AULA 2

1. AULA 2 Formulação Geral Equações de Transporte. xxx. xxx

2. Parte I Formulação Geral das Equações de Transporte

3. Preliminares • Na aula 1 foram vistas alguns tipos de Equações de Transporte. • O desafio desta aula é colocar as equações vistas, e outras que serão apresentadas, numa única forma geral capaz de representar qualquer uma delas. • A vantagem da representação geral permite que um único Solver possa tratar cada Equação isoladamente ou resolvê-las simultaneamente. • A abordagem realizada neste tópico será baseada nas práticas empregadas pelo PHOENICS

4. Forma Geral das Equações de Transporte • O método dos volumes finitos parte da forma conservativa das Eq. Transporte. Considere uma variável escalar f genérica: • onde G é o coeficiente difusivo definido por: • O fonte S tem natureza diversa: i) representam as condições de contorno do fenômeno; ii) modelam a ação de forças ou energia de novos mecanismos físicos ou ; iii) representam todos os outros termos da eq. particular que se quer representar e que não são representados pelo lado esquerdo da equação!

5. O Coeficiente Difusivo, G • O coeficiente difusivo G no PHOENICS tem um papel central no modelo: • Ele representa a contribuição dos termos ‘laminares’ e ‘turbulentos’ da modelagem, sub-índices L e T, respectivamente. • O coeficiente de difusão de qualquer fenômeno é representado pelo produto da densidade e da viscosidade cinemática divido pelo parâmetro Pr que está associado a uma variável. • O significado de Pr será explorado ao longo de exemplos nesta aula.

6. Equações Auxiliares Para modelar um fenômeno é frequente a utilização de equações auxiliares para definir: • Prop Termodinâmica.: densidade, entalpia, etc • Prop Transporte: viscosidade, difusividade, condutividade, etc • Termos Fonte: leis de cinética química, dissipação viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc • Termos ´artificiais´: falso transiente para relaxação e condições de contorno Todos os termos dependem de uma ou mais das variáveis e/ou das equações auxiliares. A medida que um número maior destas equações auxiliares se faz necessário, ele causa um aumento no ´grau´ de não-linearidade do sistema.

7. Natureza dos Termos • A equação geral possui três termos no lado esquerdo: transiente, convectivo e difusivo. • Nem todos fenômenos de transporte requerem a existência simultânea destes termos. O comando TERMS no grupo 8 permite a ativação ou não de cada um deles: Group 8. Terms & Devices * Y in TERMS argument list denotes: * 1-built-in source 2-convection 3-diffusion 4-transient * 5-first phase variable 6-interphase transport TERMS (P1 ,Y,Y,Y,N,Y,N) TERMS (U1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N) TERMS (V1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)

8. A seqüência desta parte I da aula 2 será a representação de alguns tipos de Equação de Transporte na forma geral identificando seus termos fontes. • Serão representadas as Equações de • Massa • Q. Movimento • Energia • Concentração • Miscelânia • Para facilitar a representação será adotado o sistema cartesiano e a notação indicial. • Um paralelo com a prática do PHOENICS será realizado onde for possível.

9. Notação Indicial para Eq. Geral de Transporte • A Eq. de Transporte em Notação vetorial • também pode ser representada em notação indicial pelos operadores • onde j pode variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais. •  é uma variável escalar genérica e • o operador  ou /xj é o gradiente de uma grandeza escalar 

10. Equação Diferencial da Massa • Fazendo  = 1, G = 0 e S = 0, chega-se a forma da Equação da Conservação da Massa: • Note que para fluidos incompressíveis, isto é, r constante, a forma geral também satisfaz pq o termo transiente deixa de existir e ela se reduz para:

11. Equação de Navier Stokes • A Equação de NS não é uma equação escalar mas vetorial. Esta é uma das dificuldades que a forma geral da equação de transporte encontra. • Cada componente da Eq. NS é tratado como uma equação de escalar, para isto vamos escrever as componentes da Eq. NS.

12. Equação de Navier Stokes • onde i e j podem variar de 1 a 3 representando cada uma das direções ortogonais. • Cada componente é gerada fixando um i e somando as variações de j, • O próximo slide traz como exemplo a componente na direção X; • A componente i é:

13. Equação de Navier Stokes, dir. X • Assumindo que os índices 1,2 3 representam as direções ortogonais X, Y e Z e que por sua vez estão associadas às velocidades U, V e W, então a equação para direção x é:

14. Equação de NS • Pode-se perceber que a forma da equação de NS ainda está longe de se ajustar a forma geral: • Rearranjando os termos viscosos podemos re-escrever as componentes de NS como:

15. Equação de NS: compressível e m variável • A representação de NS atende a forma geral e é válida para um escoamento em regime laminar, compressível ou incompressível, e viscosidade variável (T ou S) ou constante. • O lado direito da equação traz os termos fonte: • Pressão, Sp • Compressível, Sc • Viscoso, Sm • Força de Campo, Sg Note que a viscosidade do fluido pode variar com a temperatura ou também com o módulo do tensor S no caso de fluidos não Newtonianos Generalizados (power law fluids)

16. Equação de NS: incompressível e m variável • Para escoamentos incompressíveis, V=0 portanto a eq. NS pode ser simplificada e um termo fonte é eliminado. • Desejamos manter ainda a possibilidade de viscosidade variável (T ou S) • O lado direito da equação traz os termos fonte: • Pressão, Sp • Viscoso, Sm • Força de Campo, Sg

17. Equação de NS: incompressível e m cte. • Se a viscosidade é constante, o termo fonte viscoso, Sm é nulo: • Neste caso a Eq. NS assume sua forma mais simples, com dois termos fonte: pressão e força de campo. • O termo de campo é relevante somente para escoamentos com superfície livre; escoamentos internos ele pode ser incorporado ao termo de pressão: P* = P+rgz.

18. Equação de NS – Regime Turbulento • Considerando que a eq. NS representa o campo médio de velocidades, surge um termo extra de tensão (tensões de Reynolds) devido a presença dos turbilhões. • O tensor das tensões para um fluido Newtoniano, incompressível com m constante é: • e a equação de transporte passa a ser • onde nT é a viscosidade cinemática turbulenta obtida por meio de modelos de turbulência

19. Termos Extras • A análise até o momento foi realizada num tensor cartesiano. Para outros sistemas de coordenadas surgem termos associados a inércia e à viscosidade. • Exemplo:, sistema cilíndrico-polar com axi-simetria para um fluido com propriedades constantes • (q,R,Z) correspondendo a (X, Y,Z)

20. Eq. Geral NS e seus termos fontes Representação válida somente para coordenadas cartesianas

21. Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS • O PHOENICS já possui implementado três termos fontes para eq. NS : pressão, centrífugo e Coriolis. Todos os outros o usuário terá que inserir. Sistema de coord. cilíndrico-polar requerem termos fonte viscosos que deverão ser implementados pelo usuário.

22. Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS • Os efeitos de compressibilidades não são sentidos até Ma ~0.3. Em geral o termo 2/3mV é pequeno e pode ser desprezado na maioria das aplicações, exceção pode ocorrer na presença de choques. • O termo fonte viscoso se faz sentir para dois casos: quando m varia com a temperatura e também para simulações com fluidos não-Newtonianos. • A variação de m com T ‘pode ser lenta’ e fazer com que o termo Sm seja desprezível. Ele de fato é para Camada Limites. • Fluidos não-Newtonianos tem a viscosidade dependente da deformação e o termo Sm não pode ser desprezado. O manual do PHOENICS não é claro sobre a prática adotada, vale a pena investigar mais...

24. Equação de Navier Stokes • A Eq. Transporte de Q. Movimento é: • Substituindo a Eq. constitutiva da Tensão para fluido Newtoniano vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS): • A Eq. acima é válida para escoamentos compressíveis, e viscosidade variável. S é definido por:

25. Equação de Navier Stokes Compressível • Para m constante e considerando a identidade: • vamos chegar às Equações de Navier-Stokes (NS) para um fluido compressível com m constante:

26. Equação Navier Stokes Incompressível • Para r e m constantes temos que, .V =0, logo: • Esta é a forma mais popular das Equações de Navier Stokes: fluido incompressível e com viscosidade constante.

27. Equação Diferencial da Energia ‘e’ • A equação de transporte da Energia ‘e’, na sua forma não-conservativa é: • Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:

28. Equação Diferencial da Energia ‘e’ • Para se chegar a forma final da Equação da Energia é necessário definir: • As formas de energia que ‘e’ representa; • A difusão do calor, qk • O tensor das tensões no fluido e seus produtos • Estas tarefas serão feitas na seqüência.

29. Modos de Energia ‘e’ • Vamos considerar três modos de energia: interna, cinética e potencial: • A derivada total em termos das parcelas de ‘e’ fica sendo:

30. Equação Transporte da Entalpia Total • A entalpia específica e a entalpia total de um fluido compressível são definidas por: • Neste estágio é conveniente substituir T = -P+T’ e expandir os termos:

31. Equação de Transporte da Energia Interna, û • Substituindo as equações constitutivas para o tensor desvio da tensão e da condução vamos ter: • o termo -P.V está associado ao trabalho de compressão para fluidos compressíveis; • f é a função dissipação, sempre positiva: • Os dois últimos termos referem-se a calor por condução e a geração de energia interna. a função dissipação para coordenadas cartesianas, veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

32. Equação de Transporte da Entalpia, h • O termo do trabalho de pressão pode ser re-escrito em função da equação da massa: • Substituindo a definição: h = û+P/r na equação de û, chega-se a forma não-conservativa da Equação de Transporte da Entalpia: • ou a sua forma conservativa: veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’.

33. veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’. Equação de Transporte da Temperatura • A partir da Equação de transporte da Entalpia e da relação termodinâmica para uma substância pura: • onde b é o coef expansão volumétrica, • Pode-se mostrar que a forma não-conservativa da Equação de Transporte para Temperatura é: • e a sua forma conservativa:

34. veja mais detalhes na brochura ‘Forma Dif. Eq. Transporte’. Equação de Transporte da Entropia • A equação de transporte de S é: • o termo de produção, Os, é determinado a partir da relação termodinâmica para uma substância pura: • substituindo as eqs. para h e s na relação acima vamos encontrar: • As irreversibilidades estão associadas a uma troca térmica com diferença de temperatura ou ao trabalho viscoso realizado pelo fluido

35. Parte IV Retorno às Equações Diferencias de Transporte

36. EQUAÇÃO DE BALANÇO: FORMA GENERALIZADA • Considerando uma fase presente, a equação deconservação de uma propriedade é escrita por: • r é densidade • f é a variável em questão • G é o coeficiente de difusão de f • S representa os termos fontes de f

37. FORMAS PARTICULARES: QUANTIDADE DE MOVIMENTO • f = U, V, W • G = r.(nL + nT) onde nL e nT representam as contribuições das viscosidades cinemática de origem Laminar e Turbulenta • S = - Grad(P) + Termos gravitacionais + atrito com paredes + Força centrífuga + Força Coriolis + Termos de empuxo + ...

38. FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO CONSERVAÇÃO DA ENERGIA (ENTALPIA) • f = h • G = r.[(nL /PrL)+ (nT /PrT)] onde PrL e PrT são os números de Prandtl de origem Laminar (nL/aL) e Turbulenta (nT/aT) • S = (trabalho compressão) DP/dt + (dissipação viscosa) 2mS:S + fontes/sorvedouros de calor + ....

39. FORMAS PARTICULARES: CONSERVAÇÃO UMA ESPÉCIE QUÍMICA • f = c que representa a concentração (molar, em massa ou volume) de uma espécie química • G = r.[(nL /PrL)+ (nT /PrT)] onde PrL e PrT são os números de Prandtl devido a transferência de massa de origem Laminar (nL/DL) e Turbulenta (nT/DT), também conhecidos por número de Schmidt onde D é o coeficiente de difusão de massa. • S = 0 + fontes/sorvedouros da espécie química por meio de reações químicas (combustão)

40. EQUAÇÃO DA ENERGIA • A equação da energia pode ser expressa em termos da entalpia ou da temperatura: • A equação para h tem um complicante que seu termo difusivo depende da temperatura (variável não resolvida). • A equação para T tem um complicante no termo inercial que vem multiplicado pelo calor específico. • Ambas equações não podem ser colocadas diretamente na forma geral: Div(rVf-Ggradf) = S

41. EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (sem fontes) • Para um processo a pressão constante, a entalpia e a temperatura estão relacionadas por: • assim, a derivada da temperatura pode ser expressa por uma derivada da entalpia como: • Substituindo-se esta relação na eq. da entalpia, pode-se expressar o termo difusivo em função de h!

42. EQUAÇÃO DA ENTALPIA (H1) (cont) • O coeficiente difusivo da equação pode ainda ser manipulado e expresso em função do n. Prandtl do fluido: • onde • A forma disposta acima está pronta para ser implementada no PHOENICS. Deve-se definir PRNDTL(H1) = n. Prandtl do fluido (n/a)

43. OBTENÇÃO DA TEMPERATURA A PARTIR H1 • A temperatura pode ser deduzida a partir do campo de entalpias • Para propriedades constantes : • Para propriedades variáveis a dedução de T a partir de H1 é mais trabalhosa. Nestes casos é melhor resolver para T diretamente que o PHOENICS possui um procedimento específico para cuidar disto. Veja entrada em SPECIFIC HEAT na Encyclopedia.