Zuzana Dlouhá

1. 4EK211 Základy ekonometrieOdhad klasického lineárního regresního modelu ICvičení 2 4. 3. / 5. 3. 2014 Zuzana Dlouhá

2. Metodologický postup tvorby EM • Specifikace modelu • určení proměnných • určení vzájemných vazeb mezi proměnnými • formulace hypotéz – v podobě algebraických vztahů (tj. jedné či více rovnic) • specifikace náhodných vlivů • Odhad parametrů (tj. kvantifikace) • využití disponibilní (tj. výběrové) informace z dat • použití vhodné odhadové techniky • Verifikace • jak se odhadnutý model shoduje s teorií a napozorovanými daty • ekonomická (jestli proměnné modelu mají správný směr a intenzitu) • statistická (ověření přesnosti a významnosti výsledků) • ekonometrická (zda byly dodrženy podmínky pro použití dané odhadové techniky a statistických testů)

3. Metodologický postup tvorby EM Využití kvalitativní a kvantitativní analýza minulého vývoje předpovědi (predikce, prognózy) volba hospodářské politiky analýza různých scénářů simulační experimenty aplikace na mikroúrovni banky (nesplácení úvěru, odhad ztráty dané nesplácením úvěru, odhad pravděpodobnosti podvodu) marketing (odchod zákazníka, pořízení produktu – cross-sell) cena komodity ve vztahu k poptávanému množství příjem spotřebitele versus cena komodity velikost prodeje versus prostředky na reklamu 3

4. Klasický lineární regresní model (KLRM) Obecný model (maticový zápis) y=Xβ + u X = matice (n x (k+1)) pozorování exogenních proměnných, včetně úrovňové konstanty y = sloupcový vektor (n x 1)endogenních proměnných β = sloupcový vektor ((k+1) x1) parametrů u = sloupcový vektor náhodné složky, u~N (0, δ2) k= počet vysvětlujících proměnných k+1= počet odhadovaných parametrů n= počet pozorování Zápis KLRM po složkách y = β0 + β1x1 + β2x2 +…+βkxk + u za předpokladu: n>k odhadnout koeficienty β – tj. určit b (resp. - odhady β) 4

5. Klasický lineární regresní model (KLRM) Abstraktní vs. konkrétní model y=Xβ→ y=Xβ + u model „naplníme“ daty (tj. provedeme kvantifikaci modelu) →y = Xb + e kde y jsou napozorované hodnoty, e jsou rezidua → kdejsou vyrovnané hodnoty, rezidua jsou 0 Rezidua vs. náhodná složka rezidua = rozdíl mezi napozorovanými a vyrovnanými hodnotami: náhodná složka = rozdíl mezi napozorovanými hodnotami a jejich střední hodnotou: u = y – E(y) 5

6. Klasický lineární regresní model (KLRM) Bodová odhadová funkce „b“ vzniká z podmínky, aby součet čtverců reziduí byl minimální součet čtverců reziduí: eTe b … ∑ eTe→ min kdy je funkce minimální: první derivace funkce je nulová druhá derivace funkce je kladná metoda nejmenších čtverců (MNČ / OLS) – nejznámější technika funkční předpis odhadové funkce: b = (XTX)-1XTy - poskytuje odhady: - nestranné (resp. nevychýlené) - vydatné bT= (b0, b1, b2,…,bk) 6

7. Klasický lineární regresní model (KLRM) Odvození bodové odhadové funkce „b“ b … ∑ eTe→ min 7

8. Klasický lineární regresní model (KLRM) - příklad Příklad 1: yi = (1, 4, 7, 9) xi = (4, 3, 1, 1) yi = β0 + β1xi + ui, i = 1, 2,...,4 stanovte odhad parametrů β0 a β1, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální napište odhadnutou regresní nadrovinu vypočítejte vyrovnané hodnoty vypočítejte rezidua ei proveďte výpočty v programu MS Excel (využijte maticové počty) proveďte výpočty v programu EViews řešení: b0 = 31/3 = 10,33 b1 = -61/27 = -2,26 8

9. Klasický lineární regresní model (KLRM) - příklad Příklad 2: yi = (5, 4, 6, 4, 3) xi = (3, 2, 3, 2, 3) yi = β0 + β1xi + ui, i = 1, 2,...,5 stanovte odhad parametrů β0 a β1, aby součet čtverců odchylek vyrovnaných hodnot od hodnot napozorovaných byl minimální napište odhadnutou regresní nadrovinu vypočítejte vyrovnané hodnoty vypočítejte rezidua ei proveďte výpočty v programu MS Excel (využijte maticové počty) proveďte výpočty v programu EViews řešení: b0 = 2,67 b1 = 0,67 9

10. Klasický lineární regresní model (KLRM) Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady E(u) = 0 náhodné vlivy se vzájemně vynulují E(u uT) = σ2In konečný a konstantní rozptyl = homoskedasticita → porušení: heteroskedasticita náhodné složky jsou sériově nezávislé → porušení: autokorelace X je nestochastická matice – E(XTu) = 0 veškerá náhodnost je obsažena v náhodné složce X má plnou hodnost k matice X neobsahuje žádné perfektně lineárně závislé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných → porušení: multikolinearita 10

11. Klasický lineární regresní model (KLRM) Vlastnosti bodového odhadu, n< 30 nestrannost (nevychýlenost / nezkreslenost) odhadu: E(b)=β b – získáme z více výběrových vzorků pokud E(b)>β– odhady jsou nadhodnoceny, E(b)<β– odhady jsou podhodnoceny 11

12. Klasický lineární regresní model (KLRM) Vlastnosti bodového odhadu, n< 30 vydatnost odhadu:standardní chyba regresního koeficientu sbmusí být minimální ze všech jiných postupů to způsobuje, že intervalové odhady jsou nejmenší jako nevychýlený odhad může sloužit více statistik, z nichž nejvhodnější je ta, která má minimální rozptyl 12

13. Klasický lineární regresní model (KLRM) Vlastnosti bodového odhadu, n≥ 30 konzistentní – bodový odhad b je konzistentním odhadem, jestliže jeho hodnota s rostoucím počtem pozorování n konverguje ke skutečnému = populačnímu parametru 13

14. Klasický lineární regresní model (KLRM) Vlastnosti bodového odhadu, n≥ 30 asymptoticky nestranný – je to slabší vlastnost, (pokud je odhad asymptoticky nestranný tak je i konzistentní) 14

15. Klasický lineární regresní model (KLRM) Vlastnosti bodového odhadu, n≥ 30 asymptotická vydatnost – rozptyl konverguje k nule rychleji než s použitím jiné odhadové funkce 15