1 / 36

Zbieżność szeregu Fouriera

Zbieżność szeregu Fouriera. Warunki zbieżności Dirichleta Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości Peter G. L. Dirichlet Zbieżność średniokwadratowa Twierdzenie Parsevala Moc ułamkowa Efekt Gibbsa Okna Fejera, Lanczosa... Podsumowanie. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir.

riley-moon
Download Presentation

Zbieżność szeregu Fouriera

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Zbieżność szeregu Fouriera • Warunki zbieżności Dirichleta • Zachowanie szeregu Fouriera w punktach nieciągłości • Peter G. L. Dirichlet • Zbieżność średniokwadratowa • Twierdzenie Parsevala • Moc ułamkowa • Efekt Gibbsa • Okna Fejera, Lanczosa... • Podsumowanie „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  2. Szereg Fouriera sygnału x(t) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  3. Warunek zbieżnościDirichleta (I) Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, A2) posiada skończoną liczbę ekstremów, A3) jest ograniczony klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunki A1A3, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  4. I I x(t) sygnał klasy A czas 0 T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir Warunek Dirichleta (I)

  5. sygnał klasy B x(t) czas 0 T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir Warunek Dirichleta (I) II I

  6. Warunek Dirichleta (I) W punktach nieciągłości I rodzaju szereg Fourieraprzyjmuje wartość: sugerujący, że w punktach nieciągłości sygnałux(t) jego wartość powinna być równa średniejarytmetycznej granicy lewo- i prawostronnej. Umowa ta gwarantuje zbieżność szeregu Fouriera dosygnału we wszystkichchwilach czasu (ale jednostajnąwyłącznie w punktach ciągłości). „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  7. Zachowanie szeregu Fouriera w punkcie nieciągłości x(t-) x(t) x(t+) czas 0 t T „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  8. Punkt nieciągłości Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości 12 10 8 6 4 2 (10 harmonicznych) 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  9. Zachowanie się szeregu Fouriera w pkt. nieciągłości 12 10 8 6 4 2 0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 czas Punkt nieciągłości (20 harmonicznych) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  10. Jeżeli sygnał x(t) w przedziale [0, T]: klasa sygnałów A A1) ma wahanie ograniczone klasa sygnałów B B1) posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości II rodzaju, B2) poza punktami nieciągłości B1) spełnia warunek A1, B3) jest bezwzględnie całkowalny to wykładniczy szereg Fouriera jest zbieżny (jednostajnie) do sygnału x(t) we wszystkich punktach jego ciągłości. warunek I warunek II Warunek zbieżnościDirichleta - II „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  11. Warunek zbieżności Dirichleta - II Sygnał bezwzględnie całkowalny wg. G. M. Fichtenholz„Rachunek różniczkowy i całkowy”, tom II, str. 507 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  12. Warunek zbieżności Dirichleta - II „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  13. Peter Gustav Lejeune Dirichlet • Matematyk niemiecki, I poł. XIX wieku • Najważniejsze osiągnięcia: • teoria liczb - funkcje dzeta • teoria mnogości - zasada szufladkowa • teoria szeregów - zasada zbieżności „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  14. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Funkcje dzeta Riemanna:(przypadek funkcji Dirichleta) Tożsamość Eulera: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  15. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Hipoteza Riemanna:(nieudowodniona do dzisiaj) Wszystkie miejsca zerowe (a jest ich nieskończenie wiele) funkcji dzeta Riemanna mają postać: Dowód hipotezy Riemanna zmieniłby oblicze teorii liczb; obliczenia numeryczne wskazują, że przeszło 1,5 x 109 liczb spełnia hipotezę Riemanna. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  16. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Twierdzenie o liczbach pierwszych:(korzysta z funkcji dzeta Dirichleta) Błąd oszacowania: x = 1010 4,5% x = 1014 3,0% x = 1018 2,5% „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  17. Peter Gustav Lejeune Dirichlet Zasada pudełkowa Dirichleta: Jeżeli N przedmiotów umieścimy w K < N pudełkach, to w którymś z pudełek znajdą się co najmniej 2 przedmioty. N = 4 K = 3 Zastosowanie: W Krakowie mieszkają 2 osoby mające tę samą liczbę włosów na głowie (N 800.000) Największa liczba włosów na głowie - K = 500 000 „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  18. Zbieżność średniokwadratowa szereg Fouriera aproksymacjaszeregiem Fouriera Średniokwadratowy błąd aproksymacji „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  19. Zbieżność średniokwadratowa Szereg Fouriera stanowi aproksymację średniokwadratowąsygnału. Warunkiem jej istnienia jest skończona wartość całki: a więc skończona energia (moc) sygnału. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  20. Twierdzenie Parsevala Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć moc sygnału: w dziedzinie częstotliwości: „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  21. 1 t T = 1 Moc ułamkowa 0.2 0.15 |Xk| 0.1 Moc ułamkowa 0.05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 kfo „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  22. 100 95 1 t 90 P(kfo) [%] 85 T = 1 Sygnał piłokształtny 80 75 0 5 10 15 20 25 30 35 kf0 Moc ułamkowa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  23. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1 2 harmoniczne 0.8 90% mocy sygnału 0.6 1 t 0.4 T = 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 90%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  24. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1 0.8 4 harmoniczne 95% mocy sygnału 1 0.6 t 0.4 T = 1 0.2 0 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 95%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  25. Aproksymacja sygnału piłokształtnego 1.2 1 16 harmonicznych 99% mocy sygnału 0.8 1 0.6 t 0.4 0.2 T = 1 0 -0.2 0 0.5 1 1.5 Moc ułamkowa(sygnał piłokształtny - 99%) „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  26. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 11 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  27. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 39 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  28. 1.4 efekt Gibbsa 1.2 1 0.8 Impuls prostokątny 0.6 79 harmonicznych 0.4 0.2 0 -0.5 0 0.5 Efekt Gibbsa „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  29. Efekt Gibbsa Efekt Gibbsa występuje w punktach nieciągłości sygnału, a objawia się jako nadmierne oscylacje aproksymacji skończonym szeregiem Fouriera; poziom oscylacji jest niezależny od długości aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  30. Okna Fejera, Lanczosa... Funkcja okna (ang. window) jest dobierana w celu minimalizacji efektu Gibbsa. W klasycznej aproksymacji jest stosowane okno prostokątne o wagach „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  31. Okna Fejera, Lanczosa... Okno Fejera Okno prostokątne Okno Lanczosa Okno von Hanna, Hamminga, Kaisera... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  32. Okna aproksymacji szeregiem Fouriera 1 0.8 0.6 okno prostokątne waga wn okno Fejera okno Lanczosa 0.4 okno von Hanna podwójna szerokość okna 2*k + 1 0.2 0 -15 -10 -5 0 5 10 15 numery wyrazów szeregu Fouriera n Okna Fejera, Lanczosa... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  33. 1.4 Impuls prostokątny 1.2 11 harmonicznych 1 0.8 0.6 okno prostokatne impuls prostokątny 0.4 okno Fejera okno Lanczosa 0.2 0 -0.5 0 0.5 Okna Fejera, Lanczosa... Impuls prostokątny 7 harmonicznych „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  34. 1.4 Impuls prostokątny 1.2 15 harmonicznych 1 0.8 0.6 okno prostokatne impuls prostokątny okno Fejera 0.4 okno Lanczosa 0.2 0 -0.5 0 0.5 Okna Fejera, Lanczosa... „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  35. Okna, efekt Gibbsa, błąd aproksymacji... Okna Fejera, Lanczosa pozwalają w dużym stopniu zmniejszyć efekt Gibbsa (oscylacje w pobliżu punktu nieciągłości sygnału), ale kosztem wzrostu błędu średniokwadratowego. Pamiętajmy, że przecież szereg Fouriera (z oknem prostokątnym) stanowi najlepszą aproksymację sygnału, zapewniającą minimum błędu średniokwadratowego. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

  36. Podsumowanie • Warunki Dirichleta zapewniają zbieżność szeregu Fouriera do wartości sygnału; w punktach nieciągłości szereg Fouriera generuje „średnią arytmetyczną” nieciągłości. • Praktycznym warunkiem zbieżności jest skończona wartość mocy sygnału (zbieżność średniokwadratowa). • Ze zbieżności średniokwadratowej wynika twierdzenie Parsevala pozwalające wyznaczyć moc sygnału poprzez moc poszczególnych składowych harmonicznych. • Moc ułamkowa (konsekwencja tw. Parsevala) pozwala szacować w praktyce użyteczną szerokość pasma sygnału. • W pobliżu punktów nieciągłości aproksymacja szeregiem Fouriera wykazuje nadmierne i utrzymujące się fluktuacje (efekt Gibbsa). • Okna Fejera, Lanczosa i inne pozwalają redukować efekt Gibbsa, ale kosztem dokładności aproksymacji. „Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir

More Related