ŠTATISTIKA

1. ŠTATISTIKA

2. Základné pojmy • Štatistický súbor • Rozsah súboru • Kvantitatívny znak • Kvalitatívny znak • ARITMETICKÝ PRIEMER • Geometrický, Harmonický priemer • MODUS • MEDIÁN • Grafy -Polygón početnosti a histogram • SMERODAJNÁ ODCHÝLKA • DISPERZIA-ROZPTYL • Štatistická závislosť znakov-KOEFICIENT KORElÁCIE

3. Pr.1 Vypočítajte priemerný prospech žiaka Janka Hraška na konci roka ak dosiahol takéto výsledky z jednotlivých predmetov OBSAH

5. Aritmetický priemer známok je: OBSAH

6. Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M.(napr. množina predmetov, resp.známok) Počet n všetkých prvkov množiny M sa nazýva rozsah súboru.(počet predmetov-známok.....n=7) • Kvantitatívnym znakom súboru M nazývame ľubovoľnú funkciu f, ktorá zobrazuje množinu M do množiny R. (Jednotlivým predmetom priradí známku, teda reálne číslo) (Hodnoty tejto funkcie označme x1, x2, ....xn)

7. ARITMETICKÝ PRIEMER Ak hodnoty množiny M označíme x1, x2, x3 …xn , tak aritmetickým priemerom znaku x je číslo OBSAH

8. Vážený priemer • Absolútna početnosť • Relatívna početnosť

9. Pr 2. V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: • Vypočítajte priemer (vážený) • Modus • Medián • Smerodajnú odchýlku • Zostrojte histogram OBSAH

10. Tabuľky OBSAH

11. Priemer OBSAH

12. Geometrický priemer

13. Harmonický priemer

14. Pr. Vypočítajte AP, VP, GP, HP daného štatistického súboru: • 2, 3, 5, 7, 9 • 3, 4, 5, 8, 10, 11, výsledky

15. MODUS Je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota spomedzi x1, x2, .....xn. Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0 OBSAH

16. MEDIÁN Je prostredná hodnota medzi číslami x1, x2, x3, .......xn ak ich usporiadame podľa veľkosti. Označenie: med(x) Poznámka:Ak rozsah súboru n je párne číslo, potom sú prostredné hodnoty dve a za medián sa berie ich aritmetický priemer. OBSAH

17. Grafické znázornenie štatistického súboru Histogram Spojnicový diagram Kruhový diagram

18. HISTOGRAM Je stĺpcový diagram, tvorený obdĺžnikmi, ktorých obsahy sú úmerné príslušným početnostiam, ktorých strana na osi x = hodnota znaku, strana na osi y = jeho početnosť.

19. Úloha 1: Znázornite pomocou histogramu hodnoty daného štatistického súboru. ( xj je výška chlapcov)

20. Polygón početnosti = Spojnicový diagram polygón početnosti = spojnicový diagram, získame spojením bodov, u ktorých: súradnica x je hodnota sledovaného znaku, súradnica y = jeho početnosť, t.j. bodov

21. Úloha 2: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor.

22. Kruhový diagram diagram tvorený kruhom rozdelený, na kruhové výseky. Počet výsekovzodpovedá počtu štatistických tried. Veľkosti stredových uhlov týchto výsekov sú priamo úmerné početnosti daného znaku.

23. Úloha 3: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor.

25. PRÍKLADY K 13, K14, K17 OBSAH

26. Príklady K12, K14

27. Rozptyl a smerodajná odchýlka Okrem charakteristiky polohy je dobré vedieť aj to, nakoľko sa jednotlivé hodnoty od tejto charakteristiky odchyľujú. Na to sa obvykle používa tzv. smerodajná odchýlka resp. rozptyl. OBSAH

28. Def.: Nech x1, x2, ....xn sú všetky hodnoty daného znaku x. Potom sa číslo s nazýva SMERODAJNÁ ODCHÝLKA, pričom: OBSAH

29. Resp.

30. Poznámka: Čím je číslos menšie, tým sú menšie rozdiely a tým sú čísla xi rozmiestnené bližšie okolo aritmetického priemeru.

31. Veta: Interval obsahuje aspoň všetkých členov x1,2, x3, .....xn. OBSAH

32. Druhá mocnina čísla s sa nazýva DISPERZIA alebo ROZPTYL

33. resp. OBSAH

34. Poznámka: Rozptyl, podobne ako smerodajná odchýlka, poukazuje na to, nakoľko sa odchyľujú jednotlivé čísla ( hodnoty štatistického súboru) od priemeru. OBSAH

35. Riešme príklad 2: V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: OBSAH

36. Smerodajná odchýlka Výpočet Tabuľka Kalkulačka

37. Štatistická závislosť znakovZošit 3/str. 30 -33 KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

38. V mnohých prípadoch sa na prvkoch základného súboru sledujú dva znaky X, Y. Jednou z úloh matematickej štatistiky je kvantitatívne charakterizovať „mieru závislosti“ medzi týmito dvoma znakmi veličinami napr. medzi výškou a hmotnosťou študentov,

39. V aplikáciach matematickej štatistiky obľúbenou charakteristikou závislosti je KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

40. Def: • Nech x1, x2, ......xn sú hodnoty znaku X • Nech y1, y2, ......yn sú hodnoty znaku Y vo výberovom súbore • Nech sú aritmetické priemery, resp. disperzie(rozptyly), resp. smerodajné odchýlky týchto znakov vo výberovom súbore, tj.

42. Výraz : sa nazýva KONVARIANCIA znakov X,Y

43. Koeficientom korelácie r je potom hodnota: OBSAH

44. Poznámka: • Koeficient korelácie určuje, do akej miery lineárny vzťah y = ax+b aproximuje (približuje) hodnoty znaku Y hodnotami X. • Zaužívalo sa nasledujúce odstupňovanie tesnosti lineárnej závislosti medzi hodnotami znakov X, Y :

45. Malá, ak • Mierna, ak • Silná, ak

46. Dá sa ukázať, že pre koeficient korelácie platí pričom vtedy a len vtedy, keď závislosť medzi znakmi X, Y je lineárna, t.j keď existujú také čísla a, b že y =ax+b OBSAH

47. Pr. (K20) Osem žiakov z triedy vypočítalo koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou členov svojej rodiny. V tabuľke sú uvedené ich výsledky. Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo? Domáca úloha

48. A) Štyria B) Traja C) Dvaja D) Jeden

49. Správna odpoveď je: Pomýlili sa štyria, teda A) lebo pre koeficient korelácie platí t. j.

50. Riešme príklad: str. 31-Pr.1 • Vypočítajte koeficient korelácie a charakterizujte mieru väzby medzi výškou a hmotnosťou študentov.