VETORES uma abordagem geométrica

1. VETORESuma abordagem geométrica José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro

2. Grandezas

3. Um vetor é representado por uma flecha (segmento orientado) B A Podemos indicar um vetor por: ou melhor, Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

4. Exemplo: Dados os vetores: é o oposto de , pois esses vetores tem o mesmo tamanho e direção e sentidos opostos.

5. Adiçãodevetores

6. (i) Vetor nulo (ii) Quando , ou seja, quando e tem a mesma direção, a soma poderá ser representada como: Seja e vetores não nulos. (a) (b)

7. (c) (iii) Quando e não são paralelos: Seja: Então , será:

8. (a) (b) Considerando ainda, os vetores e apresentados acima, a soma poderá ser representada como:

9. Regra prática: Escolhem-se flechas consecutivas representantes de , e , e “fecha-se o polígono”. Esta regra se generaliza para uma quantidade qualquer de vetores, e também para o caso em que as fechas são colineares.

10. Propriedades da adição de vetores: • Propriedade associativa: • Propriedade comutativa: • Elemento neutro: • Elemento oposto:

11. Exemplo: Ache a soma dos vetores representados na figura: a) b) Resolução: Cada flecha parte da origem da flecha anterior, a soma será representada, em ambos os casos, pela flecha que vai de a , ou seja, a soma é o vetor .

12. Exemplo: Qual a soma dos vetores indicados na figura? Resolução: A soma é , pois a “flecha” que “fecha o polígono” tem origem e ponta coincidentes: Observação: Se cada flecha começa na ponta anterior e o “polígono” já é fechado, então a soma é .

13. Exemplo: Os vetores , , estão representados na figura. Represente o vetor por uma flecha de origem . Resolução:

14. Suponha que e não são paralelos. Escolha números não-nulos e e considere . É possível que ? Isto sugere que se e . é impossível que Se tentarmos fazer , então fica , e daí, como , teríamos . Se e não são paralelos, a relação só se verifica para . De fato se , então da relação viria que e e seriam paralelos, contra a hipótese.

15. Exercícios: 1. Justifique a seguinte regra pra determinar o vetor . : tomam-se representantes consecutivos, isto é, a origem de cada um coincidindo com a extremidade do anterior, e “fecha-se o polígono”.

16. b) Mostre que a regra do item a) vale para quatro e para cinco parcelas (é possível demonstrá-la para um número qualquer de parcelas usando o Princípio de Indução Finita ).

17. c) Determine a soma dos vetores indicados em cada caso da figura. Soma: Soma: Soma: Soma:

18. 2. Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da figura. é um paralelepípedo. e são cubos de arestas congruentes. O cubo tem o centro e está dividido em oito cubos congruentes por planos paralelos às faces.

19. 3. Os hexágonos na figura são regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores indicados.

20. 4- Desenhe um representante da soma dos vetores indicados na figura sobre hexágonos regulares.

21. 5- A figura mostra um hexágono regular de centro . Verifique que: