Planetare (geothermale) Wärmetransportprozesse und deren mathematische Beschreibung

1. VO Planetologie 06.12.2005 Planetare (geothermale) Wärmetransportprozesse und deren mathematische Beschreibung J. J. Leitner Autor: Leitner J. J.

2. Planetare Wärmequellen – Allgemein: • ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der Planetengeschichte (durch Impakte von Protoplaneten und durch Bildung eines Kerns) • radioaktiver Zerfall von Elementen im Mantel: U235 Pb207 U238  Pb206 Th232  Pb208 K40  Ca40 • andere Wärmequellen: -) Reibungswärme durch Konvektion -) latente Wärme bei Phasenübergängen -) Gravitationswärme durch laufende Differenzierung -) Umwandlungswärme durch Kristallisation des inneren Kerns

3. Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde: • Oberflächenwärmeverlust: 4.43 x 1013 W ~ 87 mW m-2 • (ozean. Kruste: 101 ± 2.2, kont. Kruste: 65 ± 1.6, ozean. Rücken ~ 400, • Subduktionszonen ~35 mW m-2) • Wärmefluss Kern  Mantel: 3.6 x 1012 W ~ 8 % • Kühlen des Kerns: 2.6 x 1012 W • Kristallisationswärme: 0.34 x 1012 W • Gravitationswärme: 0.66 x 1012 W • Beitrag durch radioakt. Zerfall (Mantel): 2.4 x 1013 W ~ 55 % ~ 92 % der Wärme wird direkt im Mantel erzeugt

4. Übersicht Wärmetransportmechanismen: materiegebunden nicht materiegebunden

5. (1) Wärmestrahlung: • Stefan-Boltzmann-Gesetz: • für schwarze Körper gilt: • (ε = α= 1; Kirchhoffsches • Strahlungsgesetz) • für graueKörper gilt: • wegen ε(T) ist P nicht mehr • streng proportional zu T4 • für reale Körper müssen ε und α experimentell bestimmt werden (ε≠α≠ 1) P … Strahlungsleistung [W m-2] A … Fläche T … Temperatur σ … Stefan-Boltzmann-Konstante ε … Emissionsgrad α … Absorptionsgrad

6. (1) Wärmestrahlung: Wiensches Verschiebungsgesetz: (Zusammenhang zw. Temperatur eines schwarzen Körpers und der Wellenlänge seiner Strahlung) Plancksches Strahlungsgesetz: (für schwarze Körper, im Vakuum) Medium: L … spektrale Strahldichte [W m-3] h … plancksche Wirkungsquantum ν … Frequenz λ … Wellenlänge c … Lichtgeschwindigkeit k … Boltzmannkonstante n … Brechungsindex des Mediums

7. (1) Wärmestrahlung: Bedeutung für die Geothermik: Strahlungstransportgleichung: (vereinfacht, 1D) Strahlungsleitfähigkeit: I … Intensität der Strahlung κ … Absorptionskoeffizient ε … Emissionskoeffizient n … Brechungsindex α …Opazität (Abschwächung) n ~ 1.7 1 Ahrens J., 1995

8. (1) Wärmestrahlung: Bedeutung für die Geothermik: • in opakem Medium gilt: • Druck im Planeteninneren bewirkt eine Kompression der e- Bahnen • benachbarte Orbitale überlagern sich • es kommt zu intraorbitalen Ladungstransfers • der Absorptionskoeffizient erhöht sich mit steigenden Druck • erhöhte Opazität blockiert Transport durch Wärmestrahlung • für T ~ 103 K gilt: • (unterer Mantel, Erde)

9. (2) Wärmeleitung: Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D): k … Wärmeleitfähigkeit t … Zeit T … Temperatur ρ … Dichte CP … spezifische Wärme(kapazität) κ … thermische Leitfähigkeit, Temperaturleitfähigkeit, Temperaturleitzahl wobei:

10. (2) Wärmeleitung: • Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse: • Gitterleitung (Phononen = Quasiteilchen zur Beschreibung von quantisierten Gitterschwingungen, delokalisiert, zählen zu den Bosonen), • tritt hauptsächlich in Nichtmetallen auf • elektronischer Beitrag (Elektronen) Transport durch Fluss freier Elektronen, tritt hauptsächlich in Metallen auf Bei Wärmetransport ausschließlich durch Konduktion, treten keine Wirbel auf.

11. (2) Wärmeleitung: sowohl k als auch CP stark temperaturabhänigig • Betrachten: Wärmeleitfähigkeit k: • allgemein gilt: • für die meisten Mantelmineralien bei hohen Temp.: • (elektrisch nicht leitend) • (Lee D. W. et al., 1960) • es gilt: k(Λ) (Λ … mittlere freie Weglänge) tiefe Temp.:C dominiert Λ~ const  k ~ T3 • hohen Temp.:C~ const  Λ~ k ~ T-1 a, b … Materialkonstante unter Berücksichtigung von Phononenstreuungen durch Verunreinigungen undPhonon-Phonon Wechselwirkungen pN, TN … Druck, Temp. bei Normalbeding. (1 bar, 293 K) λkT, λkp …Materialparameter

12. (2) Wärmeleitung: Betrachten: Spezifische Wärme C: R … allgemeine Gaskonstante NA … Avogadro-Konstante v … Frequenz des harm. Osz. TD … Debye Temperatur vD … Debye Frequenz (Phonon) EF … Fermi Energie • Gesetz von Dulong-Petit: • (nur bei hohen Temp. und • einfacher Kristallstruktur; • Maxwell-Boltzmann Statistik) • Einstein Modell: • (bei hohen Temp. geht es • in Dulong-Petit über; • Einstein-Bose Statistik) • Debye Modell: • (auch für niedrigere Temp. • geeignet, Phononen-Modell)

13. (2) Wärmeleitung: • Einstein-Debye Modell: (auch für Metalle, Phononen und Elektronen Beitrag)

14. (2) Wärmeleitung: Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme: • >1500 K: Fei-Saxena Modell (Amthauer G. et al., 1979): • 298–1500 K: Maier-Kelley Modell (Daniels J. M., 1981): Abb: CP von Mg2SiO4 (Forsterite) Rohlf J. W., 1994

15. (2) Wärmeleitung: Allgemeine Beziehungen: für Festkörper ist CP relativ unabhängig vom Druck p, aber stark abhängig von der Temperatur T V … Molarvolumen α … thermischer Ausdehnungskoeffizient (= 1/V) β … Kompressibilität (= - 1/V) H … Enthalpie

16. (2) Wärmeleitung: Bedeutung für die Geothermik: τ … charakteristische Zeitskala ℓ … charakteristische Länge tägliche Temp.schwank.: ℓ = 30 cm jährliche Temp.schwank.: ℓ = 5 m eiszeitliche Schwank.: ℓ = 1 km 4 Gyr  ℓ = 350 km Wärmeleitung als Transport- mech.nur für Kruste und Lithosphäre von Bedeutung Leitner J. J., 2005

17. (2) Wärmeleitung: Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust: • 1. Modell: -) isotrope Verteilung radioakt. Elemente -) keine sekularen Kühlungsprozesse -) Basisfluss = 0 • 2. Modell: -) wie oben -) ozeanische Kruste 1 2 3 qs … Oberflächenwärmefluss ρc … mittlere Krustendichte Hc … Wärmeproduktionsrate (Kruste) k … thermische Leitfähigkeit t … Krustenalter 1 Turcotte D. L., 1995 2 Harrison C. G. A., 1982 3 Leitner J. J., Firneis M. G., 2005

18. (2) Wärmeleitung: Leitner J. J., 2005

19. (2) Wärmeleitung: • 3. Modell:Wärmefluss in alter (kontinentaler) Kruste: a … Lithosphährendicke Leitner J. J., 2005 Leitner J. J., 2005

20. (3) Konvektion: • 2 Subtypen: • freie Konvektion: Konvektion wird durch einen Temp.- gradienten bewirkt, welcher eine Strömung induziert • erzwungene Konvektion: durch eine von außen wirksame Kraft

21. (3) Konvektion: Grundgleichungen: • Wärmeleitungsgleichung (ergibt sich aus Fourier-Glg. durch Adaption auf ein sich bewegendes Fluidteilchen): • Navier-Stokes-Gleichung (für ein Newtonsches Fluid = Viskosität konstant, inkompressibel): Wärmetransport assoziert mit Strömung d. Teilchens Strömungsgeschwind. v Temp.änderung Teilchen Temp.änderung am Referenzpunkt beschreibt Zusammenhang zw. Druckkräften und der Dichte

22. (3) Konvektion: Modell: betrachten: 2 unendlich ausgedehnte vertikale Platten mit verschiedenen konst. Temperaturen T1 und T2 stationäre Lösung der Wärmeleitungsglg. ohne Strömung: Temp. Verteilung mit horizontalen Gradienten

23. (3) Konvektion: Annahme: inkompressibles Fluid (d.h. Dichte ρ des Fluids nur von Temp. T, nicht aber von Druck p abhängig Isochoren (Flächen konstanter Dichte) sind vertikal ist das Fluid anfänglich in Ruhe (v = 0): Isobare sind horizontal ohne Beweis sei festgestellt: Isobare ≠Isochore → Wirbelbildung (Entstehung einer Rückströmung)

24. (3) Konvektion: Allgemein gilt: es kann kein hydrostatisches Gleichgewicht für ein Fluid in einem Schwerefeld geben, wenn ein Temp.- Gradient mit einer horizontalen Komponente vorhanden ist Untersuchung der Fluidströmung: Annahme: stationärer Bereich der Navier-Stokes Glg. erreicht unter Ausnutzung der Translationsinvarianz der Strömung in y- und z-Richtung parallel zu der Oberfläche der Platten (d.h. (Geschwind.feld v hängt nur von x ab, Inkompressibilitäts- bedingung div v = 0 reduziert sich auf ∂vx/∂x = 0, aus Rand- bedingung v → 0 an den Wänden folgt vx = 0), liefert eine Projektion der N-S-Glg. auf die vertikale Achse:

25. (3) Konvektion: auf jedes Fluidteilchen wirkt also eine zusätzliche Gegenkraft: • weitere Annahmen: • kein äußerer Druckgradient • vertikaler Druckgradient ∂p/ ∂y reduziert sich auf hydrostatischen Druck bei fehlender Strömung (= grad p0=ρ0g) • mit Randbedingung

26. (3) Konvektion: Hydrodynamische Instabilitäten: Durch Anlegen eines Temperaturgradienten kann es zu stabilen und instabilen Gleichgewichtszuständen kommen. Geht man langsam über Schwelle, an der Instabilität auftritt, hinaus, so beginnt das System chaotisch zu werden.

27. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: • Betrachten: • von unten erwärmtes Fluid, Teilchen geringerer • Dichte befinden sich unter denjenigen größerer Dichte •  Fluidbewegung (Auftrieb) setzt ein, wenn ΔT einen Grenzwert • (Instabilitätsschwelle) überschreitet (ΔT =ΔTc) • es bilden sich Konvektionszellen  ΔT >> ΔTc→ chaotisches Verhalten

28. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Voraussetzung für Instabilität: qualitative Analysen fordern: Pr >> 1 Kriterium für die Instabilität: Betrachten: kugelförmiges Teilchen mit Radius R mit Geschwind. v (nach oben gerichtet)

29. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: es gilt: A … geometrische Konstante δT … Temp.differenz, die das Teilchen im Verhältnis zu seiner Umgebung gewinnt τ … charakteristische Zeitskala für δT δρ … Dichtedifferenz zum umgebenden Fluid δy … Länge, die sich Teilchen während τ verschiebt

30. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: auf Kugel wirkt also eine auftreibende Kraft Fa: Geschwind. v nimmt zu, wenn: Fa > Fvisk Fvisk = viskose Abbremsung nach Stoke‘schen Formel ή … Viskosität

31. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Stabilitätsbedingung: Je größer die räumliche Ausdehnung der Störung ist, desto stärker ist die Instabilität. Annahme: maximale Ausdehnung R = a/2 v … kinematische Viskosität Stabilitätsanalysen für ein Fluid zwischen 2 festen Platten haben gezeigt: Ra = 1708 Vgl.: Erdmantel: Ra ~ 2 x 109 >> 1708

32. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: 2D Lösung der R-B Instabilität: Annahme: unendlich ausgedehnte Fluidschicht kreisförmiger Querschnitt mit Durchmesser a Ansatz: nur eine Näherung, welche nicht den Randbeding. bei y = ± a/2 genügt für vertikalen Geschwind.- und Wärmetransport gilt:

33. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Lösungen für obige Gleichungen: Formulierung der R-B Instabilität für kleine Störungen BOUSSINESQSCHE Approximation Temp.abhängigkeit aller beteiligten Stoffwerte vernachlässigt, insbesondere auch Temp.abhängigkeit der Dichte, ausserhalb des Auftriebterms (wird durch linearen Term approximiert unter Ausnützung der

34. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von unten geheizt: Boden zunächst kalt  wird plötzlich auf konstant heiße Temperatur gebracht  Störung wirft die Strömung an  es bildet sich ein heißer Plume aufsteigenden Materials  weitere Plumes entstehen  kalte Plumes bilden sich an Oberfläche und sinken nach unten

35. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von innen geheizt: Es bildet sich eine kalte Grenzschicht an Oberfläche  kalte Plumes bilden sich aus und sinken in das Innere ab  keine heißen Plumes am Boden  Aufströmung in weiten Bereichen zwischen den abströmenden Tropfen

36. (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innen geheizt: Sinkende Plumes dominieren, aber auch schwächere aufsteigende Plumes kann man beobachten WAHRSCHEINLICHSTES MODELL FÜR ERDMANTEL

37. (3) Konvektion: Die große Streitfrage: Peltier W. R. et al., 1982 whole-mantle convection versus layered convection

38. (3) Konvektion: Die große Streitfrage: es gilt: früher: keine Konvektion im unteren Mantel, wegen Zunahme der Viskosität mit dem Druck heute: Viskosität (Ra-Zahl) ist superkritisch Konvektionsmodell für ganzen Mantel gesichert Kontroverse über whole- oder layered Konvektion (mit einer thermischen Übergangszone)

39. (3) Konvektion – Taylor-Couette Instabilität: Modell: ein kleiner Zylinder wird in einen größeren fluidhaltigen Zylinder gedreht  Fluid wird in Bewegung versetzt v0 nimmt nach außen hin ab Fzauf Teilchen von außen nach innen zu Ω … Winkelgeschwind. f … Drehzahl • Entstehung einer instabilen Schichtung • wenn f≥ fkrit → Fz > innere Reibung des Fluids • kleine Störungen (Zylinderrand) verursachen Wirbelbildung

40. (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: auch als Marangoni Effekt bezeichnet • tritt auf wenn die untere Seite eines Fluids erwärmt wird • (das obere Ende bleibt frei) • Ursache: Kräfte an der freien Oberfläche, die durch • Gradienten der Oberflächenspannung γ induziert werden • oberhalb von ΔTc erscheinen hexagonale Strömungszellen • zw. dem Boden der Fluidschicht und der freien Oberfläche • Mechanismus: an Punkt der Oberfläche ist die Temp. auf einen • Wert T + Θ erhöht • erhöhte Temp. verursacht Änderung von γ • Fluid wird radial aus wärmeren Bereich nach außen getrieben • Massenerhaltung (wärmeres Fluid von unten steigt auf) eruptiver Marangoni-Effekt

41. (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: Jäger C., 1996

42. (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: eruptiver Marangoni-Effekt: Jäger C., 1996

43. (3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten: beschreibt Bedeutung des Auftriebs und die durch Temp.schwankungen induzierte Ober- Flächenspannung (dünne Schichte: γ, dicke Schichten: T)

44. Literatur: Ahrens J., 1995, AGU Referene Shell 2 – Mineral Physics and Cristallography Amthauer G. et al., 1979, J. Chem. Phys., Vol. 70, Nr. 11, p. 4837 – 4842 Daniels J. M., 1981, Can. J. Phys., Vol. 59, p. 182 – 184 Jäger C., 1996, Untersuchungen einer kohärenten Marangoni-Bénard-Konv.zelle, Diplomarbeit, Inst. Experimentalphysik, Univ. Aachen Lee D. W., Kingery W. D., 1960, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 43 Leitner J. J., 2005, Heat Transport Mechanisms through the Venusian Lithosphere, Diplomarbeit, Inst. f. Astronomie, Univ. Wien Leitner J. J., Firneis M. G., 2005, Geophysical Research Abstracts, Vol. 7 Peltier W. R. et al., 1982, Phys. Earth Plan. Int., Vol. 29, p. 281 - 304 Rohlf J. W., 1994, Modern Physics from A to Z, Wiley Verlag weitere Literaturtips: Ibach, Lüth: Festkörperphysik, Springer Verlag Guyon, Hulin, Petet: Hydrodynamik, Vieweg Verlag Herwig: Wärmeübertragung A – Z, Springer Verlag Turner: Buoyancy effects in fluids, Cambridge University Press Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoret. Physik VI – Hydrodynamik, Akademie Verlag Turcotte, Schubert: Geodynamics, Cambridge University Press