Analisi Fattoriale

1. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione La STRUTTURALATENTE Ogni comportamento (dinamica) non elementare è presumibilmente frutto dell’intervento di più fattori (struttura latente) che, ognuno con un suo specifico contributo, ne determinano qualche aspetto (Luccio, 1996) L’analisi fattoriale rappresenta un corpo di metodi statistici atto ad ottenere una maggiore comprensione delle complesse e ambigue relazioni tra grandi numeri di variabili misurate in modo impreciso. (Comrey and Lee, 1995) Introduzione all’analisi fattoriale

2. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione • Trovare costrutti teorici adeguati per spiegare le correlazioni osservate in un insieme di variabili. • Esaminare la validità di una teoria rispetto al numero ed alla natura dei costrutti fattoriali eventualmente osservati tra le variabili sotto indagine Scopi dell’Analisi Fattoriale

3. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione • Selezione delle variabili sotto indagine • Calcolo della matrice di correlazione tra le variabili • Estrazione dei fattori (non ruotati) • Rotazione dei Fattori • Interpretazione della matrice dei fattori ruotati. Passi Fondamentali dell’Analisi Fattoriale

4. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Esempio di Matrice delle Correlazioni (R)

5. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Quando la matrice delle correlazioni contiene coefficienti elevati, ciò indica che le variabili sono correlate tra di loro, o si sovrappongono in ciò che misurano. Ad esempio per la correlazione che caratterizza l’altezza è il peso potrebbe essere “postulato” un costrutto fattoriale latente chiamato <<Grandezza>>. La correlazione tra altezza e peso potrebbe allora essere spiegata dal fatto che entrambe condividono una relazione con il fattore ipotetico della Grandezza. Matrice delle Correlazioni (R)

6. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale L'analisi fattoriale nasce come un tentativo di dare una rappresentazione efficiente ma NON conservativa dei dati, ovvero di rappresentare la variabilità contenuta nella matrice R utilizzando un numero di costrutti latenti (fattori) molto inferiore al numero di variabili misurate. ( m < n ) Analisi Fattoriale

7. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale Il modello statistico dell’analisi fattoriale parte dall’assunto fondamentale che il punteggio standardizzato in una variabile può essere espresso come somma ponderata del punteggio nei fattori comuni, del punteggio in un fattore specifico, e del punteggio in un fattore di errore. Il modello dell’Analisi Fattoriale

8. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale Zik : Il punteggio standardizzato per la persona k nella variabile i ai1 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 1 ai2 : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore comune 2 aim : La saturazione fattoriale della variabile i nell’ultimo fattore comune ais : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore specifico S aie : La saturazione fattoriale della variabile i nel fattore di errore E. F1k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 1 F2k : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore comune 2 Fmk: Il punteggio standardizzato del soggetto k nell’ultimo dei fattori comuni Sik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore specifico i Eik : Il punteggio standardizzato del soggetto k nel fattore di errore i Equazione di Thurstone

9. Analisi Fattoriale Lezione – 1 Definizione Matrice Simmetrica rij= rji L’analisi fattoriale rappresenta una maniera di considerare queste interrelazioni ipotizzando l’esistenza di “Fattori Latenti” o “Costrutti Fattoriali” che spiegano i valori nella matrice delle correlazioni tra le variabili. Matrice delle Correlazioni (R)

10. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale • I punteggi Z, F, S ed E nell’equazione sono tutti punteggi standardizzati (M = 0, D.S.= 1). • Ogni valore a nell’equazione è una costante numerica, o peso, chiamata saturazione fattoriale [-1.0, 1.0]. • Il punteggio Z viene ottenuto empiricamente come un normale punteggio in una variabile. • I valori a vengono trovati nello stesso processo di analisi fattoriale. Equazione di Thurstone

11. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale • L’equazione di Thurstone può essere rappresentata schematicamente in forma matriciale per tutti i valori di i e k simultaneamente (ad esempio, per tutte le variabili e tutti i soggetti). 1 2 … N Soggetti Variabili 1 2 = Z ... n Equazione di Thurstone

12. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale Fattori 1 2 … m 1 2 … n 1 2 … n 1 2 … n Variabili Equazione di Thurstone Matrice Au

13. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale 1 2 … N 1 1 1 2 2 2 Soggetti … … … m n n Fattori Equazione di Thurstone Matrice Fu

14. Analisi Fattoriale Lezione – 2 Modello Fondamentale • Le tre matrici precedenti possono essere combinate nella seguente equazione matriciale: • Z = Au Fu • Ciò implica che la matrice Z dei punteggi nelle variabili può essere ricavata moltiplicando la matrice delle saturazioni fattoriali Au per la matrice dei punteggi fattoriali Fu. Equazione di Thurstone

15. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Se volessimo riprodurre il punteggio nella variabile 3 per la persona 7, la terza riga della matrice Au dovrebbe essere moltiplicata con la settima colonna della matrice Fu. Questa operazione darebbe il seguente risultato: Equazione Fondamentale

16. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Dato che l’analisi fattoriale procede dalla matrice di correlazione tra le variabili osservate, si riportano innanzi tutto le formule della correlazione tra due variabili i e j (standardizzate) e della varianza di un insieme di variabili standardizzate. Correlazione Varianza

17. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Il modello dell'analisi fattoriale prevede dei vincoli sulla struttura dei fattori latenti, specifici e di errore, che possono essere descritti come condizioni di ortogonalità (ovvero di indipendenza statistica). Tali vincoli sono espressi dalle seguenti condizioni: Le condizioni di Ortogonalità

18. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale L’ortogonalità di due fattori implica la loro indipendenza lineare, in altri termini non esiste una relazione (causale o spuria) che lega la variabilità osservata nelle due “dimensioni” rappresentate dai fattori. Fattori Ortogonali (Definizione)

19. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale L’ortogonalità riguarda anche l’indipendenza statistica dei fattori latenti con i fattori specifici e di errore, in quanto calcolati sui residui di varianza non spiegata dagli altri fattori comuni. F1 F2 F3 a21 a22 a13 a12 a23 a11 E2 S1 a1S a2E Z1 Z2 a2S a1E E1 S2 UNICITA’ della variabile Z1

20. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Volendo a questo punto riprodurre la correlazione fra due variabili i e j secondo l’equazione di Thurstone: riordinando i termini e applicando tutte le semplificazioni che derivano dalle condizioni di ortogonalità dei fattori , sostituendo zero a tutte le correlazioni tra i fattori diversi (latenti, specifici e di errore) e 1 alle varianze dei fattori, l’equazione risultante risulta semplificata come segue: Equazione fondamentale

21. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale L’equazione risultante implica che la correlazione tra le variabili i e j corrisponde alla somma dei prodotti delle loro saturazioni nei fattori comuni soltanto. Tutti i prodotti tra i fattori specifici e di errore si annullano fintanto che i fattori sono ortogonali (cioè non correlati tra loro). Equazione fondamentale

22. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale E rappresenta la diagonale della parte sinistra della matrice Au (che differisce solo in questo dalla matrice di correlazione) Comunalità Nel caso in cui i sia uguale a j, la correlazione è quella di una variabile con se stessa dovuta alla varianza dei soli fattori comuni, avendo omesso la varianza dei fattori specifici. Tale quantità e definitaCOMUNALITA’.

23. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Quando nella diagonale vengono inseriti dei valori uguali ad 1.0 al posto delle comunalità la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo Ru se nella diagonale principale vengono inserite le comunalità, la matrice delle correlazioni è rappresentata con il simbolo R Rappresentazione Matriciale

24. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Usando il formalismo matriciale è possibile rappresentare la matrice delle correlazioni tra tutte le variabili (Ru) con la seguente equazione: N = Numero di soggetti (righe) della matrice Z Z = Matrice dei punteggi standardizzati per tutti i soggetti (righe) in tutte le variabili (colonne) Z’= Trasposta della matrice Z Moltiplicando una riga i della matrice Z per una colonna j della matrice Z’ si ottiene una somma di prodotti tra variabili standardizzate. Dividendo questa somma per N, l’espressione risultante è un coefficiente di correlazione tra le variabili i e j. Rappresentazione Matriciale

25. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Richiamando la formulazione matriciale dell’equazione fondamentale di Thurstone: Z = Au ∙ Fu Cioè la matrice dei punteggi standardizzati nelle variabili è uguale alla moltiplicazione tra la matrice completa delle saturazioni fattoriali e la matrice completa dei punteggi fattoriali. Si ottiene che: Rappresentazione Matriciale

26. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Utilizzando la proprietà che la trasposta del prodotto di due matrici è uguale al prodotto delle loro trasposte in ordine inverso, e ricollocando la posizione del divisore N costante, la precedente può essere riscritta come: La matrice prodotto in parentesi quadra rappresenta la matrice delle correlazioni tra i punteggi fattoriali. Rappresentazione Matriciale

27. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Matrice delle correlazioni tra i punteggi fattoriali Nel caso di fattori indipendenti (ortogonali) le correlazioni fra fattori diversi (fuori dalla diagonale principale della matrice) sono per definizione uguali a 0, mentre le correlazioni dei fattori con se stessi (sulla diagonale principale), rappresentando una varianza di una variabile standardizzata sono per definizione tutti uguali ad 1. Questo tipo di matrice viene definito MATRICE IDENTITA’ Rappresentazione Matriciale

28. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale 123 … m 1 2 3 … m 1 2 3 … n 1 2 3 … n 123 … n 123 … n Matrice FuFu’/N

29. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale = I Matrice Identità di ordine 4 La matrice identità (I) ha sempre valori uno nella diagonale principale e valori zero in tutte le altre celle. La matrice identità è l’equivalente dello scalare 1 nell’algebra scalare. Quindi moltiplicare una matrice per la matrice identità equivale a lasciare la prima invariata. Matrice Identità

30. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Dove Ru è la matrice delle correlazioni tra le variabili con valori 1 nella diagonale principale e Au è la matrice completa delle saturazioni fattoriali, che include i fattori comuni, specifici e di errore. La matrice Ru è simmetrica per cui: Ru = Ru’ Riformulazione dell’equazione matriciale

31. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale I valori della matrice Au rappresentano le correlazioni tra le variabili e i fattori. Queste correlazioni sono chiamate saturazioni fattoriali nel modello dei fattori ortogonali, il quale richiede che i fattori siano ciascuno ad angolo retto rispetto agli altri (cioè non correlati). La matrice A rappresenta solo la parte dei fattori comuni della matrice Au. Da quanto visto finora è chiaro che solo i fattori comuni entrano nella determinazione degli elementi di R al di fuori della diagonale principale. Per gli elementi sulla diagonale, tuttavia, ovvero per gli elementi: Rijdove i = j i fattori specifici e di errore forniscono un contributo.

32. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Tutti gli elementi sulla diagonale della matrice Ru sono uguali ad 1, che equivale anche alla varianza di ogni variabile standardizzata. Questa varianza può essere divisa come segue: 1 = hii2 + uii2 Dove: hii2 = ai12 + ai22 + … + aim2 - Comunalità uii2 = ais2 + aie2 - Unicità Comunalità ed Unicità

33. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale L’equazione fondamentale dell’analisi fattoriale così come è stata formulata da Thurstone (1947) stabilisce che la matrice delle correlazioni tra le variabili può essere scomposta nel prodotto di una matrice di fattori per la sua trasposta. Equazione fondamentale dell’analisi Fattoriale

34. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Ru = AuAu’ riproduce la matrice delle correlazioni con valori 1 sulla diagonale, utilizzando una matrice di saturazioni Au che contiene i fattori comuni, specifici e di errore. R = AA’ riproduce la matrice delle correlazioni R con i valori delle comunalità nella diagonale principale al posto degli 1.Tutti gli altri elementi delle matrici R ed Ru sono identici Equazione fondamentale dell’analisi Fattoriale

35. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Considerando tutti i valori di i e j simultaneamente, quindi rappresentando in matrici il sistema costituito dalle n equazioni del tipo della precedente (forma analitica), otteniamo la seguente equazione matriciale: R = A A’ L’equazione implica che la matrice delle correlazioni (R) con le comunalità (h2) nella diagonale principale può essere rappresentata come il prodotto della matrice delle saturazioni nei fattori comuni moltiplicato per la sua trasposta. Dalla forma Analitica alla forma Matriciale

36. Analisi Fattoriale Lezione – 3 L’equazione Fondamentale Riassumendo: Per spiegare le correlazioni tra le variabili sono necessari solo i fattori comuni. Per spiegare la varianza totale delle variabili sono necessari i fattori comuni, specifici e di errore. Equazione fondamentale

37. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Dopo aver calcolato la matrice delle correlazioni R, il passo successivo consiste nel determinare quanti costrutti fattoriali sono necessari per spiegare l’insieme dei valori di R. Tutti i metodi di estrazione fattoriale finiscono con una colonna di numeri (vettore), uno per ciascuna variabile, che rappresentano le saturazioni (o pesi) delle variabili in quel fattore. Estrazione dei Fattori

38. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori La procedura che va sotto il nome di Estrazione dei Fattori consiste nell’estrarre fattori dalla matrice di correlazione fino a che non rimanga più nessuna porzione apprezzabile di varianza da spiegare, cioè finche le correlazioni residue sono prossime allo zero (e quindi di importanza trascurabile). Estrazione dei Fattori

39. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Dopo che il primo fattore è stato estratto, “l’effetto” di questo fattore (nel determinare le correlazioni osservate nei dati) viene rimosso dalla matrice delle correlazioni R per produrre la matrice delle correlazioni residue rispetto al primo fattore. Estrazione dei Fattori

40. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Esempio: Supponendo che un ipotetico primo fattore estratto abbia saturazioni di -.7 per una variabile (i) e di .8 per un’altra variabile(j). Moltiplicando -.7 per .8 abbiamo -.56, che rappresenta la correlazione tra queste due variabili dovuta SOLTANTO al primo fattore. Sottraendo -.56 al valore rij otteniamo la correlazione residua rispetto al primo fattore. Estrazione dei Fattori

41. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Una volta che i fattori necessari per spiegare le correlazioni nella matriceR sono stati estratti, i valori delle correlazioni tra variabili e fattori vengono sistemati in una tabella definita “Matrice delle Saturazioni non Ruotate”. Fattori Variabili SSQ 1.55 1.52 .52 .22 Estrazione dei Fattori

42. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Fattori Il primo fattore risulta il più grande dei quattro estratti e l’ultimo ovviamente il più piccolo La varianza totale spiegata dalla soluzione fattoriale (SSQ) per ogni fattore è rappresentata dalla Somma dei quadrati delle saturazioni fattoriali. L’ultima colonna (h2) contiene le comunalità delle variabili, che è calcolata come somma dei quadrati delle saturazioni nei fattori. Variabili SSQ 1.55 1.52 .52 .22 Estrazione dei Fattori

43. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori Se la comunalità per una variabile raggiunge il valore di 1.0, questo significa che il punteggio nella variabile potrebbe essere perfettamente predetto da una combinazione pesata dei punteggi che rappresentano i soli fattori estratti. In altri termini tutta la varianza di questa variabile può essere spiegata dai punteggi che rappresentano la posizione di ogni soggetto nei fattori comuni estratti dall’analisi fattoriale. Comunalità

44. Analisi Fattoriale Lezione – 4 Estrazione dei fattori D’altro canto se una variabile avesse comunalità uguale a 0 le saturazioni di tutti i fattori per quella variabile sarebbero uguali a 0 e la variabile non avrebbe nulla in comune con nessuno dei fattori. Comunalità