Licence d’informatique Algorithmique des graphes

1. Licence d’informatiqueAlgorithmique des graphes Cours 3 deuxième partie : Opérations et relations entre graphes. Composition, puissances. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.

2. 7 4 1 1 7 4 6 6 9 2 3 8 5 9 2 3 8 5 G1 G2 Opérations entre graphes G(X) = ensemble des graphes construits sur l’ensemble de sommets X

3. 7 1 4 1 7 4 6 6 9 9 2 2 3 3 8 8 5 5 G2 G1 Relation d’ordre : graphe partiel G1  G2  1  2

4. 7 4 1 1 7 4 6 6 2 2 3 3 9 9 8 8 5 5 Relation d’ordre : graphe partiel Elément MINIMAL : (X,) Elément MAXIMAL : (X, X2)

5. 7 1 7 7 1 4 4 7 1 1 4 4 6 6 6 6 9 9 2 2 9 9 2 2 3 3 3 3 8 8 8 8 5 5 5 5 G1 G2 Union G1  G2 = (X, 1  2) G1 G2

6. 1 4 1 4 4 1 Composition G1 G2 = ( X, 12 ) 9 2 9 2 3 8 3 G1 8 9 2 3 G1 G2 8 G2

7. $ z : 1 £ z £ n : G1.validarc(x,z) et G2.validarc(z,y) Formellement, on a donc : (x, y)1  2 

8. 1 k k+1 n 1 £ k £ n et b= $ z : 1 £ z £ k : P(z) k = n ARRET b OU 1 z k k+1 n si balors « succès  »  sinon {non b et k=n }« échec » 1 k=n EVALUATION DE $ z : 1 £ z £ n : G1.validarc(x,z) et G2.validarc(z,y) $ z : 1 £ z £ n : P(z) INVARIANT

9. 1 k k+1 n 1 £ k £ n et b= $ z : 1 £ z £ k : P(z) b ou k = n si balors « succès  »  sinon {non b et k=n }« échec » PROGRESSION 1 k k+1 n k k+1 {non b et k<n} EVALUATION DE $ z : 1 £ z £ n : G1.validarc(x,z) et G2.validarc(z,y) $ z : 1 £ z £ n : P(z) INVARIANT ARRET

10. 1 k k+1 n 1 £ k £ n et b= $ z : 1 £ z £ k : P(z) b ou k = n si balors « succès  »  sinon {non b et k=n }« échec » ? k := k+1 ; b := P(k) PROGRESSION 1 k k+1 n k k+1 {non b et k<n} EVALUATION DE $ z : 1 £ z £ n : G1.validarc(x,z) et G2.validarc(z,y) $ z : 1 £ z £ n : P(z) INVARIANT ARRET

11. 1 k k+1 n 1 £ k £ n et b= $ z : 1 £ z £ k : P(z) b ou k = n si balors « succès  »  sinon {non b et k=n }« échec » k := k+1 ; b := P(k) INIT k := 1 ; b := P(1) EVALUATION DE $ z : 1 £ z £ n : G1.validarc(x,z) et G2.validarc(z,y) $ z : 1 £ z £ n : P(z) INVARIANT ARRET PROGRESSION {non b et k<n} k=0 1 n

12. GRAPHE composer (GRAPHE G1, G2) pré égal (G1.lst_som , G2.lst_som) local SOMMETx, y, k ; BOOLEANb debut Result.inivide ; pourtout x de G1.lst_som pourtout y de G2.lst_som depuis k := 1 ; b := G1.validarc(x, 1) et G2.validarc(1, y) jusqu’à b ou k = G1.nb_som faire k := k+1 ; b := G1.validarc(x, k) et G2.validarc(k, y) fait ; si b alors Result.ajoutarc(x,y) fsi fpourtout fpourtout fin

13. COMPLEXITE pourtout x de G1.sommets ---------------------------------------------> n étapespourtout y de G1.sommets --------------------------------> n étapes depuis k := 0 ; b := faux jusqu’à b ou k = G1.nb_sommets ---------> au pire n étapes faire k := k+1 ; b := G1.valid_arc(x, k) et G2.valid_arc(k, y) 2 accès  n3 fait ; si b alors Result.ajout_arc(x,y) fsi 1 accès  n2 Soit un algorithme en O(n3)

14. 2F 3H 2F 3H 2F 2H 2F 2H 3F 3F 1F 1H 1F 1H 1F 1F 3F 3H 0 0 1F 3H 1F 3H 3H 3H 2F 2F Gv Gr o 3F 3H Gv Gr

15. 2F 3H 2F 3H 2F 2H 2F 2H 3F 3F 1F 1H 1F 1H 1F 1F 0 0 1F 3H 1F 3H 3H 3H 2F 2F Graphe partiel de Gvaboutissant à 0 3F 3H Union 3F 3H

16. Puissances d’un graphe G[1] = G p  2 : G[p] = G [p-1]G Interprétation concrète : p  1 : (x, y)  [p] Il existe un chemin de longueur p allant de x à y

17. Démonstration : Par récurrence sur p x z y p 1 p+1 • Cas de base :p = 1 (x, y) [1] Il existe un chemin de longueur 1 allant de x à y Vrai, puisque [1] =  et les chemins de longueur 1 sont les arcs • Induction :vrai pourpvrai pour p+1 (x, y) [p+1] (x, y) [p]  Il existe z, (x, z) [p]et (z, y)  (Définition de )  Il existe z, il existe un chemin delongueur p allant de x à z et un arc (z, y) (Hypothèse de récurrence)  Il existe un chemin de longueur p+1 allant de x à y