ZAMAN SERİLERİ EKONOMETRİSİ I : DURAĞANLIK, BİRİM KÖKLER

1. ZAMAN SERİLERİ EKONOMETRİSİ I :DURAĞANLIK, BİRİM KÖKLER

2. ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR • Model tahminleri birtakım amaçlar için yapılır: • Bu amaçlar, yapısal analiz, • Geleceği tahmin etme (öngörü)dir. • Yapısal analiz, iktisadi teorilerin test edilmesi, • Geleceği tahmin etme(Öngörü) ise, tahmin edilen modele dayanarak, bağımlı değişkenlerin ileride alacağı değerlerin belirlenmesidir.

3. ZAMAN SERİLERİ VE TEMEL KAVRAMLAR Zaman serileri random (tesadüfi) değişkenlerle yani stokastik (olasılık kurallarına bağlı) değişkenlerle çalışır. • Bir zaman serisinin deterministik ya da stokastik özelliklerinin incelenerek dikkate alınması önemlidir. • Deterministik özellikler; sabitkatsayı, trend ve mevsimselliğin varlığını ortaya koyarken,

4. Stokastik özellik; değişkenin durağanlığı (stationary) ile ilgilidir. Bir zaman serisinin durağan olması, zaman içinde belirli bir değere doğru yaklaşması, daha açık bir ifadeyle, sabit bir ortalama, sabit varyans ve gecikme seviyesine bağlı kovaryansa sahip olmasıdır.

5. Durağanlık; Zaman serisi verilerinin belirli bir zaman sürecinde sürekli artma veya azalmanın olmadığı, verilerin zaman boyunca bir yatay eksen boyunca saçılım gösterdiği biçimde tanımlanır. • Genel bir tanımlama ile, sabit ortalama, sabit varyans ve seriye ait iki değer arasındaki farkın zamana değil, yalnızca iki zaman değeri arasındaki farka bağlı olması şeklinde ifade edilir.

6. Zaman serisi ile ilgili yapılan çalışmalar serinin DURAĞAN olduğunu varsayar. • Bir zaman serisinin, başka bir zaman serisine göre regresyonunu hesaplarken, ikisi arasında anlamlı bir ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek bir R2 bulunur. Bu durum SAHTE REGRESYON sorununa yol açmaktadır.

7. Bir zaman serisinde durağanlık kavramı farklı şekilde ortaya çıkabilir: • Ortalama Durağanlık • Varyans Durağanlık • Fark Durağanlık • Trend Durağanlık

8. ÖRNEK-1: ABD,1970/I – 1991/IV Dönemine İlişkin Makro iktisat Verileri • GSYİÜ = Gayrisafi Yurtiçi Üretim (GDP) • KHG = Kişisel Harcanabilir Gelir (PDI) • KTH = Kişisel Tüketim Harcaması (PCE) • Karlar (profit) • Kar Payı Dağıtımları (dividends)

12. Bu zaman serileri aslında durağanolmayan zaman serilerine örnektir. • Her zaman serisinin bir olasılıklı ya da rassal süreç ile türediği düşünülebilir. • Veri kümesi ise bu olasılıklı süreçin bir dışavurumudur. • Zaman serileri çalışmalarında ilgi gösterilen ve incelenen bir olasılıklı süreç türü, durağan olasılıklı süreçtir.

13. Durağanlık Kavramı E(Yt) = µ (tüm t’ ler için) Var(Yt) = E(Yt-µ)2=σ2 (tüm t’ ler için) Cov(Yt,Yt+k)= γk sabit (tüm t’ ler için tüm k≠0 için) Eğer bir zaman serisinin ortalaması,varyansı ve kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir. Yukarıdaki tanımlardan herhangi birini sağlamayan bir zaman serisinin durağan olmadığını söyleyebiliriz.

14. Durağan Olmama Durumu Xt Xt t t

15. Durağan Olmama Durumu Xt t

18. Durağanlığın Gerekliliği Bir regresyon denklemindeki açıklayıcı değişkenlerden her hangi birisi yukarıda tanımlandığı anlamda durağan olmadığında regresyon teorisi bozulur. Klasik regresyon modeli durağan değişkenler arasındaki ilişkilerde kullanılmak için keşfedilmiştir. Bu nedenle durağan olmayan serilere uygulanmamalıdır.

19. Zaman Serilerinin Durağanlığının Araştırılması Bir zaman serisinin durağan olup olmadığının ortaya çıkarılması için iki yol vardır: • Serilerin zaman yolu grafiğinde ve onun korelogramında otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları üzerinde yapılan subjektif yargılara dayanmak, • Birim köklerin varlığını için istatistiki testlerin kullanılması.

20. OtokorelasyonFonksiyonu (ACF) • Bir değişken zaman boyunca ölçüldüğünde serideki veriler bir ya da daha fazla gecikmeli dönemlerden etkilenerek çok sık korelasyonlu oldukları gözlenir. • Herhangi iki değişkenin değerleri arasında birlikte değişimin ölçüsü olarak kovaryans ve korelasyon katsayılarının hesaplama mantığına dayanan, bir zaman serisi gözlemlerinin gecikmeli değerleri arasında da kovaryans ve korelasyon katsayısı hesaplanabilir. Tek bir zaman serisi değişkeninin gecikmeli değerleri arasında birlikte değişimin bir ölçüsü otokovaryans ve otokorelasyon (ACF) olarak adlandırılır.

21. (Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) • Basit durağanlık sınaması, ACF’na dayanır. Gecikmesi k iken ρk ile gösterilen ACF şöyle tanımlanır: • k=0 iken ρk =1 olur, Neden? • ρk’nın k’ye göre çizilmesiyle anakütle korelogramı elde edilir.

22. Örneklem ACF • Örneklem Ortak Varyansı • Örneklem Varyansı

23. ABD, 1970/I – 1991-IV arası döneme ilişkin GSYİÜ serisine ilişkin korelogram

24. OTOKORELASYON KATSAYISININ İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIĞININ TESTİ • Herhangi bir nin istatistik bakımından anlamlılığı, standart hatasıyla belirlenir. • Bartlett, bir zaman serisi bütünüyle rassal ise (beyaz gürültü) örneklem Ootokorelasyon katsayılarının sıfır ortalama ve 1/n varyansla yaklaşık normal dağıldığını söyler. • n=88, varyans 1/88 ve standart sapma . rk nın %95 güven aralığı

25. Tahmin edilen rk (-0.2089, 0.2089 ) aralığına düşerse gerçek rk’nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddetmeyiz. Dışına düşerse gerçek rk’nın sıfır olduğunu söyleyen hipotezi reddederiz. %95 güven aralığı şekilde (korelogram) iki kesiksiz çizgiyle gösterilmiştir.

26. Hipotezi bu aralığı dayanılarak test edilir.

27. Q istatistiği • Bütün ρk otokorelasyon katsayılarının eşanlı olarak sıfır olduğunun test edilmesinde kullanılır.Box ve Pierce tarafından geliştirilmiştir. • Q istatistiği asimptotik olarak m serbestlik derecesi ile Ki-kare dağılır. • n:örneklem büyüklüğü (örnekte 88 dir) • m:gecikme uzunluğu (örnekte 25 dir)

28. Q test istatistiği=792.98 a=0.05 m=25 gecikme için ki – kare tablo değeri=37.6525 dir. H0 reddir.Yani seri durağan değildir.

29. Q istatistiğinin bir başka biçimi Ljung-Box(LB) istatistiğidir : 25 gecikme için GSYİÜ serisine ait istatistikler : Q=793 ve LB= 891 olarak bulunmuştur Bu her iki istatistik değeri ki-kare değerinden oldukça büyüktür. Böylece H0 hipotezi reddedilir, GSYİÜ zaman serisi durağan değildir.

30. DURAĞANLIĞIN BİRİM KÖKLE SINANMASI Dickey ve Fuller Birim Kök Testi Basit bir seride birim kökün varlığını araştıran sistematik test Dickey ve Fuller tarafından ortaya konan bir testtir. Sürecinde birim kökün varlığı araştırıldığında hipotez aşağıdaki gibi oluşturulur.

31. ut : ortalaması sıfır, varyansı değişmeyen, ardışık bağımlı olmayan, olasılıklı hata terimidir. Bu hata terimi “beyaz gürültü hata terimi” olarak anılmaktadır.  İstatistiğinin eşik değerleri Dickey – Fuller tarafından belirlenmiştir. Eğer hesaplanan-t değeri, 0.01, 0.05 ve 0.10 kritik-t değerlerinden daha negatifse H0 reddedilir ve serinin durağan olduğuna karar verilir.

32. eşitlik çoğunlukla aşağıdaki biçimde de yazılabilir: Eşitliğin her iki tarafı Yt-1 den çıkarılırsa

33. Dickey-Fuller birim kök sınaması için üç model kullanılır. 1. Pür Rassal Yürüyüş Modeli:Bu model trendin ve sabitin yer almadığı modeldir. Bu modellerde sabitin ve deterministik trendin etkisinin olmadığı varsayılır. şeklindeki hipotez test edilir.

34. 2. Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli:Modelde sabit yer almaktadır. Bu zaman serilerinde deterministik trendin etkisinin olmadığı varsayılır. şeklindeki hipotezler test edilir.

35. 3. Trend ve Sabitin Yer Aldığı Rassal Yürüyüş Modeli:Eşitliğin sağ tarafında sabit ve deterministik trend birlikte yar almaktadır. Yani model tüm deterministik bileşenleri ve stokastik kısmı içermektedir. • Seri hakkında fazla bir bilgi yoksa 3. modelden başlanarak ilgili kritik değerlerle hipotez sınanır ve • Eğer H0 reddedilirse serinin trend durağan I(0) olduğuna karar verilir. • H0 hipotezi kabul edilirse de birim kökün varlığına karar verilir.

36. GDP(GSYİÜ) Zaman Serisi Durağan mı? H0: d=0 yani ρ=1 %1, %5 ve %10 için kritik değerler : -3.5064, -2.8947, -2.5842  -0.2191 kritik değerlerden daha negatif olmadığı için GSYİÜ birim kök taşır

37. GSYİÜ Serisinin İlk Farkları Durağan mı? %1 için kritik değer -3. 5073 olduğundan -6.6303 ile karşılaştırıldığında mutlak terim itibariyle H0 red edilebilir. Yani GSYİÜ verilerinin ilk farkları birim kök taşımaz, durağandır

39. Trend Durağan Süreçler ve Farkı Durağan Süreçler • Trend durağanlık: • Zaman serilerinde durağan olmamanın bir sebebi de serinin bir deterministik trende sahip olmasıdır. Zaman serisi modelinde deterministik trend serinin durağan olmasını engellemektedir. • Bir zaman serisinde trend; tamamen tahminlenebiliyor ve zamana bağlı olarak değişmiyorsa bu tür trendlere deterministik trend; • Eğer tahminlenemiyor ise stokastik trend denir.

40. modelinde Trend durağan süreçtir. Durağan olmayan rassal yürüyüş(b3=1) ve deterministik trendli bir modeldir. Durağan ve deterministik trendli bir modeldir.

41. Trend Çizgisi Trendin deterministik mi yoksa stokastik mi olduğunu anlamak için; bir sabit terim ve trend değişkeninin olmadığı modeli, sadece sabit terimli model ve son olarak da hem sabit hem de trend değişkenli olmak üzere üç model kurularak katsayı işaretleri incelenir.

42. Seri durağan değildir. ΔGDPt = 0.00576GDPt−1 (1) t = (5.7980) ΔGDPt = 28.2054 − 0.00136GDPt−1 (2) t = (1.1576) (−0.2191) ΔGDPt = 190.3857 + 1.4776t − 0.0603GDPt−1 (3) t = (1.8389) (1.6109) (−1.6252) Seri durağan değildir. Birim kök vardır. Trend katsayısı istatistiksel olarak anlamlı değil o zaman deterministik trend yok. Birim kök vardır. Seri durağan değildir. • model için Kritik değerler %1, %5,ve %10 için τ değerleri −2.5897, −1.9439, ve −1.6177, • model için −3.5064, −2.8947, ve −2.5842 • 3. model için −4.0661, −3.4614, ve −3.1567 dir. Eğer H0 hipotezi reddedilseydi serinin trend durağan olduğuna karar verilecekti.

43. Eğer, bir zaman serisinin birinci farkları durağan ise başlangıç (rassal yürüyüş) serisi 1.dereceden bütünleşiktir, I(1) Eğer, durağan bir seriye ulaşmadan önce ilk serinin iki kez farkı alınıyorsa, ilk seri 2.dereceden bütünleşiktir, I(2) Eğer bir zaman serisinin d kez farkının alınması gerekiyorsa, o seri d’inci dereceden bütünleşik ya da I(d)’dir. Bütünleşik Zaman Serileri

44. ÖRNEK: 1991: 01- 2004: 02 dönemine ilişkin üçer aylık toptan eşya fiyatindeksi serisinin durağan olup olmadığını birim kök testi ile araştırınız.

45. Serinin logaritmasının alınması ile serinin değerleri arasındaki farklar azalacağından kısmen serinin durağanlaşmasını sağlayacaktır. O yüzden TEFE değişkenin logaritması alınarak işleme başlayabiliriz. Grafiksel analiz Grafiksel görünüm ilk başta serinin ele alınan dönem içinde ortalamasının sabit olmadığı izlemini vermektedir.

46. Serinin Otokorelasyon Katsayılarının İncelenmesi(ACF)

47. Otokorelasyon katsayıları incelendiğinde yaklaşık 15. gecikmeye kadar %95 güven düzeyinde otokorelasyon olmadığını söyleyen kabul bölgesinin dışına çıktığı dolayısıyla seride otokorelasyon görünümünün olduğunu göstermektedir. Birim Kök Testi:

48. H0 kabul. Seri durağan değildir. Birim kök vardır Trendli ve Sabit terimli model

49. H0 kabul. Seri durağan değildir. Birim kök vardır. Sabit terimli model

50. H0 kabul. Seri durağan değildir. Sabit terimsiz model