Właściwości energetyczne sygnałów

1. Właściwości energetycznesygnałów • Definicja energii i mocy sygnału • Energia sygnału w dziedzinie częstotliwości • Moc sygnału w dziedzinie częstotliwości • Zmienna losowa, proces losowy • Analiza widmowa procesów losowych • Podsumowanie, przykłady „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

2. R = 1  E i(t) = x(t) u(t) = x(t) Definicja energii sygnału Sygnał nazywamy energetycznym,jeżeli E < . „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

3. P = E/T i(t) = x(t) R = 1  u(t) = x(t) Definicja mocy sygnału Sygnał nazywamy sygnałem mocy,jeżeli P < . „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

4. v(t) t0 t0 + T T Uśrednianie po czasie Uśrednianie po czasie zastępuje wielkość fluktuującąwielkością stałą równoważną w sensie całki oznaczonej. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

5. Moc sygnału okresowego Moc sygnału okresowego jest równa jego mocy za jeden okres. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

6. Moc sygnału okresowego -sygnał harmoniczny „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

7. Energia sygnałuw dziedzinie częstotliwości Twierdzenie Parsevala Widmowa gęstość energii (widmo gęstości energii): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

8. Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

9. Funkcja korelacji dla sygnału energetycznego Widmowa gęstość energii dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją parzystą: Funkcja korelacji jest parzysta: Funkcja korelacji jest ograniczona z maksimum R(0): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

10. Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

11. Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów Nierówność Schwarza „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

12. Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów Z nierównościSchwarza: wynika: Współczynnik  jest określany jako współczynnik korelacjiczyli podobieństwa sygnałów x(t) oraz (t). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

13. Funkcja korelacji jako miarapodobieństwa sygnałów Analiza korelacji (podobieństwa) może uwzględniaćprzesunięcie sygnałów względem siebie. Funkcja interkorelacji sygnałów x(t) oraz (t): Funkcja autokorelacji sygnału x(t): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

14. Funkcja korelacji i widmowa gęstość energii - filtracja Widmowa gęstość energii jest modyfikowana przez kwadratch-aki a-cz. Cha-ka f-cz nie zmienia widmowej gęstości energii. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

15. Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości Twierdzenie Parsevala widmo gęstości mocy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

16. Moc sygnałuw dziedzinie częstotliwości Widmowa gęstość mocy (widmo gęstości mocy): Funkcja autokorelacji sygnału mocy: posiada identyczne właściwości jak funkcja autokorelacji sygnału energetycznego, w szczególności: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

17. Zmienna losowa R  x()  Zmienna losowax jest w istocie rzeczy funkcją (losową) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby (rzeczywiste). W zastosowaniach telekomunikacyjnych mamy do czynieniaze zmiennymi losowymi w takich sytuacjach jak: napięcie wukładzie elektronicznym (z uwzględnieniem szumów), liczbarozmów telefonicznych w ustalonym przedziale czasu czyliczba przekłamanych bitów w słowie kodowym. Zmiena losowa jest wygodnym modelem, gdy nie jesteśmyw stanie uchwycić w modelu wszystkich mechanizmów. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

18. Dystrybuanta zmiennej losowej R Pr{x() x} x i A  Dystrybuanta zmiennej losowej „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

19. Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej Kształt funkcji gęstości prawdopodobieństwa wskazujena „preferowany” zakres wartości zmiennej losowej x. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

20. Momenty zmiennej losowej Wartość średnia zmiennej losowej Wartość średniokwadratowa zmiennej losowej Wariancja zmiennej losowej Odchylenie standardowe zmiennej losowej „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

21. Momenty zmiennej losowej x x Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wartościzmiennej losowej wokół jej wartości średniej. Im mniejsza jest wartość współczynnikarozproszenia zmiennej losowej cx, tymbardziej zmienna losowa „przypomina” stałą deterministyczną (cx = 0). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

22. Zmienna losowa normalna +3 -3 - + 0 -2 +2 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

23.  x(t,)  Procesylosowe x(t,) x(t,) x(t,) x(t=const,=var) – zmienna losowa x(t=var,=const) – realizacja procesu losowego x(t=var,=var) – zbiór realizacji procesu losowego x(t=const,=const) – liczba Realizacja procesu losowego x(t,)jest zwykłym, deterministycznymprzebiegiem czasowym; losowość procesu nie jest nieodłączną właściwością tej funkcji, a przejawia się wyłącznie w losowym jej wyborze. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

24. Gęstości prawdopodobieństwa procesu losowego Gęstość prawdopodobieństwa I rzędu Gęstość prawdopodobieństwa II rzędu „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

25. Wartości średnie procesu losowego Wartość średnia procesu losowego Wartość średniokwadratowa procesu losowego Funkcja autokorelacji procesu losowego Funkcja autokowariancji procesu losowego „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

26. Wartości średnie procesu losowego Wartości średnie procesu są średnimi „po zbiorze”(ensamble averages), gdyż są wyliczane dla ustalonych chwil czasu ze zbioru wszystkich realizacjiprocesu losowego na podstawie rozkładu wartości procesu reprezentowanych przez gęstości prawdopodobieństwa. Wartości średnie „po czasie”(time averages) są wyliczanez pojedynczych realizacjiprocesu losowego. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

27. Wartości średnie „po czasie” procesu losowego Wartość średnia „po czasie” procesu losowego Autokorelacja „po czasie” procesu losowego Symbol ~ podkreśla, że operacja uśredniania po czasiezostała wykonana dla pojedynczej realizacji procesu losowego.Wartość średnia po czasie jest zmienną losową,a autokorelacja po czasie jest procesem losowym. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

28. Wartości średnie „po czasie” procesu losowego Wartość średnia „po czasie” procesu losowego Autokorelacja „po czasie” procesu losowego Istnienie granic wartości średniej po czasie orazautokorelacji po czasie gwarantują twierdzenia ergodyczne. Konsekwencja: realizacje procesu losowego są sygnałami mocy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

29. Stacjonarny proces losowy Proces losowy jest stacjonarny (w szerszym sensie), jeżelijego wartość średnia nie zależy od czasu: a funkcja korelacji zależy wyłącznie od długościhoryzontu obserwacji, a nie od jego położenia na osi czasuczasu (t, t + ): „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

30. Ergodyczny proces losowy Losowy proces stacjonarny jest ergodyczny, jeżelijego wartości średnie po zbiorze są równe wartościom średnim po czasie. Ergodycznośćwartościśredniej Ergodycznośćfunkcjikorelacji „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

31. Analiza widmowaprocesów losowych Realizacje procesu losowego są sygnałami mocy, więckażdej realizacji można przyporządkowaćfunkcję korelacji własnej, a przez przekształcenie Fouriera widmo gęstości mocy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

32. Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowegootrzymujemy w wyniku uśredniania (w zbiorze realizacji)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

33. Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jest trans-formatą Fouriera funkcji korelacji uśrednionej po czasie. Twierdzenie Wienera – Chinczyna Widmo gęstości mocy stacjonarnego procesu losowegojest transformatą Fouriera funkcji korelacji. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

34. Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego –metoda alternatywna Widmo gęstości mocy deterministycznego sygnału mocy: Widmo gęstości mocy procesu losowego: można otrzymać w wyniku uśredniania (po zbiorze)widm gęstości mocy poszczególnych realizacji, a te sądeterministycznymi sygnałami mocy. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

35. Podsumowanie • Twierdzenie Parsevala pozwala wyznaczyć energię/mocsygnału w dziedzinie częstotliwości. • Widmowa gęstość energii/mocy określa energię/moc sygnałuprzypadającą na poszczególne częstotliwości sygnału. • Widmowa gęstość energii/mocy jest transformatą Fourierafunkcji autokorelacji. • Funkcja autokorelacji opisuje podobieństwo sygnału dojego opóźnionej w czasie repliki. • Funkcja autokorelacji sygnału mocy jest określona podobniedo funkcji autokorelacji sygnału energii; definicja uwzględniadodatkowo uśrednianie po czasie. • Filtracja sygnału powoduje przekształcenie widmowejgęstości energii/mocy przez kwadrat cha-ki a-cz. • Realizacje procesu losowego są deterministycznymisygnałami mocy. • Uśrednione widmo gęstości mocy procesu losowego jesttransformatą Fouriera funkcji autokorelacji (uśrednionej – wprzypadku procesów losowych niestacjonarnych). „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

36. Właściwości widma gęstościenergii/mocy • Widmo gęstości energii/mocy jest zawsze transformatąFouriera funkcji autokorelacji: • Widmo gęstości energii/mocy pozwala określić energię/mocsygnału w wybranym pasmie częstotliwości oraz energię/moccałkowitą: • Widmo gęstości energii/mocy jest funkcją parzystą dlasygnałów rzeczywistych: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

37. Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości. • Deterministyczny sygnał energii: • Deterministyczny sygnał mocy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

38. Podsumowanie – właściwościfunkcji autokorelacji Niezależnie od rodzaju sygnału (deterministyczny, losowy)funkcje autokorelacji, aczkolwiek definiowane w odmiennysposób posiadają identyczne właściwości. • Niestacjonarny proces losowy: • Stacjonarny proces losowy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

39. Przykład – modulacja amplitudy „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

40. x(t) +1 t T 2T 4T 6T an -1 nT (n+1)T Przykład – kod transmisyjny bipolarny NRZ Symbole an sąniezależne. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

41. +1    t (p – q)2 4T -T T- T 2T- 2T 3T- 3T Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

42. +1 (p – q)2 t 4T -T T- T 2T- 2T 3T- 3T Kod transmisyjny bipolarny NRZ -funkcja korelacji „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

43. Kod transmisyjny bipolarny NRZ -uśredniona funkcja korelacji& widmowa gęstość mocy +1 t 4T -T T- T 2T- 2T 3T- 3T „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

44. f [Hz] Kod transmisyjny bipolarny NRZ -widmowa gęstość mocy Widmo gęstości mocy sygnału cyfrowego jest skupione wpasmie 0 < f < 1/T; twierdzenie Nyquista orzeka, że pasmodwukrotnie węższe 0 < f < 1/2T jest wystarczające. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

45. zachowanie polaryzacji przy przejściu„1”  „0” • zmiana polaryzacji przy przejściu„0”  „0” „0” 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 • zachowanie polaryzacji przy przejściu„1”  „1” • zachowanie polaryzacji przy przejściu„0”  „1” „1” Kody transmisyjne - kod Millera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

46. „1” „0” „1” „0” „0” „1” Kody transmisyjne - kod Millera • Właściwości kodu Millera: • eliminacja składowych n-cz widma • istotny poziom timing content • koncentracja widma w wąskim pasmie • sekwencje „0...” lub „1...” – rozproszenie widma • sekwencja „0 1 1...” – istotny poziom składowej dc „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

47. kod Millera kod bipolarny NRZ Kody transmisyjne - kod Millera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

48.   ~THz  Przykład – szum gaussowski Szum biały ma płaskie widmo gęstości mocy w bardzoszerokim zakresie częstotliwości. Funkcja korelacji szumu białego ma charakter impulsowy;wartości szumu białego w dowolnie bliskich chwilach czasunie są skorelowane ze sobą. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

49. Przykład – szum gaussowski  W  ~THz Idealny filtr pasmowo-przepustowy Szum gaussowski po filtracji jestnadal szumem gaussowskim. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir