Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část)

1. Zajímavosti z 34. ASTIN Colloqia (2. část) Jakub Strnad

2. Obsah • modelování závislostí • kam příště • 35. ASTIN Colloquium • 28. mezinárodní kongres aktuárů

3. Důvody modelování závislostí v pojišťovnictví a financích Co je nezbytné pro: • chování portfolia aktiv • moderní risk management • dynamické finanční analýzy • modelování závislostí mezi náhodnými veličinami a procesy Důvody závislostí: • ekonomické cykly • přírodní katastrofy • …

4. Příklady • WTC  dopad na: • majetkové pojištění, • životní pojištění, • letecké pojištění, • pojištění odpovědnosti • …. • ENRON  dopad na: • akciové trhy • dluhopisové trhy • pojistitele • auditory • ….

5. Standardní míry korelace a jejich nedostatky • korelační koeficient (Pearsonův) • není invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans. • Spearmanův korelační koeficient  • je invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans. • máme-li výběr (Xi,Yi),i=1,…,n, potom je  rovna korelačnímu koef. z (Ri,Oi), kde Ri resp. Oi je pořadí Xi resp. Yi • Kendallův korelační koeficient  • je invariantní vůči nelineární striktně rostoucí trans.

6. Korelace popisuje „průměrnou závislost“ • na všech grafech je korelační koeficient roven 85%

7. Potřeba měřit závislosti chvostů rozdělení (tail dependence) závislost horních chvostů závislost dolních chvostů

8. Co je KOPULE Sdružená distribuční funkce náhodného vektoru kde Uimá rovnoměrné rozdělení na [0,1] Obecně: Funkce o n proměnných definovaná na [0,1]n s následujícími vlastnostmi: • obor hodnot je [0,1] • C(u) je rovna 0 pro všechna u z [0,1]n, pro které aspoň jedna souřadnice je rovna 0 • C(u)=ui , jestliže všechny souřadnice, kromě i-té, jsou 1 • C je n-rostoucí

9. Vlastnosti kopulí • stejnoměrně spojité, • existují všechny parciální derivace  lze definovat hustotu • každá kopule je zdola a shora omezená tzv. Fréchet-Hoeffdingovou závorou: • nezávislá kopule

10. Základní věta z teorie kopulí Theorem(Sklar 1959): Nechť H značí distribuční funkci n-rozměrného vektoru s marginálními distr. funkcemi F1,…, Fn , potom existuje kopule C taková, že jsou-li marginální rozdělní spojitá, potom je kopule určena jednoznačně. Současně platí

11. Kopule a závislost Věta: Nechť U, V jsou R(0,1) , potom jejich sdružená distribuční funkce je rovna: • W  U je skoro jistě klesající funkcí V (tj. extrémní negativní závislost) •  U a V jsou nezávislé • M  U je skoro jistě rostoucí funkcí V (tj. extrémní pozitivní závislost) Kopule uchovávají informaci o struktuře závislosti Současně platí, že Definujeme-li uspořádání kopulí potom platí pro 2-rozměrné kopule:

12. Praktické použití kopulí - Prof. Pfeifer Risk management + dynamické modelování (Prof. Pfeifer) • generování závislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením s využitím kopulí včetně počítačové algoritmizace • generování závislých Poissonovských procesů s využitím bodových procesů Využití:  pojišťovnictví = několik různých událostí nastává téměř současně (impulsem může být např. živelná pohroma: silné deště  povodně  škody) událostí  finance = portfolio s put a call opcemi se stejnou realizační cenou

13. Praktické použití kopulí - F. Fabien „Ekonomický kapitál (VaR) a závislost“ (F. Fabien) • modelování společnosti provozující 4 poj. odvětví • závislost generována s využitím Normální, Studentovy a Gumblovy kopule a výsledek srovnám s předpokladem nezávislosti • Normální kopule s korelační maticí (chvosty jsou asymptoticky nezávislé) • Studentova se stejnou korel. maticí a 1 st. volnosti  silná závislost chvostu (intenzivně používána ve finančních modelech) • Gumblova s parametrem =2  Kandallovo tau=50% + silná závislost chvostů

14. Výsledky - F. Fabien

15. Praktické použití kopulí - F. Krieter CatXL zajištění vázané na index F .Krieter, Swiss Re Standardní krytí (ZS): Krytí vázané na index (ZI):

16. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Předpoklady: • X~df F, Y ~ df G • závislost X a Y popisuje kopule C Speciálně: F=G a C(F(x),G(y))=min  ZS= ZI Obecně : kde H(z) je d.f. veličiny ZI

17. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Silná závislost chvostů  volba kopulí z rodiny Gumbel-Hougaard

18. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Předpoklad o marginálním rozdělní • =1  nezávislá kopule • kopule M (tj. max. závislá kopule) tj. Weibullovo rozdělění

19. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Empirické DF Modelované DF čisté škody index odovzeno z Gumbelovy kopule hrubé škody

20. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Závislost výsledku na parametru 

21. Praktické použití kopulí - CatXL - F. Krieter Měření rizika portfolia po aplikaci zajištění Míra: Efektivnost ZI Míra = snížení rizika díky ZI/snížení rizika díky ZS Počítáno pro vrstvu 100% z 500 xs 10000

22. Kam příště? 35. ASTIN Colloquium 6. – 9.6. 2004 v Bergenu (Norsko)  oficiální web: www.astin2004.no • Hlavní témata: • Insurance fraud • Genetics and Insurance • Climatic changes: A challenge to actuaries

23. 35. ASTIN Colloquium Koho tam uvidíte Professor Jean Lemaire(Wharton school of business) • jeden z hlavních řečníků • téma: Aktuárská věda v 21. století

24. Kam dále 28. mezinárodní kongres aktuárů 28.5.-2.6.2004 Paříž oficiální web: www.ica2006.com

25. 28. mezinárodní kongres aktuárů  Co tam uslyšíte Program: • Vědecký • Stochastic dependence • Solvency measurements and asset-liability management. • Profesní • The responsibility of the Actuary • The point of view and role of actuaries with respect to the new accounting standards • Technická témata • Actuarial problems related to the retirement of the baby-boom generation. • High severity risks and insurability