,MODUL KULIAH MATEMATIK-1 MODUL-8 APLIKASI DIFERENSIAL

1. ,MODUL KULIAH MATEMATIK-1 MODUL-8 APLIKASI DIFERENSIAL 1) Jumlah dua bilangan positip sama dengan 60. Tentukan bilangan-bilangan tersebut sehingga hasil kali bilangan pertama dengan pangkat tiga bilangan ke dua adalah maksimum Penyelesaian Andaikan bilangan x dan y, maka x + y = 60 atau x = 60 – y. Sedang ditentukan x.y3 harus maksimum. Terdapat : = (60 – y) y3 = (180 – 4y) y2 f (y) f ’ (y) f ” (y) = (360 – 12y) y3 f ’ (y) = 0 , maka : Syarat ekstrim 180 – 4y = 0 atau y = 45 f ” (45) = (360 – 540) 45 = - 8100 < 0 ini berarti maksimum Jadi bilangan-bilangan yang dicari adalah 45 dan 15. 2). Suatubatang AB berat 5 kg danpanjnag x meter dibebani dengan muatan sebesar 30 kg pada jarak 3/2 m dari A. Tentukan panjang AB, agar reaksi di B sekecil- kecilnya, dan berapa besar reaksi tersebut Penyelesaian Misalkan panjang batang AB = x meter Reaksi di B = y kg P = 30 Kg Y = R1 + R2 , dimana : a JURUSAN TEKNIK SIPIL-FTSP UMB http://www.mercubuana.ac.id VIII-1

2. ,MODUL KULIAH MATEMATIK-1 3) Sebuah benda, berat 60 kg, bergerak pada bidang datar (horizontal) oleh karena ditarik dengan gaya G. Gari arah gaya G (serong ke atas) membentuk sudut 0 dengan bidang datar tersebut. Tentukan sudut 0, agar gaya G sekecil-kecilnya, dan berapakah besar gaya G tersebut ? .Fakor geser antara benda dengan bidang adalah f = 0, 1. Penyelesaian : Gaya G pada benda di uraikan menjadi : G1 = G sin 0 G1 G2 = G cos 0 Gaya normal : Gn = 60 – G1 = 60 – G sin 0 G Gg G2 Gn Gaya geser : Gg = f . Gn = 0,1 . (60 – G sin 0 ) = 6 = 0,1 G sin 0 Sedangkan gaya geser Gg = G2, maka : 6 – 0,1 G sin 0 = G cos 0 dG d 0  0 , atau Agar gaya G minimal, maka  60 ,1 cos 0 sin 0  0,1 sin 0 cos 02 dG d 0  JURUSAN TEKNIK SIPIL-FTSP UMB http://www.mercubuana.ac.id VIII-3

3. ,MODUL KULIAH MATEMATIK-1 Maka, terdapat (10 – 2x) 2 – 4x (10 – 2x) = 0 (10 – 2x) (10 – 6x) = 0 5 3 x1 = 5 dan x2 = d 2Vx dx 2  240 60 0. ini berarti terjadi min imum Untuk : x1 5 d 2Vx dx 2 5 3  240 20 , ini berarti  Untuk : x2 terjadi maksimum Jadi luas bujursangkar kecil yang harus dipotong sama dengan : 5 3 5 3 25 9 m2 . 5) Kawat berduri 400 m panjangnya, untuk memagari pekarangan rumah berbentuk segi empat siku-siku. Tentukan ukuran batas pekarangan tersebut, sehingga luasnya maksimum. Penyelesaian : Andaikan batas-batas kebun x dan y, maka luas kebun adalah = x. y Sedang keliling kebun : 2x + 2y = 400 y atau y = 200 – x x Maka terdapat hubungan dalam fungsi luas : Lx x200 x L 'x x 200 x L "x 2 0 , berarti maksimum yang JURUSAN TEKNIK SIPIL-FTSP UMBhttp://www.mercubuana.ac.id VIII-5