1 / 9

Voorbeeld uitwerking reductie bewijs

Voorbeeld uitwerking reductie bewijs. in3120 Cees Witteveen. Twee beslissingsproblemen. Vertex Cover (VC) instantie : een graaf G = (V,E) en K  Z +

roden
Download Presentation

Voorbeeld uitwerking reductie bewijs

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Voorbeeld uitwerking reductie bewijs in3120 Cees Witteveen

  2. Twee beslissingsproblemen • Vertex Cover (VC) • instantie:een graaf G = (V,E) enKZ+ • vraag:heeft G een vertex cover ter grootte van K? dwz.bestaat er een V’  V, |V’| = K, zodanig dat voor elke {v,w}  E geldt: v  V’ of w  V’? • Clique • instantie:een graaf G = (V,E) enKZ+ • vraag:bestaat er een clique ter grootte van K in G?dwz: bestaat er een V’  V, |V’| = K, zodanig dat voor elke v,w  V’ geldt {v,w}  E ?

  3. Poly-tijd reductie • Constructie reductie vanVERTEX COVERnaar CLIQUE: Construuer f zodanig dat geldt: Als I = (G = ( V, E ), K) met K Z+ een instantie van VC is, dan is f(I ) = (G’ = ( V’, E’ ), K’) met V’ = V E’ = { { v,w } | v  w  V, {v,w} E } K’ = |V | - K ;

  4. Hoe correctheid te bewijzen • ga na dat transformatie polynomiaalis. • ga na dat iedere yes-instantie van VCwordt getransformeerd naar een yes-instantie van CLIQUE; • ga na dat een getransformeerde yes-instantie inCLIQUE altijd afkomstig is van een oorspronkelijke yes-instantie van VC.

  5. 1. polynomialiteit transf’tie • Laat I = (G =(V,E),K) een VC-instantie zijn. We tonen aan dat de geconstrueerde CLIQUE-instantie I’ = f(I) = (G’ = (V’, E’), K’)in een tijd polynomiaal in |I| (de lengte van I) kan worden geconstrueerd. • V’ wordt verkregen door V te copieren: kost O(|V|)  O(|I|)-tijd. • E’ wordt verkregen door voor alle paren v,w uit V na te gaan of (i) v  w en (ii) {v,w}  E; als aan beide condities voldaan is, wordt {v,w} opgenomen in E’; dit kost per paar v,w uit V, O(|E|)-tijd; dus totaal: O(|E|x|V|2)  O(|I|3)-tijd • Tenslotte moeten om K’ te berekenen |V| en K’ = |V| - K worden berekend: kost O(|V|) + O(max(log K, log |V |))  O(|I|)-tijd Totale tijd kosten transformatie:O(|I|) + O(|I|3)+O(|I|) = O(|I|3)

  6. 2. Correctheid transformatie • a.yes-instanties I van VC worden afgebeeld op yes-instanties van f(I) van CLIQUE • Stel I = (G =(V,E),K) yes-instantie van VC; dan is er een VCW ter grootte van K in G. We tonen aan dat W’ = V - W een clique is in f(I) = (G’ = (V’,E’), K’) en derhalve dat f(I) een yes-instantie van CLIQUE is. • Neem twee willekeurige knopen uv in W’; stel {u,v}  E’; dan moet volgens de constructie gelden: {u,v}  E. Maar omdat W een vertex cover is, zou dan u  W of v  W. Er geldt echter:u en vbeide niet in W!. Dus kan de veronderstelling {u,v} E’ niet waar zijn, dwz. {u,v}  E’.Maar dan geldt W’ is een clique ter grootte van |V| - K = K’

  7. 2. Correctheid (vervolg) • b.alsI’ een yes-instantie is van CLIQUE dan is iedere I waarvoor f(I) = I’ een yes-instantie van VC.Stel I’ = (G’ =(V’,E’),K’) is een yes-instantie van CLIQUE en voorI = (G =(V ,E),K ) geldt: I’ = f(I). We tonen aan, dat I een yes-instantie is van VC.Omdat I’ = (G’ =(V’,E’),K’) een yes-instantie is van CLIQUE , bestaat er een clique W’ met |W’| = K’ in G’.We laten nu zien dat W = V - W een vertex cover is van G. dwz I is een yes-instantie van VC. Neem een kant {u,v}  E. Dan geldt:{u,v}  E’ en derhalve u  W’ of v  W’. En dit betekent:u  V- W’ = W of v  V-W’ = W. M.a.w. W is een vertex cover ter grootte van |V| - K’ = K in G.

  8. 2. Correctheid (anders) • Met behulp van een beetje logica kunnen we het bewijs veel korter opschrijven:I = (G =(V ,E),K ) is een yes-instantie van VC G heeft een vertex cover W ter grootte van KW  V [ |W| = K  u,vV [ {u,v}  E  (u  W  v  W )] W  V [ |W| = K  u,vV [ (u  W  v  W )  ({u,v}  E) ] W  V [ |W| = K  u,vV [( u  W  v  W )  {u,v}  E’ ] W  V [ |W| = K  u,vV [( u  V - W  v  V - W )  {u,v}  E’ ] W  V [ W’ = V - W  |W’| = |V| - K  u,vV [( u  W’  v  W’)  {u,v}  E’ ] G’ = (V, E’) heeft een clique W’ ter grootte vanK’ = |V| - KR(I) = (G’ =(V ,E’), K’ )is een yes-instantie vanCLIQUE

  9. Een opgave om zelf te doen • W  V is een Dominating Set van G = (V,E) ter grootte van K als • |W| = K en • voor geen enkel tweetal knopen u,v in W geldt: {u,v}  E. • Opgave:Geef een reductie van het vertex cover probleem naar het Dominating Set probleem:Gegeven graaf G= (V,E) en pos. integer K, heeft G een dominating set ter grootte van K?

More Related