ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Para calcular el área de un cuerpo geométrico realizaremos el desarrollo plano de la figura, calculando las distintas áreas por separado y sumándolas al final.

Antes de comenzar, tenemos que repasar el Teorema de Pitágoras, puesto que va a aparecer en algunos de estos problemas. Pero no sólo aparecerá sobre un plano, como estamos acostumbrados, sino que también aparecerá en el espacio.

Para hallar la distancia D podemos aplicar lo siguiente: Habrá ocasiones en que no se presente de esta forma y tengamos que considerar triángulos por separado en distintos planos para calcular las longitudes necesarias.

Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara

20 cm Ejemplo: Área de un PRISMA A = 2·Abase + nºcaras · Acara Teorema de Pitágoras 42 = Ap2 + 22 12 = Ap2 Ap = 3’464 cm 4 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm Ap 24 x 3’464 2 Área de la base = = 41’569 cm2 2 cm Área de una cara = 20 x 4 = 80 cm2 Atotal = 41’569 · 2 + 6 · 80 = 563’138 cm2

Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara Nota: La altura de la pirámide no coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.

15 cm Ejemplo: Área de una PIRÁMIDE A = Abase + nºcaras · Acara 5’505 cm perímetro x apotema 2 Área de la base = 4 cm 20 x 5’505 2 Área de la base = = 55’05 cm2 h 15 cm Teorema de Pitágoras h2 = 152 + 5’5052 h2 = 255’3109 h = 15’978 cm 5’505 cm 15’978 x 4 2 Área de una cara = = 31’956 cm2 Atotal = 55’05 + 5 · 31’956 = 214’83 cm2

Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Abase mayor + Abase menor + nºcaras· Acara Nota: En este caso, tampoco la altura de la pirámide coincide con la altura de los triángulos que forman las caras.

2 cm 10 cm Ejemplo: Área de un TRONCO DE PIRÁMIDE A = Ab mayor + Ab menor + nºcaras · Acara Área de la base mayor = 4 x 4 = 16 cm2 2 cm 4 cm Área de la base menor = 2 x 2 = 4 cm2 h Teorema de Pitágoras h2 = 102 + 12 h2 = 101 h = 10’05 cm 10 cm 4 cm (4 + 2) x 10’05 2 Área de una cara = = 30’15 cm2 h 10 cm Atotal = 16 + 4 + 30’15 x 4 = 140’60 cm2 1 cm

r Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral Abase = π r2 Alateral = 2πr · h h h 2 π r r

3 cm Ejemplo: Área de un CILINDRO A = 2·Abase + Alateral 12 cm Área de la base = π r2 = 9π cm2 Área lateral = 2 π r h = 2 π 3 · 12 = 72 π cm2 Atotal = 2·9π + 72π = 90π cm2 = 282’743 cm2

Área de un CONO A = Abase + Alateral Abase = π r2 Alateral = π r g A = π r2 + π r g

Ejemplo: Área de un CONO A = Abase + Alateral Área de la base = π r2 = 9π cm2 Datos r = 3 cm h = 10 cm Teorema de Pitágoras g2 = 102 + 32 g2 = 109 g = 10’44 cm Área lateral = π r g = π 3 · 10’44 = 31’132 π cm2 Atotal = 9π + 31’132π = 40’132π cm2 = 126’08 cm2

Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral Abase menor = π r2 Abase mayor = π R2 Alateral = π g (R + r) A = πR2 + πr2 + πg(R+r)

Ejemplo: Área de un TRONCO DE CONO A = Abase mayor + Abase menor + Alateral Abase mayor = π R2 = 64π cm2 Abase menor = π r2 = 4π cm2 Alateral = π g (R + r) = π 10 (8 + 2) cm2 Alateral = 100 π cm2 Teorema de Pitágoras g2 = 62 + 82 g2 = 100 g = 10 cm Atotal = 64π + 4π + 100π = 168π cm2 Atotal = 527’78 cm2

VOLUMEN DE UN CUERPO Principio de Cavalieri

Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h Ejemplo de volumen de un prisma Abase = 32 = 9 cm2 V = 9 cm2 · 5 cm = 45 cm3

Volumen de PRISMAS y CILINDROS V = Abase · h Ejemplo de volumen de un cilindro Abase = π r2 = 9π dm2 V = 9π dm2 · 5 dm = 45π dm3 V= 141’372 dm3

1 3 Volumen de PIRÁMIDES Y CONOS V = Abase · h Ejemplo de volumen de un cono Abase = π r2 = π 152 = 225π cm2 V= (1/3) 225π cm2 · 13’229 cm V= (1/3) 2976’47π cm3 = 992’16π cm3 V= 3116’96 cm3 Teorema de Pitágoras g2 = r2 + h2 202 = 152 + h2 175 = h2 h = 13’229 cm

4 3 Área y Volumen de una ESFERA A = 4 π r2 V = π r3 Ejemplo de área y volumen de una esfera: A= 4 π r2 = 4 π 102 = 400π m2 = 1256’637m2 V= (4/3) π 103 m3 = (4/3) 1000 π m3 V= 1333’333 π m3 = 4188’789 m3

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