perturbation de type sporadique. • Caractérisation de la nature multifractale de l’ionosphère. • Similitude entre turbulence ionosphérique et atmosphérique. • Application de la Méthode des Maxima de la T.O. en 2 dimensions pour la détermination du spectre multifractal. • Mise en oeuvre d’une classe d’ondelettes dérivées d’une gaussienne.