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Definição de vetor; Representação geométrica de vetores; Operações com vetores; Vetores da base canônica. Aula 2. Afinal de contas. Noção intuitiva.
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Definição de vetor; Representação geométrica de vetores; Operações com vetores; Vetores da base canônica. Aula 2
Noção intuitiva • Grandezas escalares: ficam completamente definidas por apenas um número real ( acompanhado de uma unidade adequada). Exemplos: Comprimento, área, volume, etc. • Grandezas Vetoriais: não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou seja, pelo seu número e sua unidade correspondente. Assim, precisamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplos: Força, Velocidade, aceleração, etc.
Noção de direção e sentido Observe as figuras a seguir: • Observações: • A noção de direção é dada por uma reta e por toda as que lhe são paralelas. Ou seja, retas paralelas tem mesma direção; • A cada direção podemos associar dois sentidos.
DEFINIÇÃO DE VETOR E REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados, ou seja, é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um segmento orientado AB, que foi dado. O vetor nulo é aquele representado por todos os segmentos orientados nulos. B A
Notações utilizadas O vetor determinado pelo segmento orientado AB é indicado, usualmente, por = ou pela notação de Grassmann = (B – A), que corresponde a uma diferença simbólica entre a extremidade e a origem do vetor. B = = (B – A) A
Igualdade de vetores Dois vetores e são iguais (ou são o mesmo vetor) se, e somente se, os segmentos orientados AB e CD são equipolentes. Como todos os segmentos nulos são equipolentes entre si, eles determinam um único vetor, chamado vetor nulo e indicado por . A B D C
Módulo ou norma de um vetor É a distância da origem à extremidade de um segmento orientado que o represente. y dAB = || = B y2 y2 – y1 A y1 y x2 – x1 x x2 x1 O
Módulo ou norma de um vetor • Exemplo • Dados os vetores = (1, 3) e = (2, 1), determinar • || • | + |
Operações com vetores Multiplicação de um vetor por um escalar • Dado um vetor (não nulo) e um escalar k (não nulo), a multiplicação de k por resulta o vetor k, múltiplo escalar de , determinado da seguinte maneira: • k possui a mesma direção de ; • se k 0, então k tem o mesmo sentido de ; se k 0, então k tem sentido oposto ao de ; • amagnitude de k vale |k| vezes a magnitude de , isto é, |k|=|k|||. 1 = 3
Operações com vetores Adição de vetores Definimos a adição de vetores e (não nulos) da seguinte maneira: posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam e formamos um paralelogramo. Esta regra para a adição de vetores é conhecida como regra do paralelogramo. +
Operações com vetores De maneira semelhante à regra do paralelogramo, podemos também definir a adição dos vetores e da seguinte maneira: posicionamos a origem de sobre a extremidade de , o vetor soma + é o vetor cuja origem é a origem de e extremidade é a extremidade de . +
Operações com vetores Podemos também adicionar e posicionando a origem de sobre a extremidade de , o vetor soma + é o vetor cuja origem é a origem de e extremidade é a extremidade de +
Operações com vetores A subtração de vetores não é definida. A expressão – deve ser entendida como a adição do vetor com o vetor oposto de , isto é, – = + (– )
Vetores em v3 Três vetores em V3 tem papel especial. Sejam = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
Vetores da base canônica • Estes vetores , e são chamados vetores da base canônica. • Ele tem comprimento 1 e direção e sentido dos eixos x, y e z positivos.
Vetores da base canônica • Da mesma forma, em duas dimensões, definimos: • = (1, 0) • = (0, 1)
Vetores da base canônica • Se = (a1, a2, a3), então podemos escrever: • = (a1, a2, a3) • = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) • = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1) • = a1 + a2+ a3
Vetores da base canônica • Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em ternos de , e . • Por exemplo, • (1, 2, 6) = 2 + 6
Vetores da base canônica • Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever • = (a1, a2) • = a1 + a2
REFERÊNCIAS LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009. CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. CENGAGE LEARNING 2010.
