ŠTATISTIKA

1. ŠTATISTIKA

2. Základné pojmy • Štatistický súbor • Rozsah súboru • Kvantitatívny znak • Kvalitatívny znak • ARITMETICKÝ PRIEMER • MODUS • MEDIÁN • Grafy -Polygón početnosti a histogram • SMERODAJNÁ ODCHÝLKA • DISPERZIA-ROZPTYL • Štatistická závislosť znakov-KOEFICIENT KORElÁCIE

3. Pr.1 Vypočítajte priemerný prospech žiaka Janka Hraška na konci roka ak dosiahol takéto výsledky z jednotlivých predmetov OBSAH

5. Aritmetický priemer známok je: OBSAH

6. Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M.(napr. množina predmetov, resp.známok) Počet n všetkých prvkov množiny M sa nazýva rozsah súboru.(počet predmetov-známok.....n=7) • Kvantitatívnym znakom súboru M nazývame ľubovoľnú funkciu f, ktorá zobrazuje množinu M do množiny R. (Jednotlivým predmetom priradí známku, teda reálne číslo) (Hodnoty tejto funkcie označme x1, x2, ....xn)

7. ARITMETICKÝ PRIEMER Ak hodnoty množiny M označíme x1, x2, x3 …xn , tak aritmetickým priemerom znaku x je číslo OBSAH

8. Vážený priemer • Absolútna početnosť • Relatívna početnosť

9. Pr 2. V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: • Vypočítajte priemer (vážený) • Modus • Medián • Smerodajnú odchýlku • Zostrojte histogram OBSAH

10. Tabuľky OBSAH

11. Priemer OBSAH

12. MODUS Je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota spomedzi x1, x2, .....xn. Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0 OBSAH

13. MEDIÁN Je prostredná hodnota medzi číslami x1, x2, x3, .......xn ak ich usporiadame podľa veľkosti. Označenie: med(x) Poznámka:Ak rozsah súboru n je párne číslo, potom sú prostredné hodnoty dve a za medián sa berie ich aritmetický priemer. OBSAH

14. Rozptyl a smerodajná odchýlka Okrem charakteristiky polohy je dobré vedieť aj to, nakoľko sa jednotlivé hodnoty od tejto charakteristiky odchyľujú. Na to sa obvykle používa tzv. smerodajná odchýlka resp. rozptyl. OBSAH

15. Def.: Nech x1, x2, ....xn sú všetky hodnoty daného znaku x. Potom sa číslo s nazýva SMERODAJNÁ ODCHÝLKA, pričom: OBSAH

16. Resp.

17. Poznámka: Čím je číslos menšie, tým sú menšie rozdiely a tým sú čísla xi rozmiestnené bližšie okolo aritmetického priemeru.

18. Veta: Interval obsahuje aspoň všetkých členov x1,2, x3, .....xn. OBSAH

19. Druhá mocnina čísla s sa nazýva DISPERZIA alebo ROZPTYL

20. resp. OBSAH

21. Poznámka: Rozptyl, podobne ako smerodajná odchýlka, poukazuje na to, nakoľko sa odchyľujú jednotlivé čísla ( hodnoty štatistického súboru) od priemeru. OBSAH

22. Riešme príklad 2: V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: OBSAH

23. GRAFY

24. PRÍKLADY K13, K 14, K17 OBSAH

25. Štatistická závislosť znakov KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

26. V mnohých prípadoch sa na prvkoch základného súboru sledujú dva znaky X, Y. Jednou z úloh matematickej štatistiky je kvantitatívne charakterizovať „mieru závislosti“ medzi týmito dvoma znakmi ( veličinami- napr. medzi výškou a hmotnosťou študentov)

27. V aplikáciach matematickej štatistiky obľúbenou charakteristikou závislosti je KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

28. Def: • Nech x1, x2, ......xn sú hodnoty znaku X • Nech y1, y2, ......yn sú hodnoty znaku Y vo výberovom súbore • Nech sú aritmetické priemery, resp. disperzie(rozptyly), resp. smerodajné odchýlky týchto znakov vo výberovom súbore, tj.

30. Výraz : sa nazýva KONVARIANCIA znakov X,Y

31. Koeficientom korelácie r je potom hodnota: OBSAH

32. Poznámka: • Koeficient korelácie určuje, do akej miery lineárny vzťah y = ax+b aproximuje (približuje) hodnoty znaku Y hodnotami X. • Zaužívalo sa nasledujúce odstupňovanie tesnosti lineárnej závislosti medzi hodnotami znakov X, Y :

33. Malá, ak • Mierna, ak • Silná, ak

34. Dá sa ukázať, že pre koeficient korelácie platí pričom vtedy a len vtedy, keď závislosť medzi znakmi X, Y je lineárna, t.j keď existujú také čísla a, b že y =ax+b OBSAH

35. Riešme príklad: str. 31-Pr.1 • Vypočítajte koeficient korelácie a charakterizujte mieru väzby medzi výškou a hmotnosťou študentov.

36. Odpoveď Koeficient korelácie je 0,79. Na základe tohto výsledku možno hovoriť o miernej až silnej lineárnej závislosti medzi výškou a hmotnosťou študentov vybraného gymnázia. Domáca úloha

37. Pr. (K20) Osem žiakov z triedy vypočítalo koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou členov svojej rodiny. V tabuľke sú uvedené ich výsledky. Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo? Domáca úloha

38. A) Štyria B) Traja C) Dvaja D) Jeden

39. Správna odpoveď je: Pomýlili sa štyria, teda A) lebo pre koeficient korelácie platí

40. Pr. (K22) V tabuľke sú uvedené výsledky piatich žiakov, testovaných z matematiky a z fyziky. Z každého z testov sa dalo získať maximálne 15 bodov. Z čiastočného spracovania týchto výsledkov vyplýva, že z matematiky získali študenti priemerne 11 bodov, z fyziky 9,2 bodu. Smerodajná odchýlka pri teste z matematiky bola 2,4 bodu, pri teste z fyziky 2,2 bodu. Aký bol koeficient korelácie medzi obidvoma predmetmi? Domáca úloha

41. A) 0,4 B) 0,6 C) 0,8 D) 1

42. Správna odpoveď je: Koeficient korelácie medzi dvoma predmetmi je 0,8 teda C.

43. Domáca úloha: • Matematika-zošit 3 .......Str.32- Pr. 2 • Matematika- zošit 3..........Str.33- cv. 1 • Zbierka..............................str. 56-pr. Zbierka..............................str. 57- pr. 8, 9 • Matematika strednej školy v testoch 2.časť.......str.94/ K20, K22

44. Spracoval: Mgr. Róbert Janok Boli použité aj príspevky študentov: Michal Bošiak-oktáva v šk. roku 2005/06 (úlohy K13,K14, K17-spracované v exeli) Gymnázium Sečovce, Kollárova 17