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Finanzas Santiago, Chile 2002 Profesor : Rodrigo Sanchez H. I. Matemática Financiera. Interés Simple Interés Compuesto Real vs Nominal Perpetuidades Anualidades. Interés Simple.
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Finanzas Santiago, Chile 2002 Profesor : Rodrigo Sanchez H.
I. Matemática Financiera • Interés Simple • Interés Compuesto • Real vs Nominal • Perpetuidades • Anualidades
Interés Simple • Si se invierte un monto X, los intereses acumulados al cabo de n períodos usando tasa de interés simple r% serán: Intereses = X*r*n
Interés Simple: Ejemplo • Un banco le ofrece una tasa de 1,1% mensual (30 días), con interés simple para un depósito a plazo por $100.000. ¿Cuál sería el interés obtenido al cabo de 40 días?
Interés Simple • Hay que notar que al dividir la tasa por 30, se ha transformado la tasa mensual a tasa diaria para mantener una consistencia en el cálculo. • También se podría haber expresado los cuarenta días en términos de meses.
Interés Simple • Otra forma de ver lo mismo. Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, al cabo de n años tendremos: Valor Futuro = X*(1 + r*n)
Interés Simple: Ejemplo • Invierte $100.000 en un instrumento financiero con vencimiento a 90 días. La tasa que entrega este instrumento es 1,2% mensual. ¿Cuánto será el monto final de la inversión al cabo de los 90 días?
Interés Compuesto • Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula una vez al año, al cabo de n años tendremos un saldo final: Valor Futuro = X(1 + r)n
Interés Compuesto: Ejemplo • Se deposita $140.000 en una institución financiera durante 5 meses, a una tasa de 1,2% mensual, con interés compuesto y capitalización mensual. ¿Cuál será el saldo final al término de los 5 meses?
Interés Compuesto • Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula m veces al año, al cabo de n años tendremos:
Interés Compuesto: Ejemplo • Si depositamos $150.000 en el banco a la tasa del 8% anual durante un año, con interés compuesto capitalizado trimestral-mente ¿cuál será el saldo al final del año?
Interés Real y Nominal • Si el mercado financiero es eficiente, debe cumplirse la siguiente equivalencia: i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real π = tasa de inflación
Interés Real y Nominal: Ejemplo • Un banco ofrece una tasa nominal de 4,6% mensual, se espera que la inflación sea 3,2% durante el próximo mes. ¿Qué tasa de interés real está ofreciendo el banco?
Formulas de Valor Presente • Dado el valor del dinero en el tiempo (un peso hoy vale más que uno mañana), flujos que se recibirán en el futuro deben ser descontados. • La idea es tratan hacer comparable flujos que se recibirán en distintos instantes, llevándolos a un mismo período.
Fórmulas de Valor Presente Las fórmulas más usadas son: • Perpetuidad constante • Perpetuidad creciente • Anualidad constante • Anualidad creciente
Perpetuidad constante • Una perpetuidad, se refiere a flujos que se recibirán todos los períodos hasta el infinito. • Si los flujos son iguales todos los períodos, decimos que es una perpetuidad constante. • El valor presente de una perpetuidad cons-tante se calcula:
Perpetuidad: ejemplo • Le ofrecen una acción de la empresa RIESGO S.A. que reparte $20 en dividendos todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?
Perpetuidad creciente • Hablamos de perpetuidad creciente si los flujos que entrega van aumentando a medida que pasa el tiempo. • Si los flujos aumentan a una tasa constante g, valor presente se puede calcular: • Observación: La tasa de crecimiento no puede ser mayor a la tasa de descuento.
Perpetuidad: ejemplo • Le ofrecen una acción de la empresa JUGO S.A. se espera que reparta $20 en dividendos el próximo año y éstos crezcan al 8% todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?
Anualidades • Nos referimos flujos de caja que se recibirán por un período limitado de tiempo T. • En general, para cualquier conjunto de flujos el valor presente se puede calcular como:
Anualidades • Si todos los flujos que se recibirán son iguales, la sumatoria anterior se puede simplificar. • Si designamos como F el flujo a recibir por T períodos,la fórmula de valor presente es:
Anualidades: ejemplo • Le ofrecen un crédito de 12 cuotas iguales de 15.000. La tasa de interés mensual es 1,3%, compuesta con capitalización mensual. ¿Cuál es el valor actual del préstamo?
Anualidades: ejemplo • Una empresa decide vender un bien en $1.200 al contado. Uno sus clientes le solicita crédito en 3 cuotas iguales a 30, 60 y 90 días. La empresa decide entregar el crédito cobrando una tasa de interés de 2% mensual, compuesto con capitalización mensual. ¿Cuál debería ser la cuota que se le ofrece al cliente?
Anualidades: ejemplo • Debemos despejar F de la fórmula anterior, para poder encontrar la cuota correspon-diente.
Anualidades: ejemplo • Queremos comprar un televisor en Almacenes París. El precio contado es $137.600. • Usando la tarjeta de Almacenes París, le ofrecen pagar el mismo televisor en 12 cuotas de $13.736. • Si utiliza la tarjeta de crédito Visa, la tasa de interés es 2,6% mensual. ¿Cuál debería elegir?
Anualidades: ejemplo • Primero hay que calcular el interés implícito en la cuota de Almacenes París. • Generalmente es muy difícil despejar la tasa de interés. Sin embargo, cualquier calculadora financiera puede encontrar el resultado
Anualidades: ejemplo • Usando Excel (función tasa) o una calculadora financiera (función IRR), obtenemos una tasa de interés de 2,89% mensual. • Como la tasa de Almacenes París es mayor que la tasa de 2,6% ofrecida por la tarjeta VISA, preferimos esta última.
Anualidades crecientes • Si los flujos que se recibirán van aumentando a una tasa constante g, siempre que sea menor a la tasa de descuento r podemos usar la fórmula siguiente.
Uso de Excel • Funciones más usadas en Excel: • Pago(tasa;períodos;va): se utiliza para calcular la cuota, dado la tasa de interés, número de períodos y el valor actual. • Tasa(períodos;pago;va): Se usa para calcular la tasa implícita dados los flujos, número de períodos y el valor actual. Supone todos los flujos iguales.
Uso de Excel • VA(tasa;períodos;pago): permite calcular el valor actual de pagos de un préstamo, dado el número de períodos y la tasa de descuento. • VNA(tasa;flujo1;flujo2;flujo3…;flujon): esta es equivalente a la fórmula general de valor presente. Calcula el valor actual de una serie de flujos, dada una tasa de descuento. • TIR (flujos): Calcula la TIR para una serie de flujos.
Criterios de Evaluación de Inversiones • Payback • Valor presente neto • TIR • Razón beneficio a costo • Costo anual equivalente
Payback • Es el número períodos en que se recupera la inversión inicial. • Se debe elegir el proyecto con menor payback. • Da una medida de la rapidez con que se recuperan los fondos invertidos. • El problema es que no considera el valor del dinero en el tiempo.
Valor presente neto • Consiste en descontar los flujos a una tasa apropiada y restarles la inversión inicial. • Si no existen restricciones, debe llevarse a cabo todos los proyectos con VAN>0. • Problema 1: ¿Qué tasa de descuento usar? • Problema 2: ¿Qué pasa con proyectos de distinta vida?
Tasa interna de retorno (TIR) • Es el resultado de buscar la tasa que hace cero el valor presente de un proyecto o inversión. • Se debe comparar esta tasa (TIR) con un rendimiento exigido a la inversión. Si no existen restricciones y la TIR es mayor debe llevarse a cabo el proyecto.
Tasa interna de retorno (TIR) • Si no existen restricciones, lleva a la misma decisión que el criterio de valor presente. • Problema 1: Puede haber varias tasas que cumplan con la condición VAN=0. • Esto dependerá de los flujos de caja. Habrá tantas tasas como cambios de signo existan. • Problema 2: Si hay proyectos excluyentes, este criterio no asegura la máxima riqueza.
Razón beneficio a costo • Es la razón entre el valor actual de los beneficios, dividido por el valor actual de los costos más la inversión inicial. • Si la razón calculada es mayor a uno, conviene hacer el proyecto, si es menor a uno, no conviene.
