Základy ekonometrie

Základy ekonometrie Cvičení 6 – 25. října 2010 Heteroskedasticita

Náhodná složka • Gauss-Markovy předpoklady: • E(u) = 0 • E(uu´) = σ2 In • X je nestochastická matice – E(X´u)=0 • X má plnou hodnost (k+1) • G-M předpoklady musejí být splněny, aby mohla být k odhadu použita metoda nejmenších čtverců

Náhodná složka • u ~ N (0, σ2), kde σ2 je rozptyl modelu, který má být dle G-M předpokladu E(u u´) = σ2 In, resp. E(ui2) = σ2 = konst konstantní a konečný

Náhodná složka - vlastnosti • σ2 je konstantní a konečný rozptyl → HOMOSKEDASTICITA • porušení G-M předpokladu → HETEROSKEDASTICITA • σ2 není konstantní nebo konečná, tj. σ2 je funkcí vysvětlující proměnné • náhodná složka může mít v případě heteroskedasticity pro každé pozorování odlišný rozptyl: E(ui2) = σi2 ≠ konst

Příklad Y – počet chyb při psaní na stroji X – počet hodin strávených cvičením Y = f(X) + u • čím více hodin cvičení – tím méně chyb • rozptyl větší pro skupinu lidí s nižší praxí • někdo se učí rychleji a už od počátku dělá méně chyb než ti, kteří se učí pomaleji a na začátku dělají spoustu chyb • s rostoucím počtem hodin praxe se schopnosti jednotlivců začínají sbližovat a rozptyl se tak zmenšuje

Příklad – rozptyl graficky

Příčiny heteroskedasticity • Chybná specifikace modelu • obvykle vynechání podstatné vysvětlující proměnné • Odhad z prostorových dat se značnou variabilitou v jednom náhodném výběru • variabilita endogenní proměnné (a tedy i reziduí) může být závislá na některé exogenní proměnné

Příčiny heteroskedasticity • Chyby měření • s rostoucí hodnotou endogenní proměnné dochází ke kumulaci chyb měření – to zvyšuje rozptyl endogenní proměnné a tedy i rozptyl reziduí • Odhad z upravených dat • odhad nikoliv na původních pozorováních, ale např. ze skupinových průměrů získaných z tříděných dat

Důsledky heteroskedasticity • Bodové odhady parametrů • zůstávají nevychýlené a konzistentní • nemají však minimální rozptyl – tj. nejsou vydatné a ani asymptoticky vydatné • Odhady směrodatných chyb bodových odhadů (sbi) a rozptylu sigma (s2) jsou vychýlené • intervalové odhady nejsou směrodatné • statistické testy (t-testy, F-test) ztrácejí na síle

Testování heteroskedasticity • Grafický test • graf reziduí • Parametrické testy • Parkův test • Glejserův test • Whiteův test (implementován v PcGive) • Neparametrické testy • Spearmanův koeficient korelace pořadí • Goldfeldův-Quandtův test

Abstraktní model s náhodnou složkou Data Rezidua Grafický test reziduí • Graf reziduí v závislosti na • exogenní nebo • vyrovnané endogenní proměnné • Vyhodnocení: • rezidua náhodně rozložena • → HOMOSKEDASTICITA • graf nevypadá úplně náhodně • → HETEROSKEDASTICITA

rezidua jsou v pásmu Homoskedasticita závislost reziduí e na exogenní nebo vyrovnané endogenní proměnné

rezidua se rozbíhají Heteroskedasticita závislost reziduí e na exogenní nebo vyrovnané endogenní proměnné

rezidua v pásmu vykazující lineární trend Heteroskedasticita závislost reziduí e na exogenní nebo vyrovnané endogenní proměnné

rezidua v pásmu vykazující kvadratický trend Heteroskedasticita závislost reziduí e na exogenní nebo vyrovnané endogenní proměnné

Neparametrické testy • Spearmanův koeficient korelace pořadí • Goldfeldův-Quandtův test

Spearmanův koeficient korelace pořadí • zkoumá korelaci pořadí mezi jednou vysvětlující proměnou a rezidui • test je třeba dělat pro každou vysvětlující proměnnou zvlášť • počítá se pro konkrétní výběr – třeba pak testovat jeho statistickou významnost pro abstraktní model

Spearmanův koeficient korelace pořadí Postup: • Absolutní hodnoty reziduí |ei| seřadíme vzestupně a očíslujeme • Pořadové číslo přiřadíme k původním (tj. nesrovnaným) reziduím • Absolutní hodnoty exogenní proměnné |Xi| seřadíme vzestupně a očíslujeme • Pořadové číslo přiřadíme k původním (tj. nesrovnaným) hodnotám Xi • Spočítáme rozdíly v pořadí reziduí a pozorování di = pořadí |ei| - pořadí |Xi| • Spočítáme Spearmanův koeficient korelace pořadí

Spearmanův koeficient korelace pořadí • vyhodnocení: • |re,x| → 0 (resp. |re,x| < 0,8 – 0,9) … je možné očekávat homoskedasticitu • |re,x| → 1 (resp. |re,x| > 0,8 – 0,9) … je možné očekávat heteroskedasticitu

Spearmanův koeficient korelace pořadí • třeba testovat statistickou významnost pro abstraktní model • testuje se přes t-statistiku: H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita vypočtená t hodnota > t1-α/2 (n-k-1) → zamítneme H0 vypočtená t hodnota < t1-α/2(n-k-1) → akceptujeme H0

Goldfeldův-Quandtův test • vhodný jen pro časové řady Postup: • zvolíme statisticky významnou proměnnou a seřadit ji vzestupně • rozdělíme data na dvě stejné poloviny a kolem středu řady vynecháme q hodnot (q ≤ n/4) • vypočteme stupně volnosti v • vypočteme F(v,v) statistiku

Goldfeldův-Quandtův test ad 3) výpočet stupňů volnosti: ad 4) výpočet F(v,v) statistiky: je součet čtverců reziduí (RSS) pro danou polovinu dat kde

Goldfeldův-Quandtův test Testovaná hypotéza: H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita Vyhodnocení: F(v,v) vypočtená > F(v,v) tabulková …akceptujeme heteroskedasticitu na hladině α, v opačném případě přijmeme homoskedasticitu

Parametrické testy • Parkův test • Glejserův test • Whiteův test (v PcGivu) • testy s pomocnou regresí • většinou potřebujeme n ≥ 30

Parkův test • Pomocná regrese: • Náhodná složka je neměřitelná - pomocná regrese přes rezidua: • Vyhodnocení: t-test u parametru β2 H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita

Glejserův test pomocná regrese na absolutní hodnotě reziduí a formy závislosti: Vyhodnocení: t-test u parametru β2 H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita

Whiteův test • vychází z pomocné regrese: et2 = f(X1, X2, X12, X22, X1*X2,…) • testuje se koeficient determinace (R2) u této pomocné regrese • statistika n* R2 ≈ χ2(k-1) • n – rozsah souboru • k – počet parametrů pomocné regrese (počet parametrů je uveden ve výstupu ze softwaru)

Whiteův test • vyhodnocení: H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita • n* R2> tabulková χα2(k-1) … zamítáme nulovou hypotézu o homoskedasticitě

Základy ekonometrie