INTEGRALES MULTIPLES Integrales dobles sobre rectàngulos Propiedades Càlculo Teorema de Fubini

1. INTEGRALES MULTIPLES Integrales dobles sobre rectàngulos Propiedades Càlculo Teorema de Fubini Cambio de variable La transformaciòn a coordenadas polares Aplicaciones de las integrales dobles ROSA N. LLANOS VARGAS

2. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

4. ||P||= máx { diagonales de , i = } Sea ( . Consideremos el prisma que tiene por base el rectángulo y altura f ( ; entonces el volumen del prisma será

5. La suma de Riemann sobre R, es Si ||P||0 , entonces el volumen del sólido es Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la integral doble de f sobre R ,es Si el límite existe. R se llama dominio de integración

6. En general si D es una región acotada del plano y si f es una función continua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es el del límite (1). Teorema. Si f es una función continua sobre la región acotada D del Plano, entonces f es integrable sobre D. Definición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = f(x , y) Cuya base es el conjunto acotado D es,

7. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D Linealidad Monotonía: 4. Si f(x,y) g(x , y ) sobre D entonces

8. Aditividad Si D = son acotados, entonces Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces Teorema del valor medio .- Si f : es continua entonces en el punto , tenemos: donde A(D) es el área de la región D

9. CÁLCULO DE LAS INTEGRALES DOBLES INTEGRALES ITERADAS. Si D = [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua manteniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con respecto a y , se tiene llamada integral iterada de f Además =

12. TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b]x[c, d] Entonces 2. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R. Y X

13. 3. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.

14. NOTA- si f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces

15. CAMBIO DE VARIABLE Si f es una función continua definida sobre la región acotada S de en R y si T es una transformación continua definida sobre una región acotada D de en S; tales que existe T f D S (u, v ) ( x , y) z T: , f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v )) De donde,

16. El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es Entonces dA = dxdy = |J(u,v)|dudv De allí que

17. LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES T: = De allí que Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece en el integrando o en los límites de integración.

18. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE Si f : D es continua sobre la región acotada D. 3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la frontera S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.

19. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE 4. Masa. Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad en cada punto P(x,y) es Entonces la masa de la lámina es: 5. Centro de masa .

20. Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes: 1) En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4π ; es decir 0≤x ≤ y 0≤ y ≤ 4π Y = 4π x = y Luego, 0 X = -4π Cambiando el orden de la integración: 0≤x ≤ 4π , x ≤ y ≤ 4π = = = - ( x – senx ) = - 4

22. II. Si Graficar la región D b) Calcular como una sola integral III: Efectuar un cambio de variable para calcular Sea la transformación T: y J(u,v) = 2 X+2Y=4 Por otro lado, transformando D, x= 0 , y 0 4 x V = -u , u = -2y , luego u ∈ [-4, 0 ]

23. b) y = 0 , x∈ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego u∈ [0, 4 ] V x + 2y = 4 4 Pero 0 ≤ x≤4 , y , x= = v=- u v = u Entonces 0 ≤ 0 U = 4(1-cos1)

24. INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS Si f : R ⇾ IR es una función continua sobre R siguiendo el método del cálculo integral, luego de definir una partición sobre cada uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ] , [ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectiva- mente, entonces R queda dividido en mnl pequeños paralelepípedos de la forma B ijk = [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ] Cuyo volumen es Δijk V= Δi x Δj y Δk z

25. INTEGRAL TRIPLE

26. INTEGRAL TRIPLE

27. PROPIEDADESDE LA INTEGRAL TRIPLE Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene: donde Q = . y se llaman «solapamientos»

28. CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA dV

29. EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces

30. REGIONES DE INTEGRACIÓN 1. Si R : La región de integración R ,es proyectada Sobre el plano XY.

31. Y=f(x,z) X= f(y,z)

32. Ejemplo 1

33. Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces y = -2 y x

34. Ejemplo 2 Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral 0 0 x y 0 z 1 -

35. TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES Si suponemos que la región de integración es de la primera forma Q: a

36. Cambio de Variable ,y)

37. CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

38. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

39. COORDENADAS CILINDRICAS rcos rsen

40. CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

41. DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS

42. La integral triple en coordenadas cilíndricas

43. Coordenadas Esféricas X= F(, , )

44. CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS

45. DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS

47. z = 1 -