Congruência de Triângulos

1. Congruência de Triângulos SEAM 17/03/2014

2. Temos que dois triângulos são congruentes: • Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos. • Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

3. Casos de congruência:

4. 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes. 1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

5. 2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

6. 3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

7. 4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

8. Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração. Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

9. Pontos Notáveis de um Triângulo

10. CevianasNotáveis As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura. O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes 

11. Definição de Ceviana: é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.

12. Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por MaeMb, respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por mae mb.

13. Mediana e Baricentro Num triângulo ABC, marquemos , ponto médio do lado BC.

14. Tracemos o segmento :

15. O segmento é uma mediana do triângulo ABC. Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

16. Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são: • , mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A; • , mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B; • , mediana relativa ao lado AB ou vértice C.

17. As três medianas de um triângulo encontram-se num ponto chamado baricentro do triângulo.

18. Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC. Bissetrizes e incentro. Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao ângulo Â. Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.

19. Destaquemos o segmento AS1. O segmento AS1 é uma bissetriz do triângulo ABC.

20. Observe que: • O segmento AS1 está contido na semirreta As (bissetriz do ângulo Â); • S1 é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo Â.

21. Bissetrizde um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Um triângulo em três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são: • As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A; • BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vértice B; • CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice.

22. As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num ponto chamado incentro do triângulo. Na figura, S é o incentro do triângulo ABC.

23. Alturas e ortocentro Num triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC. Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:

24. Destaquemos o segmento AH1: O segmento AH1 é uma altura do triângulo ABC. O ponto H1 é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 também é chamado pé da altura.

25. Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vértice oposto a esse lado. Um triângulo tem três alturas. Observe:

26. Nas figuras acima, as três alturas são: • AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A; • BH2, altura relativa ao lado AC ou ao vértice B; • CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.

27. As três alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo. Nas figuras, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo ABC é obtusângulo).

28. Mediatrizes e circuncentro Num triângulo ABC, tracemos a reta perpendicular ao lado BC e passando por , ponto médio de BC. A Reta é a mediatriz do lado BC.

29. Um triângulo em três mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as três mediatrizes são: • , mediatriz de BC; • , mediatriz de AC; • , mediatriz de AB.

30. As três mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do triângulo. Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC.

31. EXERCÍCIOS

32. 1- No triângulo, determine • os valores de x e y:

33. 2. Um triângulo tem dois de seus ângulos medindo 46° e 112° , respectivamente. Qual a medida do terceiro ângulo desse triângulo?

34. 4. Determine, na figura abaixo, as medidas x, y e z indicadas:

35. 5- Um triângulo é isósceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm. • Que medidas pode ter o terceiro lado?

36. 6- Se AS é bissetriz do triângulo ABC determine  e B nos casos:

37. 7- Calcule o valor de x nas figuras:

38. 8 -O segmento de reta s do triângulo abaixo é:  a) Mediana  b) Bissetrizc) Alturad) Incentro

39. 9 -  O segmento de reta M do triãngulo abaixo é:a) Mediana  b) Bissetrizc) Alturad) Incentro

40. 10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H?a) Medianab) Bissetrizc) Alturad) Ângulo 

41. 11 - Marque V para verdadeiro e F para falso(   ) Existe a possibilidade de desenhar um triângulo cuja medidas dos lados são respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm.(   ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

42. (   ) Altura é segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. (   )Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais.

43. (   )Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.