Le Problème dE L’emploi du temps Un exemple d’Optimisation Mlutiobjectif

1. Le Problème dE L’emploi du tempsUn exemple d’Optimisation Mlutiobjectif

2. Sommaire • Introduction • ? • ? • ? • Conclusion • Références bibliographiques

3. Résumé • Les problèmes de planification d’horaires de travail notamment le problème de l’emploi du temps ont reçu une grande attention. • La plupart des travaux dans ce sens les traitent dans leur forme mono-objectif. Dans ce projet, je me suis intéressé à l’étude de ce problème dans sa version multi objectif en utilisant les méta-heuristiques.

4. Introduction • Dans de nombreux domaines de la vie professionnelle, on se trouve confronter au problème de la planification d´horaire de travail. • Les problèmes de gestion du temps, pour les résoudre, revient à résoudre un puzzle complexe, chaque organisation possède ses propres normes et critères. • De ce fait, ce sont principalement les Problèmes d’Optimisation MonoObjectifs qui sont utilisés lors de la résolution de ce type de problème.

5. Les heuristiques : • Les heuristiques forment un ensemble de méthodes utilisées en recherche opérationnelle pour résoudre des problèmes d’optimisation réputés difficiles. Résoudre un problème d’optimisation combinatoire, c’est trouver l’optimum d’une fonction, parmi un nombre fini de choix, souvent très grand. Les applications concrètes sont nombreuses, que ce soit dans le domaine de la production industrielle, des transports ou de l’économie – partout où se fait sentir le besoin de minimiser des fonctions numériques, dans des systèmes où interviennent simultanément un grand nombre de paramètres. • A ces problèmes de minimisation, les heuristiques permettent, dans des temps de calcul raisonnables, de trouver des solutions, peut-être pas toujours optimales, en tout cas très proches de l’optimum ; elles se distinguent en cela des méthodes dites exactes, qui garantissent certes la résolution d’un problème, mais au prix de temps de calcul prohibitifs pour nombres d’applications industrielles. • Lorsque la solution optimale ne peut être obtenue en un temps raisonnable, on a souvent recours à des méthodes approchées de type heuristique ou métaheuristique.

6. Définition du Problème : • Le problème de l’emploi du temps est un problème représentatif d’une famille de problèmes combinatoires discrets. • Il renferme • un ensemble d’objectifs conflictuels, • un ensemble de contraintes non linéaires • et un nombre de combinaisons potentielles très élevé.

7. Résolution du problème des emplois du temps à partir de l’observation des activités relatives à la gestion des emplois du temps .

8. Modélisation du Temps • Pour représenter le temps, deux notions de base sont nécessaires : • l’Instant et • la Durée. • De plus, pour le problème des emplois du temps on rajoute la notion de fréquence. • Cette notion de fréquence n’est pas indispensable puisqu’elle peut s’exprimer à partir de celles d’instant et de durée.

9. Les Entités Temporelles • Pour modéliser le temps, les entités : Date, Heure, Durée, Créneau et Calendrier sont définies. • Une datedésigne un instant défini par un triplet (Jour, Mois, Année). A partir de ce triplet, on détermine la valeur qui lui est associée sur l’axe des jours. • Une duréeest un nombre compris entre DMinet Dmax= Hmax- HMin. DMinreprésente la plus petite unité temporelle disponible

10. Un créneauhoraire désigne un intervalle temporel dans une journée. Ainsi, un créneau est caractérisé par un couple (H,D) où • H représente l’heure de début du créneau et • D sa durée. • Un calendrier est un ensemble de dates auxquelles on associe un état ieune valeur parmi • {disponible, • non disponible}.

11. Les Séances et les Réservations • Une séancecorrespond à une instance temporelle d’un enseignement à une date donnée, pendant un créneau précis. • Les caractéristiques d’une séance sont : • son Enseignement, • sa Date, • son Créneau, • ses Matériels et • sa Salle. • Une réservationcorrespond à une option posée sur l’occupation de cette ressource.

12. Modélisation des Ressources • Les ressources considérées sont les entités physiques nécessaires à l’élaboration des emplois du temps. • Il s’agit des • Salles, • Enseignants, • Groupes, • Etudiants et • Matériels. Afin de prendre en compte la plupart des configurations.

13. L’Optimisation Multi-Objectifs : • Concepts de base : Formellement, un Problème d‘Optimisation MultiObjectif(POMO) est décrit comme suit : Optimiser f (x) = [f1(x),f2(x),........,fk(x)] (k fonctions à optimiser) Avec g(x) ≤ m (m contraintes d'inégalités) et h(x) = p (p contraintes d'égalités)

14. Elle consiste à trouver une solution x* qui satisfasse l'ensemble de toutes les contraintes et qui optimise le vecteur objectif f(x*). L'optimisation du vecteur objectif f revient soit : - A minimiser l'ensemble de toutes les fonctions objectifs - A maximiser l'ensemble de toutes les fonctions objectifs -Minimiser certaines fonctions objectifs tout en maximisant d'autres.

15. Les Contraintes Dures : • Ce type de contraintes doit être obligatoirement satisfait dans toutes les situations car la violation de l’une de ces contraintes rend l’emploi du temps inefficace dans la réalité. Les contraintes de préférence : Contrairement au type de contraintes précédent, les contraintes de préférences n’exigent pas la vérification stricte, mais d’approcher au maximum de l’objectif voulu.

16. Modélisation des Contraintes • Les contraintes dures : A chaque contrainte i est associée une mesure de sa violation V(i). • Un enseignant ne peut pas être impliqué dans plus d’une séance à la fois. Nous devons donc vérifier qu’il est libre pendant la séance d’affectation. D’où la mesure de violation :

17. Avec X(i,j) retourne l’enseignant affecté à la séance qui se déroule à la salle i pendant la période j. et Disponible E(X(i , j), I) 0 si l’enseignant est libre pour l'instanciation i 1 sinon

18. Une salle ne peut pas être impliquée dans plus d’une séance à la fois. Nous devons donc vérifier qu’elle est libre pendant la séance d’affectation. D’où la mesure de violation : Avec Y(i,j) retourne la salle affectée à la période j.

19. Et Disponible S(Y(i , j), I) 0 si la salle en question est libre pour l’instanciation I 1 sinon

20. Chaque enseignant doit enseigner les modules qui entrent dans ses compétences. D’où avec: • ENS(i,j) retourne l’enseignant affecté à la séance qui se déroule à la salle i pendant la période j. • MOD(i,j) retourne le module enseigné à la séance qui se déroule dans la salle i pendant la période j.

21. Et Apte(X, Y, I) 0 si le module Y entre dans les compétences de l'enseignant X pour l'instanciation I. 1 sinon

22. Chaque module doit respecter le nombre de séances hebdomadaires prévus. Avec nbshk = nombre de séances hebdomadaires du module k. D’où :

23. L’emploi du temps doit comporter tous les modules d’une promotion donnée. Avec Occurk(i,j) retourne le nombre d'occurrence du module k. D’où :

24. La charge journalière d’un enseignant ne doit pas être dépassée. Avec charg_maxk est le nombre maximal de séances par jour pour l'enseignant k. D’où:

25. 0 si l'enseignant k est affecté Chargek (i, j) à la séance qui se déroule dans la salle i à la période j 1 sinon

26. Les fonctions objectifs A chaque emploi du temps possible S est associé un vecteur objectif F(S) qui représente l’évaluation de la solution. Avec F = (f1, f2, f3, f4, f5, f6), chaque fi correspond à la contrainte de préférence i.

27. Utilisation des heuristiques

28. Conclusion

29. Références bibliographiques