Administração de Florestas

1. Administração de Florestas Dupla: Flávio Almeida (faas) Leonardo Vilaça (lhvs) Monitor: Chico (fpms)

2. Introdução • A idéia base desse trabalho é apresentar o conceito matemático da utilização de matrizes na administração eficiente e sustentável de florestas; • Tendo em vista que o rendimento sustentável ótimo é alcançado com o corte ideal de cada classe de árvores.

3. Considerações • Árvores são classificadas por altura; • Sua altura determina seu valor econômico; • Não será considerada a morte anual das árvores; • Mudas não possuem valor econômico.

4. O Modelo • Seja xi (i = 1,2,...,n) o número de árvores da i-ésima classe sobrevivem aos cortes: x1 x2 . . . xn X = • Sabe-se o total de árvores, que é fixo: x1 + x2 +...+ xn = s

5. O Modelo • Considerando o crescimento da floresta teremos: gi = a fração de árvores que crescem de uma classe para outra imediatamente superior; 1- gi = fração de árvores que permanecem na mesma classe depois do período de crescimento.

6. O Modelo Ilustrativo do Modelo

7. O Modelo G = Matriz de multiplicação de G por X Matriz do crescimento 1 – g1 0 0 ... 0 g1 1 – g2 0 ... 0 0 g2 1 – g3 ... 0 : : : : : 0 0 0 ... 1 – gn – 1 0 0 0 0 ... gn – 1 0 (1 – g1)x1 g1x1 + (1 - g2) x2 g2x2 + (1 – gn-1)n-1 : gn-2xn-2 + (1 – gn-1)xn-1 Gn-1xn-1 + xn Gx =

8. O Modelo Matriz das árvores arrancadas: Matriz de reposição: Y = 1 1 ... 1 0 0 ... 0 : : : 0 0 ... 0 y1 y2 . . . yn R = Multiplicação da matriz de reposição pela matriz de árvores de corte, resultando a matriz coluna das árvores que serão repostas: y1 + y2 ... yn 0 0 : 0 Ry =

9. O Modelo - Conclusão Configuração no início do período de crescimento Reposição de mudas Configuração no final do periodo de crescimento - + = corte Condição de corte sustentável: Gx - y + Ry = x y1 y2 . . . yn 0 -1 -1 ... -1 -1 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 : : : ... : : 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 ... 0 1 – g1 0 0 ... 0 g1 – g2 0 ... 0 0 g2 – g3 ... 0 : : : : : 0 0 0 ... – gn 0 0 0 0 ... gn 0 x1 x2 . . . xn =

10. Rendimento Sustentável Ótimo • y1 = 0 • Quaisquer x e y com entradas não negativas satisfazem a equação: • x1 + x2 ... + xn = s. • Com esses dois tópicos satisfeitos a condição de corte sustentável se reduz as equações abaixo: • y2 + y3 + ... + yn = g1x1 • y2 = g1x1 - g2x2 • y3 = g2x2 - g3x3 • : • yn-1 = gn-2xn-2 - gn-1xn-1 • yn = gn-1xn-1

11. Rendimento Sustentável Ótimo • Como nós devemos ter yi > = 0 para i = 2,3,...,n, as equações exigem que: g1x1g2x2 ... Gn - 1xn-1  0 • Para que o corte seja sustentável, a inequação a cima tem que ser satisfeita

12. Rendimento Sustentável Ótimo • Sabendo que cada árvore possui um valor econômico p, e que removemos yi árvores da i-ésima classe, obtém-se a equação do rendimento: RT = p2y2 + p3y3 + ... + pnyn • Substituindo a equação anterior na equção acima: RT = p2g1x1 + (p3-p2)g2x2 + ... + (pn - p n-1)g n-1x n-1

13. Rendimento Sustentável Ótimo Resolvendo a equação : RT = p2g1x1 + (p3-p2)g2x2 + ... + (pn - p n-1)g n-1x n-1 e satisfazendo as as condições abaixo: x1 + x2 ... + xn = s e g1x1 g2x2 ... Gn - 1xn-1  0 Chega-se o teorema do rendimento sustentável ótimo: O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de altura específica e nenhuma árvore de qualquer outra classe

14. Rendimento Sustentável Ótimo • Seja RTk o rendimento obtido cortando-se todas as árvores da classe k; • Como não serão cortadas nenhuma árvore de outras classes, yik = 0; • E ainda, como todas as árvores da classe k serão cortadas xik = 0;

15. Rendimento Sustentável Ótimo Então: yk = g1x1 0 = g1x1 - g2x2 0 = g2x2 - g3x3 : 0 = gk-2xk-2 - gk-1xk-1 yk = gk-1xk-1 Ou seja, x2 = g1x1/g2 x3 = g1x1/g3 xk-1 = g1x1/gk-1

16. Rendimento Sustentável Ótimo Substituindo na equação: x1 + x2 ... + xn = s x1 = ____________s___________ 1 + g1/g2 + g1/g3 + ... + g1/gk-1 Combinando as equações anteriores: RT = p2y2 + p3y3 + ... + pnyn = pkyk = pkg1x1 = _________pks________ 1/g1 + 1/g2 + ... + 1/gk-1

17. Rendimento Sustentável Ótimo • O rendimento sustentável ótimo é o maior valor de: _________pks________ 1/g1 + 1/g2 + ... + 1/gk-1 para k = 2,3,...,n. O correspondente valor de k é o número da classe que é complertamente cortada.

18. Fim da apresentação Preservem nossas florestas !!!